2024_2025学年新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.3.1抛物线及其标准方程课件新人教A版选择性必修第一册

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第三章3.3.1　抛物线及其标准方程基础落实·必备知识一遍过知识点1　抛物线的定义1.我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离　　　　的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线. 2.数学表达式:抛物线就是下列点的集合P={M||MF|=d}.名师点睛抛物线的定义实质可以归结为“一动二定一相等”:“一动”即一个动点,设为M;“二定”包括一个定点F,即抛物线的焦点,一条定直线l,即抛物线的准线;“一相等”即|MF|=d(d为M到准线l的距离).微思考定义中为什么要求直线l不经过点F?提示 当直线l经过点F时,点的轨迹是过点F且垂直于直线l的一条直线,而不是抛物线.知识点2　抛物线的标准方程 名师点睛1.要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对应抛物线的形状(焦点位置、开口方向等).在抛物线的标准方程中,有一个一次项和一个二次项,二次项的系数为1,一次项的系数为±2p;若一次项的字母是x,则焦点就在x轴上,若其系数是正的,则焦点就在x轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在x轴的负半轴上(开口向左);若一次项的字母是y,则焦点就在y轴上,若其系数是正的,则焦点就在y轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在y轴的负半轴上(开口向下).2.焦点的非零坐标是标准方程下一次项系数2p的 .3.准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称.微思考1.平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是否一定是抛物线? 2.二次函数的图象也是抛物线,与本节所学抛物线相同吗? 提示 不一定,当这个定点不在定直线上才是抛物线,否则,就是过定点且垂直于定直线的直线了.提示 不完全相同.当抛物线的开口向上或向下时可以看作是二次函数的图象,当开口向左或向右时不能看作是二次函数的图象,因为此时根本不是函数图象.重难探究·能力素养速提升问题1在抛物线的定义中,涉及的几何要素有哪些?如何将其转化为代数问题?探究点一 根据抛物线方程求焦点坐标以及准线方程问题2根据抛物线方程,如何得到其焦点坐标及准线方程?【例1】 求下列各抛物线的焦点坐标和准线方程.(1)y2=-12x;思路分析先将所给方程转化为标准方程的形式,确定其开口方向,求出p的值,再写出焦点坐标和准线方程.(2)3x2-4y=0; (3)x=32y2;(4)y2=ax(a≠0). 规律方法　由抛物线方程求焦点坐标与准线方程的基本方法已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时,一般先将所给方程化为标准形式,由标准方程得到参数p,从而得焦点坐标和准线方程,要注意p>0,焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定,系数为正,焦点在正半轴,系数为负,焦点在负半轴.探究点二 求抛物线的标准方程问题3根据抛物线的焦点、准线等几何性质,能否求出抛物线的标准方程?【例2】 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程.(1)准线方程为y= ;(2)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5; 解已知抛物线的焦点在y轴上,可设方程为x2=2my(m≠0),由焦点到准线的距离为5,知|m|=5,m=±5,所以满足条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为x2=10y和x2=-10y.(3)一个动圆经过点A(2,0),并且和直线l:x=-2相切,求动圆圆心M的轨迹方程; 解设动圆的半径为R.因为动圆经过点A(2,0),所以|MA|=R.又因为动圆和直线l:x=-2相切,所以圆心M到直线l:x=-2的距离d=R,即圆心M到定点A的距离与到定直线l的距离相等,故其轨迹是抛物线,且A是焦点,l是准线,并且有p=4,故动圆圆心M的轨迹方程是y2=8x.(4)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点. 解对于直线方程3x-4y-12=0,令x=0,得y=-3;令y=0,得x=4,所以抛物线的焦点为(0,-3)或(4,0).当焦点为(0,-3)时, =3,所以p=6,此时抛物线的标准方程为x2=-12y;当焦点为(4,0)时, =4,所以p=8,此时抛物线的标准方程为y2=16x.所以所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x.规律方法　1.抛物线标准方程的求法(1)定义法:建立适当坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出方程,进行化简,根据定义求出p,最后写出标准方程.(2)待定系数法:由于标准方程有四种形式,因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上,进而确定方程的形式,然后再利用已知条件确定p的值.2.求抛物线的标准方程时需注意的三个问题(1)把握开口方向与方程间的对应关系.(2)当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0).