小学数学北师大版（2024）四年级下册探索与发现（一）三角形内角和导学案

这是一份小学数学北师大版（2024）四年级下册探索与发现（一）三角形内角和导学案，共15页。学案主要包含了选择题，填空题，判断题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分
知识清单
1.三角形的内角和等于180°。也就是说，三角形的内角和与三角形的大小、形状无关，三角形的内角和永远是180°。
2. 三角形内角和等于180°。
3. 根据“三角形内角和等于180°” ，当已知三角形中两个内角的度数时，可以求出第三个内角的度数，并可以由此判断三角形的形状。
第二部分
典型例题
例1：等腰三角形中，顶角是50°，底角是（ ）。
A．50°B．65°C．可能是50°，也可能是65°
答案：B
分析：三角形内角和为180°，根据等腰三角形的特征可知，等腰三角形的两个底角度数相等。先用180°减去50°求出两个底角的和，再用两个底角的和除以2即可。
详解：（180°－50°）÷2
＝130°÷2
＝65°
因此底角是65°。
故答案为：B
例2：一个等腰三角形中的一个角是40°，如果这个角是顶角，则这个三角形的底角是( )°，它是一个( )三角形；如果这个角是底角，则这个三角形的顶角是( )°，它是一个( )三角形。（本题第2、第4空填“锐角”“直角”或“钝角”。）
答案： 70 锐角 100 钝角
分析：三角形内角和180°，等腰三角形两底角相等。用三角形内角和减去顶角的度数求得差，再除以2求得一个底角是多少度，再根据三个角的度数判断这是一个什么三角形；用底角的度数乘2求出两个底角的和，再用三角形内角和减去两个底角的和，就是顶角的度数，再根据三个角的度数判断这是一个什么三角形。三个角都是锐角的三角形，叫锐角三角形；有一个角是直角的三角形，叫直角三角形；有一个角是钝角的三角形，叫钝角三角形。
详解：（180°－40°）÷2
＝140°÷2
＝70°
180°－40°×2
＝180°－80°
＝100°
一个等腰三角形中的一个角是40°，如果这个角是顶角，则这个三角形的底角是（70）°，它是一个（锐角）三角形；如果这个角是底角，则这个三角形的顶角是（100）°，它是一个（钝角）三角形。
例3：在三角形中，如果∠A＋∠B＝∠C，那么这个三角形是直角三角形。( )
答案：√
分析：因为三角形内角和为180°，即∠A＋∠B＋∠C＝180°，又因为∠A＋∠B＝∠C，据此可以计算出∠C的度数，通过∠C的度数判断该三角形是什么三角形即可。
详解：由分析可得：
因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝∠C，
所以2∠C＝180°
2∠C÷2＝180°÷2
∠C＝90°
那么这个三角形是直角三角形。
故答案为：√
点睛：本题考查了三角形内角和是180°的灵活运用，是基础题，需要熟练掌握判断三角形类型的方法。
例4：一个等腰三角形风筝的一个底角是40度，它的顶角是多少度？
答案：100度
分析：等腰三角形的两个底角相等。根据三角形的内角和为180度可知，顶角＝180度－底角×2，据此解答即可。
详解：已知底角40度
顶角＝180度－2×底角＝180度－2×40度＝180度－80度＝100（度）
答：它的顶角是100度。
：基础过关练
一、选择题
1．任意一个三角形中，至少有（ ）个锐角。
A．1B．2C．3
2．钝角三角形的两个锐角和（ ）。
A．小于90B．等于90°C．大于90°
3．把一个大三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是（ ）。
A．180°B．90°C．120°D．无法确定
4．一个三角形中至少有（ ）个锐角。
A．1B．2C．3D．无法确定
5．有一大一小两个三角形，小冬把较小的三角形的三个角撕下来，拼成的情况如图，如果把另一个较大的三角形的三个角也撕下来，拼在一起的图是（ ）。

A． B． C． D．都有可能
6．一个三角形中，如任意两个角的度数之和都大于第三个角，那么这个三角形是（ ）。
