黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题，，则是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3．若函数，则（ ）
A． B．2 C． D．4
4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
6．幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A． B．或
C．是奇函数 D．是偶函数
7．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．已知为正实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．给定函数,,对于，用表示，中的最大者，记为，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数 B．函数的最大值是
C．函数在递增 D．函数有四个单调区间
10．已知函数，若有四个不同的零点，，，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数无最大值 B．函数的最小值为
C．函数在上递增 D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.．函数的单调递增区间为_______________ ．
13．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是____________ ．
14．矩形（）的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.当______________时，三角形的面积最大，最大值为_______________ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
计算下列各式的值：
(1)；
(2)．
16．（15分）
设且，函数的图象过点．
(1)求的值及的定义域；
(2)求在上的最大值．
17．（15分）
如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系，2024年上半年新能源汽车销售469万辆，同比增长29.7%.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产x（千辆）获利（万元），关系如下：，该公司预计2024年全年其他成本总投入为万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2024年的全年利润为（单位：万元）．
(1)求函数的解析式；
(2)当2024年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由．
18．（17分）
已知函数．
(1)若，求在区间上的值域；
(2)若方程有实根，求实数m的取值范围；
(3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围．
19. （17分）
对于函数， 若存在，使得，则称为函数的 “不动点”;若存在，使得，则称为函数 的“稳定点”.记函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别为A和B，即．
(1)设函数，求A和B；
(2)证明：若为连续的单调函数，则；
(3)若，存在，使得AB，求实数a的取值范围．