甘肃省武威2024-2025学年高二上学期期中考试 数学试卷（含解析）

这是一份甘肃省武威2024-2025学年高二上学期期中考试 数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. (多选)下列问题属于组合问题的是（）
A. 从4名志愿者中选出2人分别参加志愿服务工作
B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数
C. 从全班同学中选出3名同学出席大学生运动会开幕式
D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长､副班长和学习委员
【答案】AC
【解析】
【分析】根据组合问题只需选出元素即可，而排列问题是对选出的元素还需进行排序，对每一选项进行判断，即可得出答案.
选项A. 从4名志愿者中选出2人分别参加志愿服务工作，只需选出2人即可，无排序要求，故是组合问题.
选项B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数,
选出3个不同数字，还需对3个数字进行排序成三位数，故是排列.
选项C. 从全班同学中选出3名同学出席大学生运动会开幕式, 只需选出3人即可，无排序要求，故是组合问题.
选项D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长､副班长和学习委员
先从全班选出3人，再安排其职务，即需排序，故是排列问题.
所以B，D项均为排列问题，A，C项是组合问题.
故选：AC
2. 已知点到抛物线的焦点的距离为，则该抛物线的准线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出抛物线的焦点的坐标，利用平面内两点间的距离公式求出的值，即可得出该抛物线的准线的方程.
抛物线的焦点为，
则，且，解得，
故该抛物线的准线方程为.
故选：C.
3. 圆与双曲线的渐近线相切，则的值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件求得圆心和渐近线方程，再由点到直线的距离公式求得半径.
由已知得圆心为（2,0），双曲线渐近线方程为，故圆心到渐近线的距离为，所以，故选C.
【点睛】本小题主要考查圆的标准方程，考查双曲线渐近线的求法，考查点到直线距离公式和直线与圆的位置关系，属于基础题.
4. 可表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据排列数的定义可得出答案．
，
故选：B
5. 某学习小组有男、女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数分别为（）
A. 3，5B. 2，5C. 5，3D. 6，2
【答案】A
【解析】
【分析】先设男生女生人数，再根据已知列式，结合排列数及组合数的计算即可解.
设男生人数为，则女生人数为，
由题意可知，即，即，
解得，所以男、女生人数为.
故选:A.
6. 已知点和点，若直线上存在点，可使，则称该直线为“D型直线”．下列四条直线中：①；②；③；④．“D型直线”的条数是（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由题意点在椭圆上，再逐项分析直线是否与椭圆相交即可得解.
由可知，点轨迹为椭圆，
由，可得，又焦点在轴上，
故椭圆的方程为，
由题意，直线与椭圆相交即为“D型直线”，
由过点，知直线过椭圆内的点，故相交，是“D型直线”，
由可知，与椭圆相交，是“D型直线”，不与椭圆相交，不是“D型直线”，
由知不与椭圆相交，不是“D型直线”.
故选：B
7. 年月我校组织年校庆活动，有甲、乙、丙名志愿者负责、、、等个任务．每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责任务的分配方法共有（）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】C
【解析】
【分析】分别考虑甲负责个任务和甲负责个任务的情况，结合甲不负责，可得答案.
因任务有个，人只有三个，结合题意可知有人负责两个任务.
若甲负责两个任务，因甲不负责任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法，
则此时的分配方法共有种；
若甲负责个任务，因甲不负责任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法，
则此时的分配方法共有种；
综上，满足题意的分配方法共有种.
故选：C
8. 已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，设椭圆M的离心率为，双曲线N的离心率为，则为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意画出椭圆与双曲线的图像，根据正六边形的性质，即可找到椭圆中与双曲线中的关系式，即可求出其离心率.
如图所示：
因为.
所以双曲线的渐近线为，即.
因为、、、.
所以 .
所以.
故选B.
【点睛】本题考查椭圆与双曲线的离心率,属于基础题.解决本题的关键在于正确画出其图像，找到图像中的关于等式.
二．多选题（共3小题，满分18分，每小题全部选对得6分，部分选对得2分）
9. 已知曲线，，则（）
A. 的长轴长为4B. 的渐近线方程为
C. 与的焦点坐标相同D. 与的离心率互为倒数
【答案】BD
【解析】
【分析】根据椭圆与双曲线的标准方程，结合它们的几何性质逐项判断即可得.