(3)注意p与 的几何意义.探究点三 利用抛物线的定义解决轨迹问题问题4我们不仅要学会把几何问题代数化,同时,也要能够识别代数式中蕴含的几何意义,从中体会数形结合的思想方法.如何判断动点的轨迹?【例3】 已知动点M(x,y)满足 =|3x-4y+2|,则动点M的轨迹是(　　)A.椭圆 B.双曲线 C.直线 D.抛物线规律方法　定义法解决轨迹问题根据动点坐标满足的方程判断其轨迹时,要注意结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式,对所给方程进行适当变形,分析其几何意义,然后结合有关曲线的定义作出判定.探究点四 与抛物线定义有关的最大(小)值问题问题5“将军饮马”问题是距离问题中的经典名题.抛物线中涉及两种距离,类比“将军饮马”问题,可否构建与之类似的几何问题?【例4】 设P为抛物线y2=4x上的一个动点.(1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.解 (1)抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.因为点P到准线x=-1的距离等于点P到F(1,0)的距离,所以问题转化为在抛物线上求一点P,使点P到A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小.连接AF,如图1所示.显然当点P是AF与抛物线的交点时,所求距离之和最小,最小值为|AF|= .图1 (2)同理,|PF|与点P到准线x=-1的距离相等.如图2所示,过点B作BQ垂直于准线交准线于点Q,交抛物线于点P1.由题意知|P1Q|=|P1F|,所以|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.所以|PB|+|PF|的最小值为4.图2 规律方法　求圆锥曲线上到两定点的距离之和最小的点的位置时,通常有两种情况:(1)当两定点在曲线两侧时,连接两定点的线段与曲线的交点即为所求点;(2)当两定点在曲线同侧时,由圆锥曲线定义作线段的等量转换,转换为(1)的情形即可.探究点五 抛物线的实际应用问题6在实际生活当中,如何运用抛物线方程的知识来解决问题?【例5】 一辆卡车高3 m,宽1.6 m,欲通过断面为抛物线型的隧道,已知拱口宽恰好是拱高的4倍,若拱口宽为a m,求使卡车通过的a的最小整数值.规律方法　抛物线应用题的解法建立抛物线的标准方程的方法:以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立坐标系.这样可使得标准方程不仅具有对称性,而且曲线过原点,方程不含常数项,形式更为简单,便于应用.本节要点归纳1.知识清单:(1)抛物线的定义;(2)抛物线的标准方程的四种形式;(3)抛物线定义的应用.2.方法归纳:待定系数法、定义法、转化化归法.3.常见误区:(1)容易混淆抛物线的焦点位置和方程形式;(2)错误理解p的含义.学以致用·随堂检测促达标123451.(例1对点题)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则点M到y轴的距离是(　　)A.6 B.7 C.8 D.9D 解析 抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,可得xM=9,则点M到y轴的距离是9.故选D.123452.(例2对点题)(多选题)经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程可以为(　　)A.y2=xB.x2=8yC.x2=-8yD.y2=-8xAC 12345解析 若抛物线的焦点在x轴上,设抛物线的方程为y2=2px(p>0),又因为抛物线经过点P(4,-2),所以(-2)2=2p×4,解得p= ,所以抛物线的方程可以为y2=x.若抛物线的焦点在y轴上,设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),又因为抛物线经过点P(4,-2),所以42=-2p×(-2),解得p=4,所以抛物线的方程可以为x2=-8y.123453.(例3对点题)若点P(x,y)到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则P(x,y)的轨迹方程为(　　)A.y2=8x B.y2=-8xC.x2=8y D.x2=-8yC解析 依题意得点P(x,y)到点F(0,2)的距离与它到直线y+2=0的距离相等,并且点F(0,2)不在直线y+2=0上,所以点P的轨迹是抛物线,并且F是焦点,y+2=0是准线,于是抛物线方程为x2=8y.123454.(例4对点题)抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动点,又已知点A(2,2)是一个定点,则|PA|+|PF|的最小值是(　　)A.4 B.3 C.2 D.1B解析 根据抛物线方程y2=4x,可得F(1,0),则准线l的方程为x=-1.作PM⊥l,M为垂足(图略),则由抛物线的定义可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|.所以当A,P,M三点共线时,|PA|+|PM|取得最小值,且|AM|min=2-(-1)=3.所以|PA|+|PF|的最小值是3.故选B.123455.(例5对点题)如图是一座抛物线型拱桥示意图,拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴,已知顶点距离水面4 m时,量得水面宽12 m,那么当水位升高1 m时水面的宽为　　　　　m. 解析 建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),由题意知B(6,-4),将其坐标代入,得2p=9,∴抛物线的方程为x2=-9y.当y=-3时,x2=-9×(-3)=27,∴x=±3 ,∴此时水面的宽约为6 m.