甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（Word版附解析），共26页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
第I卷（非选择题 共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知两个非零向量，，则这两个向量在一条直线上的充要条件是（ ）．
A. B.
C. D. 存在非零实数，使
2. 已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
3. 若直线与圆相交，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最小值为
A. 4B. 3C. 2D. 1
5. 若圆上有且仅有两个点到原点的距离为，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C D.
6. 如图所示，在三棱锥P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为

A. B. C. D.
7. 若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|最小值为( )
A. B. C. D.
8. 阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点、间的距离为，动点与、距离之比为，当、、不共线时，面积的最大值是（ ）.
A B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数（ ）
A. B. C. D.
10. 已知、、和为空间中的个单位向量，且，可能等于（ ）
A. B. C. D.
11. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 若，则的长度相等而方向相同或相反
B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
C. 若两个非零向量与满足，则
D. 若空间向量，满足，且与同向，则
12. 如图所示，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A. 平面平面B. 不是定值
C. 三棱锥的体积为定值D.
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为________．
14. 如图所示，平行六面体中，，，，则线段的长度是________.
15. 抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A､B两点，且满足，点O为原点，则的面积为___________.
16. 如图所示，在正四棱柱中，，，动点、分别在线段、上，则线段长度的最小值是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.
已知平行六面体中，各条棱长均为，底面是正方形，且，设，，.
（1）用，，表示及求；
（2）求异面直线与所成的角的余弦值.
18. 过点作直线分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.
(1)当△AOB面积最小时，求直线方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线的方程.
19. 如图所示，在ΔABC中，，边上一点，且，平面，，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20. 如图，三棱柱中，，，.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，在棱上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求的长，若不存在，说明理由.
21. 如图，在多面体中，底面是梯形，，，，底面，，，点为的中点，点在线段上．
（1）证明：平面；
（2）如果直线与平面所成的角的正弦值为，求点的位置．
22. 已知椭圆：()上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点任作一条直线，与椭圆交于不同于的、两点，与直线：交于点，记直线、、的斜率分别为、、，求证：.
2024年兰州市高二级第一学期期中学业质量检测卷（3）
数 学
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
第I卷（非选择题 共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知两个非零向量，，则这两个向量在一条直线上的充要条件是（ ）．
A. B.
C. D. 存在非零实数，使
【答案】D
【解析】
【分析】
分析各选项中、的位置关系，由此可得出合适的选项.
【详解】若非零向量，在同一条直线上，则、共线.
对于A选项，，且是与同向的单位向量，是与同向的单位向量，
所以，、同向，所以，是、在一条直线上的充分不必要条件；
对于B选项，取，，则，但、不共线；
对于C选项，若，则，可知；
对于D选项，“存在非零实数，使”“”.
故选：D.
2. 已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】，焦点到渐近线的距离为，说明，则，
∴双曲线的方程为
故选:B
3. 若直线与圆相交，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
圆心到直线的距离小于半径解不等式即可.
【详解】解：圆的标准方程为，圆心，半径，
∵直线与圆相交，∴，解得或，
故选：D.
4. 已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最小值为
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：由得点在圆上，因此由两圆有交点得，即的最小值为选D.
考点：两圆位置关系
5. 若圆上有且仅有两个点到原点的距离为，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可得已知圆与圆相交，由圆心距和两圆半径之间的关系，列式即可得解.
【详解】由题意可得：已知圆与圆相交，
∴，
∴，
解得且，
故选：B.
6. 如图所示，在三棱锥P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC．过点A作AE∥CB，又CB⊥AB，则AP，AB，AE两两垂直．如图，以A为坐标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(4，0，0)，C(4，−2，0)．因为D为PB的中点，所以D(2，0，1)．
