2024_2025学年新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程习题课椭圆的综合问题及应用课件新人教A版选择性必修第一册

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第三章习题课　椭圆的综合问题及应用重难探究·能力素养速提升问题1直线与椭圆的位置关系问题的解决方式实质是解析几何“四步曲”大观念的实施过程,在“明确几何问题→几何问题代数表示→代数运算→运算结果几何说明”这一过程中,我们需要注意什么?问题2经验需要从一些典型问题中去获得,如位置关系的判断、中点弦问题、定点定值问题、最值问题等.在这些典型问题的解决过程中,要始终问自己几个问题:几何问题有哪些?如何把这些几何问题代数化?这些代数问题如何运算?可否优化运算?探究点一 直线与椭圆的位置关系问题3如何判断直线与椭圆的位置关系?【例1】 在平面直角坐标系xOy中,经过点(0, )且斜率为k的直线l与椭圆 +y2=1有两个不同的交点P和Q,求k的取值范围.规律方法　直线与椭圆位置关系的判断方法 探究点二 椭圆的中点弦问题问题4若直线与椭圆相交,所得弦的中点与斜率是否有关系?如何优化运算?【例2】 已知椭圆 的弦AB的中点M的坐标为(2,1),求直线AB的方程.Δ=[-8(2k2-k)]2-4(4k2+1)[4(2k-1)2-16]=16(12k2+4k+3)>0,解得k∈R.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两根,故所求直线的方程为x+2y-4=0.规律方法　处理椭圆的中点弦问题的途径(1)根与系数的关系法:联立直线方程与椭圆方程构成方程组,消掉其中的一个未知数,得到一个一元二次方程,利用一元二次方程根与系数的关系结合中点坐标公式求解.(2)点差法:设出弦的两个端点坐标,代入椭圆方程,两式相减即得弦的中点与斜率的关系.求解过程应用“设而不求”思想,这也是此类问题最常用的方法,运算量相对较小.探究点三 椭圆中的最值与范围问题问题5对于最值类的问题,一般如何求最值?如何优化运算?【例3】 已知F是椭圆E: 的左焦点,P为椭圆E上的动点,A(1, )为一个定点,则|PA|+|PF|的最大值为　　　. 解析 设椭圆的右焦点为F2,如图所示.因为|PF|+|PF2|=2a=8,所以|PF|=8-|PF2|,所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF2|+8,当P点运动到P1的位置时,此时A,F2,P1三点共线,|PA|-|PF2|取得最大值为|AF2|= =2.所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF2|+8≤2+8=10.|PA|+|PF|的最大值为10.10 规律方法　解决与椭圆有关的最大(小)值或范围问题的方法(1)定义法:利用椭圆定义转化为几何问题处理.(2)数形结合法:利用数与形的结合,挖掘几何特征,寻找最大(小)值点(或临界点),进而求解.(3)函数法:选择恰当的自变量,构建目标函数,转化为求函数的最大(小)值或范围.探究点四 椭圆中的定点、定值问题问题6对于定点、定值问题,定值如何运算?定点可以如何转化?(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C上异于点A,B的一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:|AN|·|BM|为定值.规律方法　定点、定值问题的求法定点、定值是在变化过程中不变的量,解决这类问题的基本思想是函数思想.具体处理方法有以下两种:(1)从特殊关系入手,求出定点(定值),再证明这个定点(定值)与变量无关.(2)直接推理、计算,并在计算过程中消去变量.本节要点归纳1.知识清单:(1)直线与椭圆的位置关系;(2)椭圆中的中点弦、最值与范围、定点与定值问题.2.方法归纳:分类讨论法、点差法.3.常见误区:容易忽略直线中斜率不存在的情况.学以致用·随堂检测促达标12341.(例1对点题)已知直线l:y=mx-2与椭圆C: 相交于不同两点,求实数m的取值范围.12342.(例2对点题)已知椭圆 (a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点,若线段AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆的方程为　　　　　　　. 123412343.(例3对点题)已知椭圆C: 的左、右焦点分别为F1,F2,点A(1,1),若P为椭圆C上一点,则|PF2|+|PA|的最大值为　　　　　. 1234123412341234