黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学及参考答案

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数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题，，则是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．若函数，则（ ）
A．B．2C．D．4
4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
5．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
6．幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A．B． 或
C．是奇函数D．是偶函数
7．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．已知为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．给定函数，，对于，用表示，中的最大者，记为，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数B．函数的最大值是
C．函数在递增D．函数有四个单调区间
10．已知函数，若有四个不同的零点，，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号x表示不超过的最大整数，则y=x称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数无最大值B．函数的最小值为
C．函数在上递增D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．函数的单调递增区间为 ．
13．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 ．
14．矩形（）的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.当 时，三角形的面积最大，最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．计算下列各式的值：
(1)
(2).
16．设且，函数的图像过点．
(1)求的值及函数的定义域；
(2)求函数在区间上的最大值．
17．如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系，2024年上半年新能源汽车销售469万辆，同比增长29.7%.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产x（千辆）获利（万元），关系如下：，该公司预计2024年全年其他成本总投入为万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2024年的全年利润为（单位：万元）.
(1)求函数的解析式；
(2)当2024年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由.
18．已知函数.
(1)若，求在区间上的值域；
(2)若方程有实根，求实数m的取值范围；
(3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围.
19．对于函数， 若存在，使得，则称为函数的 “不动点”;若存在，使得，则称为函数 的“稳定点”.记函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别为和，即．
(1)设函数，求和；
(2)证明：若为连续的单调函数，则；
(3)若，存在，使得，求实数的取值范围．
1．D
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题判断即可.
【详解】∵存在量词命题的否定是全称量词命题，
∴命题，，则是，.
故选：D.
2．C
【分析】分别确定集合和，再根据交集的概念求.
【详解】因为；
.
所以.
故选：C
3．A
【分析】根据分段函数的解析式代入求值即可.
【详解】∵，
∴.
故选：A.
4．D
【分析】根据函数奇偶性的概念判断即可.
【详解】显然是偶函数，故A错误；
由，知是奇函数，故B错误；
由，知是偶函数，故C错误；
令，由知不是奇函数，由知不是偶函数，故D正确.
故选：D.
5．A
【分析】根据解析式有意义的条件列不等式组，解不等式组可得函数的定义域.
【详解】由题意：.
所以所求函数的定义域为：.
故选：A
6．C
【分析】利用幂函数的定义和单调性可求的值，故可判断AB的正误，再根据奇偶性的定义可判断CD的正误.
【详解】函数为幂函数，则，解得或.
当时，在区间0,+∞上单调递增，不满足条件，排除A，B；
所以，定义域关于原点对称，且，
所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.
故选：C.
7．D
【分析】根据函数的单调性和奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式求解即可.
【详解】因为，，
所以，所以函数为偶函数；
设，则，
因为，所以，，，所以，即
所以函数在0,+∞上单调递增.
由函数为偶函数，所以函数的图象关于轴对称，在上单调递减.
所以且.
故选：D
8．B
【分析】利用基本（均值）不等式求和的最小值.
【详解】因为为正实数，且，
所以，
（当且仅当即时取“”）.
故选：B
9．AD
【分析】可作出函数草图，数形结合，判断各选项的准确性.
【详解】如图：
对A：由图可知，的图象关于轴对称，所以函数为偶函数，故A正确；
对B：由图可知，函数在上单调递增，且，所以，当时，，故B错误；
对C：由图象可知，函数在0,1上单调递减，故C错误；
对D：由图象可知，函数在和0,1上单调递减，在和1,+∞上单调递减，所以函数有四个单调区间.故D正确.
故选：AD
10．BC
【分析】数形结合，可判断A的真假；根据时，函数图象的对称性，可判断B的真假；根据时，函数的解析式即对数的运算可判断C的真假；举反例可说明D是错误的.
【详解】左函数草图如下：
对A：由图可知，若有四个不同的零点，则，故错误；
对B：因为，且关于直线对称，所以，故B正确；
对C：因为，所以，，
由，故C正确；
对D：因为，所以，因为函数在上单调递减，所以，即，故D错误.
故选：BC
11．ACD
【分析】利用“高斯函数”的定义，得出的图象，结合图象，对各个选项分析判断，即可求解.
【详解】当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，当时，，，依此，可得的图象如图所示，
由图知，的值域为，所以选项A正确，选项B错误，
对于选项C，因为当时，，所以函数在上递增，故选项C正确，
对于选项D，由图知，是周期函数，且，所以选项D正确，
故选：ACD.