故=(−4，2，2)，=(2，0，1)．所以cs〈，〉===−.
设异面直线PC，AD所成的角为θ，则cs θ=|cs〈，〉|=.
7. 若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先判定两直线平行，再求出两平行线之间的距离即得解.
【详解】因为，所以两直线平行，
将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，
由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，
即，所以|PQ|的最小值为.
故选：C.
【点睛】本题主要考查平行直线的判定和两平行线之间的距离的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8. 阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点、间的距离为，动点与、距离之比为，当、、不共线时，面积的最大值是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建系，利用求出圆的方程，可得圆的半径，进而可求出三角形面积的最大值.
【详解】如图，以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建系，如图：
则、，设，
∵，∴，
两边平方并整理得：，
所以圆的半径为，
∴面积的最大值是.
故选：D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由两直线平行求得，并确定两直线不重合，然后求出两平行线的距离即可得．
【详解】∵，∴，解得或，
时，两直线方程为，即，，符合，
当时，两直线方程，即，，不符合，
故选：B.
【点睛】易错点睛：本题考查两直线平行，考查平行间距离公式，解题时一是由平行的条件之一求出参数值后要检验两直线是平行的（不重合），二是求出平行线间的距离，确定满足题意，否则易出错．
10. 已知、、和为空间中的个单位向量，且，可能等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据n个向量的和的模不大于n个向量的模的和可推出结论.
【详解】，
又，
所以，
当且仅当共线同向时等号成立，
因为为单位向量，且，
若共线，则存在实数使得，
即，可得，方程组无解，
所以一定不共线.
.
故选：CD.
11. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 若，则的长度相等而方向相同或相反
B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
C. 若两个非零向量与满足，则
D. 若空间向量，满足，且与同向，则
【答案】BC
【解析】
【分析】A中结合模长与向量的关系可判断错误；B中结合向量可平移和共线的概念判断正确；
C中可判断与为相反向量，正确；D中向量大小不能进行比较，错误
【详解】A. 若，则的长度相等，它们的方向不一定相同或相反，所以该选项错误；
B.根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则与第三个向量必然共面，则这三个向量一定共面，所以该选项正确；
C. 若两个非零向量与满足，则，所以，所以该选项正确；
D. 若空间向量，满足，且与同向，与也不能比较大小，所以该选项错误.
故选：BC
【点睛】本题考查对平面向量及空间向量基本概念的辨析，命题真假的判断，属于基础题
12. 如图所示，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A. 平面平面B. 不是定值
C. 三棱锥的体积为定值D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】A.易证明平面，得到面面垂直；B.转化，再求数量积；C. ,根据底面积和高，判断体积是否是定值；D.由平面，判断线线是否垂直.
【详解】A.因为是正方体，所以平面，平面，所以平面平面，所以A正确；
B.
，故，故B不正确；
C.，的面积是定值，平面，点在线段上的动点，所以点到平面的距离是定值，所以是定值，故C正确；
D.，，，所以平面，平面，所以，故D正确.
故选：ACD
【点睛】本题考查点，线，面的位置关系，体积，空间向量数量积的综合判断题型，重点考查垂直关系，属于中档题型.
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：关于直线：的对称点为，所以反射光线所在直线的方程是直线的方程:
考点：反射直线
14. 如图所示，平行六面体中，，，，则线段的长度是________.
【答案】
【解析】
【分析】由平行六面体法则可得，利用空间向量数量积的运算性质可求得线段的长度.
【详解】由题意可得，
，
，
由平行六面体法则可得，
所以，
，
故.
故答案：.
15. 抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A､B两点，且满足，点O为原点，则的面积为___________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据抛物线定义可得出,由得出，再由，建立关系，联立解出A点坐标即可求三角形面积.
【详解】如图，
由题意可知，，
由得，
又根据可得，，
即，即，解得，，
∴A点坐标为或，
∴.
故答案为：2
16. 如图所示，在正四棱柱中，，，动点、分别在线段、上，则线段长度的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出异面直线、的公垂线的长度，即为所求.
【详解】由题意可知，线段长度的最小值为异面直线、的公垂线的长度.
如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则点、、、，
所以，，，，
设向量满足，，
由题意可得，解得，取，则，，
可得，
因此，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将长度的最小值转化为异面直线、的距离，实际上就是求出两条异面直线的公垂线的长度，利用空间向量法求出两条异面直线间的距离，首先要求出两条异面直线公垂线的一个方向向量的坐标，再利用距离公式求解即可.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.
已知平行六面体中，各条棱长均为，底面是正方形，且，设，，.
（1）用，，表示及求；
（2）求异面直线与所成的角的余弦值.
【答案】(1) ,.(2).
【解析】
【分析】(1)在图形中，利用向量线性运算法则表示，再由求.
(2) 由可求异面直线与所成的角的余弦值.
【详解】（1）.

