2023-2024学年新疆伊犁州九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年新疆伊犁州九年级（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列方程，是一元二次方程的是( )
①3x2+x=20，②2x2−3xy+4=0，③x2−1x=4，④x2=0．
A. ①②B. ①②④C. ①③④D. ①④
3.将抛物线y=2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的顶点坐标是( )
A. (−1,3)B. (−1,−3)C. (1,−3)D. (1,3)
4.下列说法中正确的是( )
A. “过圆内一点的直线与圆相交”是随机事件
B. “方程x2−mx−1=0有两个不相等的实数根”是必然事件
C. “二次函数y=ax2+c与x轴相交”是不可能事件
D. “过平面内三点可画圆”是必然事件
5.过点A作圆O的切线只有一条，那么点A与圆O的位置关系是( )
A. 点A在圆O外B. 点A在圆O上C. 点A在圆O内D. 以上都有可能
6.函数y=−2x2−8x+m的图象上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，若x1A. y1y2
C. y1=y2D. y1、y2的大小不确定
7.已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是( )
A. 20cm2B. 20πcm2C. 15cm2D. 15πcm2
8.今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是( )
A. 2500x2=3500B. 2500(1+x)2=3500
C. 2500(1+x%)2=3500D. 2500(1+x)+2500(1+x)2=3500
9.若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为( )
A. 6，3 2B. 3 2，3C. 6，3D. 6 2，3 2
10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc<0；②a+b+c<0；③4a+c>2b；④2a−b=0；⑤m(am+b)+bA. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA=10cm，C是劣弧AB上的点(不与点A、B重合)，过点C的切线分别交PA、PB于点E、F.则△PEF的周长为______ cm．
12.如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若AC= 3，∠B=60°，则CD的长为______．
13.若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)的一个解是x=1，则2018−a−b的值是______ ．
14.若二次函数y=mx2+2x+1的图象于x轴有交点，则m的取值范围为______．
15.如图，在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路，使剩余面积是原矩形面积的一半，具体尺寸如图所示.求小路的宽是多少？设小路的宽是xm，根据题意可列方程为______ ．
16.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上一点，已知∠BOD=130°，则∠DCE的度数为______ ．
17.抛物线和y=-3x2形状相同，方向相反，且顶点为(-1,3)，则它的关系式为______．
18.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去….若点A(32,0)，B(0,2)，则点B2023的坐标为______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共12分。
19.某学校“体育课外活动兴趣小组”，开设了以下体育课外活动项目：A.足球 B.乒乓球C.羽毛球 D.篮球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有______人，在扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数为______；
(2)请你将条形统计图补充完整；
(3)在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加市里组织的乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答)．
四、解答题：本题共5小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题10分)
用适当的方法解方程：
(1)x2−4x−7=0；
(2)x(x−2)+x−2=0．
21.(本小题8分)
如图，正方形网格中(每个小正方形的边长都为1个单位)，在平面直角坐标系内，△OBC的顶点B、C分别为B(0,−4)，C(2,−4)．
(1)画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△OB1C1；
(2)在(1)的条件下，求出旋转过程中点C所经过的路径长(结果保留π)．
22.(本小题12分)
一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元/件时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)如果每天获得104元的利润，销售单价为多少元/件？
23.(本小题12分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E.过点D作DF⊥AC于点F．
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°.求阴影部分的面积．
24.(本小题12分)
如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x=−1，抛物线交x轴于A，C两点，与直线y=x−1交于A，B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；
(3)点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故正确；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误．
故选：B．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】D