由，即为：，故焦点在轴上，
长轴长为，故A错误；
焦点坐标为，离心率为，
对，渐近线方程为，故B正确；
焦点坐标为，与的焦点坐标不相同，故C错误；
离心率为，与的离心率互为倒数，故D正确.
故选：BD.
10. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（）
A. 若任意选择三门课程，选法总数
B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为
C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为
D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为
【答案】ABD
【解析】
【分析】若任意选择三门课程，由组合的概念可知选法总数为种，可判断A错误；若物理和化学至少选一门，由分步乘法计数原理知选法总数为种，可判断B错误；若物理和历史不能同时选，利用间接法可知选法总数为种，可判断C正确；若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D错误．
对于A，若任意选择三门课程，选法总数为种，故A错误
对于B，若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有种选法
若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有种选法
由分步乘法计数原理知，总数为种选法，故B错误
对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确
对于D，若物理和化学至少选一门，有3种情况，
只选物理不选历史，有种选法
选化学，不选物理，有种选法
物理与化学都选，不选历史，有种选法
故总数为种，故D错误
故选：ABD
11. 已知点F是抛物线的焦点，AB，CD是经过点F的弦且，AB的斜率为k，且，C，B两点在x轴上方，则下列结论中正确的是（）
A. B. 四边形ACBD面积的最小值为
C. D. 若，则直线CD的斜率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】设直线CD的方程为，将该直线CD的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理可判断A选项的正误，求出、关于的表达式，利用基本不等式可判断B选项的正误，利用弦长公式可判断C选项的正误，利用弦长公式求出的值，可判断D选项的正误.
对于A选项，设直线CD的方程为，设点、，联立，可得，所以，所以，，故A选项正确；
对于B选项，，
同理可得，，
所以，四边形的面积为，当且仅当时，等号成立，故B选项错误；
对于C选项，，故C选项正确.
对于D选项，设点、、，直线AB的方程为，
联立，可得，则，
所以，，解得，
∵，则，直线CD的斜率为，故D选项正确；
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：有关直线与抛物线弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
第II卷（非选择题）
三填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共15 分）
12. 经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
设出方程，代入点A即可求出.
双曲线为等轴双曲线，则可设方程为，
将代入可得，即，
故方程为，化为标准方程为.
故答案为：.
13. 从1，3，5中任取2个数，从0，2，4中任取2个数，则组成没有重复数字的四位数的个数为_________.
【答案】
【解析】
【分析】先分类讨论从0，2，4中任取2个数时，其中含数字0时，和不含数字0时，结合排列组合即可得解．
从1，3，5中任取两个数，从0，2，4中任取2个数，组成没有重复数字的四位数，分两种情况：
①当从0，2，4中任取2个数，其中含数字0时，则组成没有重复数字的四位数的个数为;
②当从0，2，4中任取2个数，其中不含数字0时，则组成没有重复数字的四位数的个数为.
综合①②得：组成没有重复数字的四位数的个数为.
故答案为：．
14. 已知椭圆，点M1，M2，…，M5为其长轴AB的6等分点，分别过这5点作斜率为k（k≠0）的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，…，P10，则直线AP1，AP2，…AP10这10条直线的斜率乘积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】设点，则，由椭圆的对称性可知，所以，同理可得其它，即可求出．
如图所示：
设点，则
同理可得，．
由椭圆的对称性可得，∴，，
同理可得，．
∴直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查椭圆的性质运用，属于基础题．
四、解答题（本题共5个答题，共77分）
15. （1）计算：；
（2）若，则x的值为_____；
（3）若，求正整数n．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）利用排列数、组合数公式计算即得.
（2）利用组合数的性质，排列数、组合数公式化简方程求解.
（3）利用组合数的性质化简求解.
（1）.
（2）依题意，，则，，
整理得：，而，所以.
（3）
，
因此，即，所以.
16. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点.
（1）求双曲线的方程；
（2）求与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线的标准方程；
（3）若直线与双曲线交于、两点，且、的中点坐标为，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的方程.
（2）设过点的双曲线为，利用点求得，从而求得该双曲线的方程.
（3）利用点差法求得直线的方程.
【小问1详解】
椭圆，即，
所以，所以，
所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
双曲线，对应，所以渐近线方程为，
设过点的双曲线的标准方程为，
所以，所以.
【小问3详解】
设，则，
两式相减并化简得，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为.
由，
消去并化简得，符合.
所以直线的方程为.