，
.
（2），
则

.
又，，
.
异面直线与所成的角的余弦值是.
【点睛】本题考查空间向量的运算，用空间向量求异面直线的夹角.在不建立坐标系的情况下，空间向量的运算与平面向量类似，但表示空间向量需要不共面的三个向量作为基向量.由空间向量求异面直线的夹角时，应注意向量夹角和直线夹角的取值范围的不同，当向量的夹角的余弦值为负数时，相应异面直线的夹角应为其相反数.
18. 过点作直线分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.
(1)当△AOB面积最小时，求直线的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线方程.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】由题意设，，其中，为正数，可设直线的截距式为，代点可得，
（1）由基本不等式可得，由等号成立的条件可得和的值，由此得到直线方程，
（2），由基本不等式等号成立的条件可得直线的方程．
【详解】由题意设，，其中，为正数，可设直线的截距式为，直线过点，，
（1）由基本不等式可得，解得：，当且仅当，即且时，上式取等号，
面积，则当，时，面积最小，此时直线的方程为，即，
（2）由于，当且仅当，即且时取等号，
所以当，时，的值最小，此时直线的方程为，即．
【点睛】本题考查直线的截距式方程，涉及不等式求最值，属于中档题．
19. 如图所示，在ΔABC中，，为边上一点，且，平面，，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题意证得，再由平面，得到，结合线面垂直的判定定理，证得平面，进而得到平面平面.
（2）以､､所在射线分别为､､轴，建立空间直角坐标系，求得平面一个法向量和向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）在中，，且，所以，
所以，所以，
又因为平面，平面，所以，
又因为平面，，
所以平面，即平面，
又由平面，所以平面平面.
（2）以､､所在射线分别为､､轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则，，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
所以，即，令，则，，所以，
设与平面所成的角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
20. 如图，三棱柱中，，，.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，在棱上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求的长，若不存在，说明理由.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据线面垂直的性质证明A1C1⊥平面CBB1C1 从而得到线线垂直，即可证明：A1C1⊥CC1、（2）建立空间坐标系，求出两个半平面的法向量，利用向量法进行求解即可．
解析：
（Ⅰ）证明：连接 为平行四边形，且
为菱形
又，平面

又 平面
（Ⅱ）
两两垂直
以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，设

易知，，，
则平面的一个法向量
设是平面的一个法向量
则 得
，解得：
在棱上存在点，当时，得二面角的大小为.
21. 如图，在多面体中，底面是梯形，，，，底面，，，点为的中点，点在线段上．
（1）证明：平面；
（2）如果直线与平面所成的角的正弦值为，求点的位置．
【答案】（1）证明见解析；（2）点与点重合．
【解析】
【分析】（1）通过证明可证平面；
（2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设()，利用空间向量求出即可得解.
【详解】（1）证明：在梯形中，∵，且，
∴，，∴，
∵点为的中点，∴，∴，
∴四边形是平行四边形，，∴，
又∵底面，底面，∴，
又平面，平面，，∴平面；
（2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系：
则、、、、，
∴，，，
设()，则，
则，，
设平面的法向量为，由得，
令得，则平面的一个法向量为，
则
，
所以，整理得，
解得或，
因为，所以应舍去，
所以，即，
∴当点与点重合时直线与平面所成的角的正弦值为．
【点睛】关键点点睛：（1）证明是解题关键；（2）正确建立空间直角坐标系，利用空间向量求解是解题关键.
22. 已知椭圆：()上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点任作一条直线，与椭圆交于不同于的、两点，与直线：交于点，记直线、、的斜率分别为、、，求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据条件和椭圆的几何性质可得，结合关系设其方程，结合点在椭圆上代入可求椭圆的方程；
（2）当直线的斜率存在时，设出直线的方程，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理求，再求点坐标，求出由此证明.
【小问1详解】
∵椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为、，
∴，即，
∵，∴，故可设椭圆的方程为：，
∵点在椭圆上，
∴将其代入椭圆得，
∴椭圆的方程为.
【小问2详解】
依题意，直线不可能与轴垂直，故可设直线的方程为：，
即，
设与椭圆的两个交点为，，
将代入方程化简得，，
∴恒成立，∴，，
∴
，
又由，
解得，，即点的坐标为，
∴，
∴，原命题得证.