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定
7．下列各组分别是同一个三角形中两个内角的度数，其中（ ）是钝角三角形。
A．60°和30°B．75°和75°C．40°和51°D．45°和35°
二、填空题
8．一个直角三角形，一个锐角是40°，另一个锐角是( )°；一个等腰三角形，其中一个底角是40°，顶角是( )°。
9．一个等腰三角形的一个底角是55°，它的顶角是( )°，这是一个( )角三角形。
10．我们已经知道三角形的3个角合起来能拼成一个平角，那么六边形的6个角合起来能拼成( )个平角。
11．如图，被挡住的角是( )度，这个三角形是( )三角形。

12．已知∠1、∠2、∠3分别是一个三角形的三个内角，如果∠1＋∠2＝∠3，则这个三角形是( )三角形。
13．小明说：“一个三角形中，最小的角大于45°，这个三角形一定是钝角三角形。”你认为他说的对吗？( )（填“对”或“不对”）。你的理由是( )。
三、判断题
14．钝角三角形中两个锐角的和一定大于90°。( )
15．在一个直角三角形中，如果其中一个锐角是34°，那么另一个锐角是66°。( )
16．在一个直角三角形中，已知其中一个锐角是43°则另一个锐角是47°。( )
17．在一个等腰三角形中，已知顶角是56°，它的一个底角是62°。( )
18．一个三角形，其中两个内角分别是30°和40°，这个三角形是锐角三角形。( )
19．在一个直角三角形中，其中一个锐角是 SKIPIF 1 < 0 ，则另一个锐角是 SKIPIF 1 < 0 。( )
：培优提升练
四、计算题
20．算出下面各个未知角的度数。
五、解答题
21．我们知道三角形的内角和等于180°，四边形的内角和等于360°，如果边数为n的多边形，其内角和为（n－2）×180°；反过来，已知多边形的内角和，同样利用内角和公式可求出这个多边形的边数。
（1）求十边形的内角和。
（2）已知一个多边形的内角和是三角形内角和的12倍，求这个多边形的边数。
22．我们佩戴的红领巾的颜色是国旗红，可用布、绸、缎等材料按照标准制作。分为小号、大号两个规格。小号：底边长100厘米、腰边长60厘米。大号：底边长120厘米、腰边长72厘米。红领巾中最大的角是120°。
（1）算式“100＋60×2”解决的问题是：
（2）红领巾中另外两个的角分别是多少度？
23．学校举行风筝比赛，奇思做了一个风筝，风筝的造型是等腰三角形。其中有一个角是40°，其它两个角各是多少度？
24．奶奶家有一块三角形的菜地，最大角是最小角的5倍，另一个角是最小角的3倍，求这块三角形菜地三个角的度数。
25．算一算。
自行车的大架一般做成三角形，俗称三角架。一辆自行车的三角架中角的度数如图所示。你能求出 SKIPIF 1 < 0 的度数吗？
26． SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是一个三角形的内角， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的3倍， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的5倍， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是多少度？
1．B
分析：一个三个形的内角和是180°，小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°小于180°的角是钝角，依此判断。
详解：假设一个三角形中除锐角外的两个角是，两个直角或两个钝角或1个直角、1个钝角，则这两个角的和就等于或大于180°，所以任意一个三角形中都至少有两个角是锐角。
故答案为：B
2．A
分析：三角形的内角和为180度，钝角为大于90度小于180度的角，据此即可选择。
详解：因为三角形的内角和为180度，钝角大于90度，所以钝角三角形的两个锐角和小于90度。
故答案为：A
3．A
分析：任意三角形的内角和是180°，据此解答。
