甘肃省武威第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份甘肃省武威第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷，共9页。试卷主要包含了 请将答案正确填写在答题卡上，可表示为，已知椭圆 ，双曲线， 已知曲线等内容，欢迎下载使用。

命题人： 审题人：
注意事项：
1. 答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列四个问题属于组合问题的是（ ）
A. 从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作
B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数
C. 从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式
D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员
2. 已知点到抛物线 的焦点F 的距离为 ，则该抛物线的准线方程为（ ）
A. x=-2 B. x=-1 C. D. x=1
3.圆 与双曲线 的渐近线相切，则r的值为（ ）
A. B. 2 C. D.
4.可表示为（ ）
A. B. C. D.
5. 某学习小组有男、女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数分别为（ ）
A. 3，5 B. 2，5 C. 5，3 D. 6，2
6.已知点和点， 若直线上存在点， 可使， 则称该直线为“D型直线”. 下列四条直线中：
①； ② ③； ④.
“D型直线”的条数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.2026年9月我校组织120校庆活动，有甲、乙、丙3名志愿者负责A，B，C，D等4个任务.每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责A任务的分配方法共有（ ）
A. 20种 B. 36种 C. 24种 D. 18种
8.已知椭圆 ，双曲线： ，若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，设椭圆M的离心率为，双曲线N的离心率为，则为（ ）
A. B. C. D.
二. 多选题（共3小题，满分18分，每小题全部选对得6分，部分选对得2分）
9. 已知曲线：，： 则（ ）
A. 的长轴长为4 B. 的渐近线方程为
C. 与的焦点坐标相同 D. 与的离心率互为倒数
10.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ）
A. 若任意选择三门课程，选法总数为
B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为
C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为
D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为
11. 已知点F是抛物线 的焦点， AB， CD是经过点F的弦且， AB的斜率为k， 且，C，B两点在x轴上方，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. 四边形 ACBD面积的最小值为
C. D. 若 则直线CD的斜率为
第II卷（非选择题）
三填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共15 分）
12.经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为 .
13.从1，3，5，中任取2个数，从0，2，4，中任取2个数，则组成没有重复数字的四位数的个数为
14. 已知椭圆 ，点， ， …， 为其长轴AB的6等分点，分别过这5点作斜率为的一组平行线， 交椭圆C于 ， ， …， ，则直线， ， …，这10条直线的斜率乘积为
四、解答题（本题共5个答题，共77分）
15. （本小题13分）（1）计算：
（2） 若 ，则x的值为
（3） 若 ，求正整数n.
16. （本小题15分） 已知双曲线 与椭圆 有相同的焦点.
（1）求双曲线C的方程；
（2）求与双曲线C有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程；
（3）若直线与双曲线C交于P、Q两点，且P、Q的中点坐标为，求直线的方程.
17（本小题15分） 寒假有来自不同大学的3名男生和2名女生来母校开展大学宣讲活动.
（1）若要将这5名同学分配到三个班进行宣讲，每班至少一名同学，有多少种不同的分配方案？
（2）宣讲完毕，这五位同学和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同学中间，有多少种不同的排法？
（3）若这五位同学中甲、乙、丙三位同学身高互不相等，则这五位同学和班主任合影留念时甲、乙、丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？
（4）随后这五位同学合影留念时，同学甲不站在最左端，同学乙不站在最右端，有多少种不同的排法？（写出必要的数学式，结果用数字作答）
18. （本小题17分） 已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率等于 ，它的一个长轴端点恰好是抛物线 的焦点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知，是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，且直线AB 的斜率为
①求四边形APBQ 的面积的最大值；
②求证.
19.（本小题17分） 已知抛物线P的焦点为，准线的方程为： .若三角形ABC的三个顶点都在抛物线P上，且 则称该三角形为“向心三角形”.
（1） 是否存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和？说明理由；
（2） 设“向心三角形”ABC的一边AB所在直线的斜率为4，求直线AB的方程；
（3） 已知三角形ABC是“向心三角形”，证明：点A的横坐标小于2.
武威一中2024年秋季学期高二年级期中考试
数学试卷答案
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.C 2.B. 3.C 4.B 5.A 6.B 7.C 8.B
二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
9.BD10.ABD11.ACD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.13.60.14.
四、解答题
15.【详解】（1）；
（2）由题设，，，
整理得：，可得或，
又，故.
（3）
，
故，解得.
16.（1）（2）（3）
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的方程.
（2）设过点的双曲线为，利用点求得，从而求得该双曲线的方程.
（3）利用点差法求得直线的方程.
【详解】（1）椭圆，即，
所以，所以，
所以双曲线的方程为.
（2）双曲线，对应，，，所以渐近线方程为，
设过点的双曲线的标准方程为，
所以，所以，.
（3）设，，则，，
两式相减并化简得，，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为，.
由，
消去并化简得，，符合.
所以直线的方程为.即
17.（1）
（2）
（3）
（4）
18.【答案】（1）解由题意设椭圆的方程为，
抛物线的焦点坐标为，
，由，，得，
椭圆的标准方程为.
（2）①解当时，解得，，
设，，直线的方程为，
与椭圆方程联立得得，由题意知，得，
由根与系数的关系得，
，
由此可得，四边形的面积，
当时，.
②证明，，
，
而，
，
，即，
.
19.（1）不存在，理由详见解析；（2）；（3）证明见解析.
【解析】（1）由题意可知，点为的重心，假设存在一点使得“向心三角形”存在，求得该点的坐标，代入抛物线的方程，进行判断即可；
（2）设点、、，利用点差法求得，根据重心的坐标公式，求出线段的中点坐标，然后利用点斜式方程可得出直线的方程；
（3）由，等式两边平方，利用基本不等式可得出，结合等式可求出，进而证明结论成立.
【详解】（1）由题意可知，抛物线的标准方程为，
由，可知，为重心，
设存在点“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和，另外的顶点为，
由，解得：，显然，
故不存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和；
（2）设、、，
由，两式相减，得，所以，所以，
由题意可知，，所以，则，
由，所以，所以，线段的中点，
因此，直线的方程为，整理得.
因此，直线的方程；
（3）由（2）可知，则，①
由，
平方可得，当且仅当时取等号，显然，
所以，即，
将①代入可得，解得，
所以点的横坐标小于2.
【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查三角形重心坐标公式的应用、点差法以及基本不等式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.