17. 寒假有来自不同大学的3名男生和2名女生来母校开展大学宣讲活动．
（1）若要将这5名同学分配到三个班进行宣讲，每班至少一名同学，有多少种不同的分配方案？
（2）宣讲完毕，这五位同学和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同学中间，有多少种不同的排法？
（3）若这五位同学中甲、乙、丙三位同学身高互不相等，则这五位同学和班主任合影留念时甲、乙、丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？
（4）随后这五位同学合影留念时，同学甲不站在最左端，同学乙不站在最右端，有多少种不同的排法？（写出必要的数学式，结果用数字作答）
【答案】（1）150（2）48
（3）120（4）
【解析】
【分析】（1）将5名同学分为3，1，1或2，2，1三组，然后分配到三个班；
（2）先甲乙同学之间排列，再把班主任和甲乙同学看作一个整体，与其他3名同学排列；
（3）先将6人全排列，考虑到甲、乙、丙三人排列有种，进而可得所求排法；
（4）先将五位同学全排列，去掉同学甲站在最左端的情形，再去掉同学乙站在最右端的情形，再加上重复去掉的同学甲站在最左端且同学乙站在最右端的情形.
【小问1详解】
将5名同学分为3，1，1或2，2，1三组，然后分配到三个班，
所以分配方案有种．
【小问2详解】
先甲乙同学之间排列，再把班主任和甲乙同学看作一个整体，与其他3名同学排列，
则不同的排法种．
【小问3详解】
先将6人全排列有种，考虑到甲、乙、丙三人排列有种，
所以甲、乙、丙三人按高低从左到右排列时，不同的排法有种．
【小问4详解】
先将五位同学全排列，去掉同学甲站在最左端的情形，再去掉同学乙站在最右端的情形，再加上重复去掉的同学甲站在最左端且同学乙站在最右端的情形，
所以不同的排法种数有．
18. 已知椭圆的中心在坐标原点，离心率等于，它的一个长轴端点恰好是抛物线的焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知、（）是椭圆上的两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为.
①求四边形APBQ的面积的最大值；
②求证：.
【答案】（1）；（2）①；②证明见解析.
【解析】
【分析】（1）设椭圆C的方程，再根据抛物线的焦点坐标，和椭圆离心率，则可求出椭圆C的方程的解析式.
（2）①先求出m的值，设，和直线AB的方程，再联立直线AB的方程和由（1）求得的椭圆方程，得到，可求出t的范围，再根据韦达定理可得，则四边形APBQ的面积的最大值可求，②由①得P点坐标，再根据斜率公式写出,,再将化简即可得则可证.
（1）由题意设椭圆的方程为，
因为抛物线的焦点坐标为，则，
由，
∴椭圆C的方程为.
（2）①当时，解得，
，
设，直线AB的方程为，
，
，
由，解得，
由韦达定理得.
，
由此可得：四边形APBQ的面积，
∴当时，.
②，
，
，
即 ，
.
【点睛】考查椭圆的标准方程，椭圆中的最值问题以及椭圆的应用.题目较难.需多加理解.
19. 已知抛物线的焦点为，准线的方程为.若三角形的三个顶点都在抛物线上，且，则称该三角形为“向心三角形”.
（1）是否存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和？说明理由；
（2）设“向心三角形”的一边所在直线的斜率为，求直线的方程；
（3）已知三角形是“向心三角形”，证明：点的横坐标小于.
【答案】（1）不存在，理由详见解析；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意可知，点为ΔABC的重心，假设存在一点使得“向心三角形”存在，求得该点的坐标，代入抛物线的方程，进行判断即可；
（2）设点、、，利用点差法求得，根据重心的坐标公式，求出线段的中点坐标，然后利用点斜式方程可得出直线的方程；
（3）由，等式两边平方，利用基本不等式可得出，结合等式可求出，进而证明结论成立.
（1）由题意可知，抛物线的标准方程为，
由，可知，为ΔABC重心，
设存在点“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和，另外的顶点为，
由，解得：，显然，
故不存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和；
（2）设、、，
由，两式相减，得，所以，所以，
由题意可知，，所以，则，
由，所以，所以，线段的中点，
因此，直线的方程为，整理得.
因此，直线的方程；
（3）由（2）可知，则，①
由，，
平方可得，当且仅当时取等号，显然，
所以，即，
将①代入可得，解得，
所以点的横坐标小于.
【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查三角形重心坐标公式的应用、点差法以及基本不等式的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.