详解：由分析可知，任意三角形的内角和是180°，所以把一个大三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和仍是180°；
故答案为：A
点睛：熟记三角形的内角和是180°，是解答本题的关键。
4．B
分析：由三角形内角和可知，三角形的内角和是180度，根据锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的各个角的度数判断。
详解：三角形的内角和是180度，锐角三角形的三个角都是锐角，直角三角形有一个角是直角，另两个角是锐角，钝角三角形有一个角是钝角，另两个角是锐角，所以在一个三角形中，至少有2个锐角。
故答案为：B
点睛：此题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类，三角形按角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
5．B
分析：任意三角形的内角和都是180°。把较大的三角形的三个角撕下来，拼在一起，∠1、∠2和∠3拼成一个平角。
详解：A． ∠1、∠2和∠3拼成的角小于平角；
B． ∠1、∠2和∠3拼成的角是平角；
C． ∠1、∠2和∠3拼成的角大于平角。
如果把另一个较大的三角形的三个角也撕下来，拼在一起的图是 。
故答案为：B
点睛：熟记三角形内角和是180°是解题关键。
6．B
分析：三角形的内角和等于180°，如果它的两个内角的度数之和等于第三个内角的度数，那么第三个内角就是最大角，是三角形内角和的一半，即90°；如果其中任何两个角的度数之和都大于第三个角的度数，那么任意一个角的度数都小于90°，是锐角。这个三角形的三个角都是锐角，是锐角三角形。
详解：180°÷2＝90°
任意两个角的度数之和都大于第三个角，那么这个三角形中最大的角小于90°，所以是锐角三角形。
故答案为：B
点睛：本题考查三角形的分类以及三角形的内角和定理，关键是明确三角形中任意一个角的度数都小于90°。
7．D
分析：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。任意三角形的内角和是180°，用180°减去各选项中两个角的度数，算出第三个角的度数，再进行选择。
详解：A．180°－60°－30°
＝120°－30°
＝90°
有一个角是直角，此三角形是直角三角形；
B．180°－75°－75°
＝105°－75°
＝30°
三个角都是锐角，此三角形是锐角三角形；
C．180°－40°－51°
＝140°－51°
＝89°
三个角都是锐角，此三角形是锐角三角形；
D．180°－45°－35°
＝135°－35°
＝100°
有一个角是钝角，此三角形是钝角三角形。
有2个内角是45°和35°的三角形是钝角三角形。
故答案为：D
点睛：熟记三角形内角和是180°和三角形的分类是解题关键。
8． 50 100
分析：直角三角形两个锐角和等于90°，90°减去已知锐角的度数等于另一个锐角的度数；等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和等于180°，180°减去两个底角的度数和等于顶角的度数；据此即可解答。
详解：90°－40°＝50°
180°－40°×2
＝180°－80°
＝100°
一个直角三角形，一个锐角是40°，另一个锐角是50°；一个等腰三角形，其中一个底角是40°，顶角是100°。
9． 70 锐角
分析：已知等腰三角形的三个内角度数和是180°，一个底角是55°，因为两个底角相等，则用180°减去2个55°即得到顶角的度数70°；再根据三个角都是锐角，确定这是一个锐角三角形。据此解答。
详解：180°－55°×2
＝180°－110°
＝70°
所以，它的顶角是70°；
因为三个内角的度数为55°、55°、70°，都是锐角，所以这是一个锐角三角形。
10．4
分析：等于180°的角是平角，多边形的内角和＝（多边形的边数－2）×180°，依此计算出六边形的内角和，然后用六边形的内角和除以三角形的内角和即可。