12．
【分析】求的递增区间，根据复合函数单调性，即转化为求在定义域上的减区间.
【详解】由得，令，由于函数的对称轴为y轴，开口向上，∴在−∞,0上递减，在（0，＋∞）递增，又由函数是定义域内的减函数，∴原函数在（-∞，-2）上递增．故答案为（-∞，-2）.
【点睛】本题考查了复合函数单调区间的求法，属于基础题.
13．
【分析】先分情况讨论的符号，再由可得的取值范围.
【详解】因为不等式对一切恒成立，
所以若，则不等式可化为：，对一切恒成立，故满足题意；
若，则.
综上可知：.
故答案为：
14．
【分析】由题意可得，结合即可求得，结合勾股定理得到，再根据三角形的面积公式可得，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】如上图所示，设，则，又，得到，即，
易知，得，所以，
又，得到，
所以的面积 ，当且仅当，即时取等号，
所以的面积的最大值为，
故答案为：，.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用指数幂的运算法则，准确计算，即可求解.
（2）根据题意，利用对数的运算法则和性质，准确计算，即可求解.
【详解】（1）解：由指数幂的运算法则，可得：
.
（2）解：由对数的运算法则及性质，可得：
.
16．(1)2；
(2)2
【分析】（1）代入点的坐标求出的值，再根据对数函数的定义求出函数的定义域；
（2）依题意可得，结合二次函数的性质及对数函数的性质计算可得.
【详解】（1）由函数的图像过点，
得，即，所以，解得或（舍），
所以，
由，解得，
所以，函数的定义域为．
（2）由（1）知，
又，所以当时取得最大值4，且函数在定义域上单调递增，
故函数在区间上的最大值．
17．(1)；
(2)当2024年产量为4千辆时，该企业利润最大，最大利润是480万元.
【分析】（1）根据给定的信息，由求出解析式即得.
（2）按分段求出最大值，再比较大小即得.
【详解】（1）依题意，，而，
所以函数的解析式为，即.
（2）当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，；
当时，
，当且仅当，即时取等号，
而，则当时，，
所以当2024年产量为4千辆时，该企业利润最大，最大利润是480万元.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用换元法令，，再结合二次函数的性质即可求解；
（2）由（1）知利用换元法可得，，方程有实根即等价于即有实数根且大于零，从而可得，即可求解；
（3）若对任意的，总存在，使得，可得,由复合函数知识可得函数在时单调递减，时单调递增，从而求出，则只需令在上恒成立即可，分离参数可求解.
【详解】（1）当时，，
令，因为，所以，
所以可得一个二次函数，所以当，函数单调递增，
当时，有最小值，
当时，有最大值，所以.
所以时，在区间上的值域为.
（2）由（1）知当令，，，
则，即有实数根，此时实数根大于零，
所以可得，解得：.
所以方程有实根，实数m的取值范围为.
（3）由题意得，
若对任意的，总存在，使得，可得,
由函数可得当时单调递减，当时单调递增，函数为增函数，
所以由复合函数定义可得函数在时单调递减，时单调递增，
所以当时，有最小值，
由（2）知当令，，，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
因为函数在时均单调递增，
所以函数在时单调递增，所以，
所以，.
【点睛】关键点点睛：（1）主要利用换元后转化为一般的二次函数在具体区间求最值问题；（2）中转化为二次函数根的分布问题来求出相应的不等式组，即可求解；（3）中由题可得,再结合指数型复合函数求出，从而可转化为含参二次函数在定区间求解最值问题.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）已知函数的解析式，利用“不动点”和“稳定点”的概念求集合和.
（2）结合函数的单调性，利用“”证明集合相等.
（3）把问题转化为“存在，使得，，且”，进一步转化成“方程存在两个不相等的实根”，由求的取值范围.
【详解】（1），解得；
，解得；
.
（2）若，则对，若满足，则，既，
若，同样.
假设，既存在，使得，，且.
不妨设，函数为连续单调递增函数，则，既，矛盾.
故不成立.
所以，则.
（3）若，则存在，使得，，且.
即，两式相减，得，
又，，.
代入，得，同理，，
即方程存在两个不相等的实根，
则，
【点睛】关键点点睛：第三问中，把问题转化为“存在，使得，，且”，进一步转化成“方程存在两个不相等的实根”，由求的取值范围.