详解：（6－2）×180°
＝4×180°
＝720°
720°÷180°＝4（个）
六边形的6个角合起来能拼成4个平角。
点睛：解答此题的关键是要熟练掌握平角的特点，以及应掌握多边形的内角和的计算方法。
11． 70 锐角
分析：三角形的内角和是180度，利用180度减去已知的两个角即可求出第三个角，根据角的特征判断三角形的种类。代入数据计算即可。
详解：180°－40°－70°＝140°－70°＝70°
被挡住的角是70度，三个角都是锐角，那么这个三角形是锐角三角形。
点睛：本题考查了三角形内角和的应用及三角形的分类方法。
12．直角
分析：由题意可知，∠1、∠2、∠3分别是一个三角形的三个内角，而三角形的内角和是180°，那么∠1＋∠2＋∠3＝180°，还已知∠1＋∠2＝∠3，两个角的和等于第三个角，那么第三个角的度数占内角和的一半，是90°，据此可以判定此三角形的类型。
详解：由题意得：
∠1＋∠2＝∠3
∠1＋∠2＋∠3＝∠3＋∠3＝180°
∠3＝180°÷2＝90°
所以这个三角形是直角三角形。
点睛：熟练掌握三角形的内角和以及三角形按角分类的标准是解答本题的关键。
13． 不对 见详解
分析：最小的角大于45°，最小的角最小是46°，若其中两个内角都是46°，求出46°与46°的和，再用180°减这个和，看差是多少度，比较差与90°的大小关系，来确定这个三角形是什么三角形。当三角形的两个锐角都45°时，这个三角形的第三个角是90°，所以当三角形的三个角中最小的角大于45°时，那么最大的角必然小于90°，据此来填写理由。
详解：46°＋46°＝92°
180°－92°＝88°
88°＜90°
小明说：“一个三角形中，最小的角大于45°，这个三角形一定是钝角三角形。”你认为他说的对吗？（不对）。你的理由是（其中较小的两个角的和一定大于90°，那么第三个角必然小于90°）
点睛：根据三角形的内角和是180°来计算解答。
14．×
分析：根据三角形三个内角度数和是180°，而钝角三角形中钝角大于90°小于180°，所以两个锐角度数的和一定小于90°。据此判断。
详解：根据分析可知：钝角三角形中两个锐角的和一定小于90°。所以原题说法错误。
故答案为：×
点睛：本题主要考查三角形内角和的理解运用。要牢记三角形三个内角度数和是180°，以及钝角大于90°小于180°的特点。
15．×
分析：直角三角形的两个锐角的和是90°，90°减34°即可求出另一个锐角的度数。
详解：90°－34°＝56°
另一个锐角是56°，原说法错误。
故答案为：×
点睛：本题考查了三角形的内角和以及直角三角形的特征，注意直角三角形中的直角是90度。
16．√
分析：有一个角是直角的三角形是直角三角形，三角形内角和是180°，用180°减去90°再减去43°，即可算出另一个锐角是（180°－90°－43°）。
详解：180°－90°－43°
＝90°－43°
＝47°
故答案为：√
点睛：熟记直角三角形特征和三角形内角和是180°是解题关键。
17．√
分析：根据等腰三角形的特征：两个底角相等；三角形的内角和是180°，用180°－56°，求出两个底角的和，再除以2，求出一个底角的度数，再进行比较，即可解答。
详解：（180°－56°）÷2
＝124°÷2
＝62°
在一个等腰三角形中，已知顶角是56°，它的一个底角是62°
原题干说法正确。
故答案为：√
点睛：熟练掌握三角形内角和以及等腰三角形的特征是解答本题的关键。
18．×
分析：先根据三角形的内角和是180°，用180°－30°－60°＝90°，就是第三个角的度数，然后再依据锐角三角形的特征，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，据此即可判断。
详解：180°－30°－40°
＝150°－40°
＝110°
110°是钝角，所以一个三角形，其中两个内角分别是30°和40°，这个三角形是钝角三角形。所以原题说法错误。
故答案为：×
点睛：此题主要依据锐角三角形的意义以及三角形的内角和定理解决问题。
19．√
分析：根据三角形的内角和等于180°，解答此题即可。
详解：180°－90°－46°
＝90°－46°
＝44°
所以在一个直角三角形中，其中一个锐角是46°，则另一个锐角是44°，这句话是正确的。
故答案为：√
点睛：熟练掌握三角形内角和知识，是解答此题的关键。
20．40°；30°；80°
分析：根据三角形的内角和为180°可知，分别用180°减去已知两个角的度数，求出各个图形中第三个角的度数。
详解：180°－90°－50°＝40°
180°－115°－35°－30°
180°－52°－48°＝80°
21．（1）1440°
（2）14
分析：（1）根据多边形的内角和公式，十边形的内角和为（10－2）×180°，计算出结果即可。
（2）多边形的内角和是三角形内角和的12倍，这个多边形的内角和是12×180°，这个多边形的边数为（12＋2）条。
详解：（1）（10－2）×180°
＝8×180°
＝1440°
答：十边形的内角和是1440°。
（2）12＋2＝14（条）
答：这个多边形有14条边。
点睛：熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键。
22．（1）小号红领巾的周长是多少厘米？
（2）30度
分析：（1）红领巾是等腰三角形，两条腰的长度相等，在小号红领巾中100厘米是底边的长度，60厘米是腰的长度，100＋60×2表示小号红领巾的周长是多少厘米。
（2）三角形的内角和是180度，等腰三角形的两个底角相等，先用三角形的内角和减去顶角的度数，求出两个底角的和，再除以2，即可求出红领巾的另外两个的角分别是多少度。
详解：（1）算式“100＋60×2”解决的问题是：小号红领巾的周长是多少厘米？
（2）（180－120）÷2
＝60÷2
＝30（度）
答：红领巾中另外两个的角都是30度。
点睛：解决本题的关键是熟知等腰三角形的特点，以及三角形的内角和定理。
23．70°，70°或40°，100°
分析：三角形的内角和等于180°，等腰三角形的两个底角相等，该题主要分两种情况，一种情况是顶角是40°，用180°减去顶角的度数，再除以2即可求出底角的度数；另一种情况是当底角是40°，用180°减去两个底角的度数，即可求出顶角的度数，据此解答即可。
详解：当顶角是40°时：
（180°－40°）÷2
＝140°÷2
＝70°
当底角是40°时：
180°－40°－40°
＝140°－40°
＝100°
答：其它两个角都是70°或一个角是40°，另一个角是100°。
点睛：解答此题的关键是熟练掌握三角形的内角和的知识以及等腰三角形的性质。
24．20°、60°和100°。
分析：由题意可得，先把最小的角看作1倍的量，则最大角为5倍的量，另一个角是3倍量，根据三角形的内角和为180度，再根据和倍公式，用180°除以倍数和（1＋3＋5），可以求出最小的角，最后分别用最小的角度数乘5和3，即可求得最大角和另一个角，据此解答即可。
详解：180°÷（1＋3＋5）
＝180°÷9
＝20°
最大角：20°×5＝100°
另一个角：20°×3＝60°
答：这块三角形菜地三个角的度数分别为：20°、60°和100°。
点睛：此题考查了三角形内角和以及和倍问题的应用，关键是明确：三角形内角和为180°。
25．80°
分析：根据三角形的内角和为180°可知，用180°减去已知两个角的度数和，即可求出∠1的度数。
详解：180°－（60°＋40°）
＝180°－100°
＝80°
答：∠1是80°。
点睛：本题考查三角形的内角和定理，需熟练掌握。
26．∠1＝20°，∠2＝60°，∠3＝100°
分析：由题意可知：∠2＝3∠1，∠3＝5∠1，又因三角形的内角和是180°，据此代入数据即可求解。
详解：∠1＋∠2＋∠3＝180°
即∠1＋3∠1＋5∠1＝180°
9∠1＝180°
∠1＝180°÷9＝20°
∠2＝3×20°＝60°
∠3＝5×20°＝100°
答：∠1＝20°，∠2＝60°，∠3＝100°。
点睛：此题考查了三角形内角和定理的灵活应用，解答此题的关键是理清它们之间的倍数关系。