【解析】解：①3x2+x=20是一元二次方程；
②2x2−3xy+4=0是二元二次方程；
③x2−1x=4是分式方程；
④x2=0是一元二次方程．
故选：D．
根据一元二次方程的定义对各小题进行逐一分析即可．
本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：将抛物线y=2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位为：y=2(x+1)2+3，
则平移后的抛物线的顶点坐标为：(−1,3)．
故选：A．
直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，即可得出顶点坐标．
此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．
4.【答案】B
【解析】解：A.“过圆内一点的直线与圆相交”是必然事件，此选项不符合题意；
B.Δ=m2+4>0，故“方程x2−mx−1=0有两个不相等的实数根”是必然事件，此选项符合题意；
C.“二次函数y=ax2+c与x轴相交”是随机事件，此选项不符合题意；
D.“过平面内三点可画圆”是随机事件，此选项不符合题意；
故选：B．
根据直线与圆的关系、一元二次方程的根的判别式、二次函数图象与x轴的交点情况、圆的定义逐一判断即可．
本题主要考查事件的可能性，解题的关键是掌握直线与圆的关系、一元二次方程的根的判别式、二次函数图象与x轴的交点情况、圆的定义．
5.【答案】B
【解析】解：如果点A在⊙O外，则过点A作⊙O的切线有两条；
如果点A在⊙O内，则过点A的直线与⊙O相交，
当点A在⊙O上，连接OA，过点A作⊙O的切线AP，则AP⊥OA，
∵AP是唯一的，
∴过点A作⊙O的切线只有一条，
∴点A在⊙O上，
故选：B．
如果点A在⊙O外，则过点A作⊙O的切线有两条；如果点A在⊙O内，则不存在过点A的⊙O的切线，而当点A在⊙O上，连接OA，过点A作⊙O的切线AP，则AP⊥OA，所以AP是唯一的，于是得到问题的答案．
此题重点考查直线与圆的位置关系、切线的判定等知识，证明点A在圆上时过点A作⊙O的切线只有一条是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵y=−2x2−8x+m，
∴此函数的对称轴为：x=−b2a=−−82×(−2)=−2，
∵x1∴对称轴左侧y随x的增大而增大，
∴y1故选：A．
根据x1、x2与对称轴的大小关系，判断y1、y2的大小关系．
此题主要考查了函数的对称轴求法和函数的单调性，利用二次函数的增减性解题时，利用对称轴得出是解题关键．
7.【答案】D
【解析】解：圆锥的侧面积=2π×3×5÷2=15π．
故选：D．
圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
8.【答案】B
【解析】解：设增长率为x，根据题意得2500×(1+x)2=3500，
故选B．
根据2013年教育经费额×(1+平均年增长率)2=2015年教育经费支出额，列出方程即可．
本题考查一元二次方程的应用--求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.(当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“−”)．
9.【答案】B
【解析】解：∵正方形的边长为6，
∴AB=3，
又∵∠AOB=45°，
∴OB=3
∴AO= 32+32=3 2，
即外接圆半径为3 2，内切圆半径为3．
故选：B．
由正方形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的长度．
此题主要考查了正多边形和圆，正确利用正方形的性质得出线段长度是解题关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−1<0，
∴b=2a，
∴b<0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c>0，
∴abc>0，所以①错误；
∵x=1时，y<0，
∴a+b+c<0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，抛物线与x轴的一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，
∴抛物线与x轴的一个交点在点(−3,0)和(−2,0)之间，
∴当x=−2时，y>0，
∴4a−2b+c>0，所以③正确；
∵抛物线对称轴x=−b2a=−1，
∴b=2a，即2a−b=0，所以④正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，
∴当x=−1时，y有最大值，
∴am2+bm+c∴m(am+b)综上，正确的结论有②③④⑤，
故选：C．
由抛物线开口向下得a<0，由抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−1得b=2a<0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c>0，所以abc>0；由于x=1时，函数值小于0，所以a+b+c<0；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点在点(−3,0)和(−2,0)之间，则当x=−2时，y>0，即4a−2b+c>0；根据抛物线的对称轴为直线x=−1，开口向下，得到当x=−1时，y有最大值，所以am2+bm+c本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线，当a>0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=−b2a；抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)；当b2−4ac>0，抛物线与x轴有两个交点；当b2−4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2−4ac<0，抛物线与x轴没有交点．
11.【答案】20
【解析】【分析】
本题主要考查了切线长定理，对于定理的认识，在图形中找到切线长定理的基本图形是解决本题的关键．
利用切线长定理，可以得到：PA=PB，AE=EC，FC=FB，据此即可求解．
【解答】
解：∵PA，PB是圆的切线．
∴PA=PB
同理，AE=EC，FC=FB．
三角形PEF的周长=PE+EF+PF=PE+PF+CF+EC=PE+AE+PF+FB=PA+PB=2PA=20cm．
故答案是20．
12.【答案】1
【解析】解：∵直角△ABC中，AC= 3，∠B=60°，
∴AB=ACtan∠ABC= 3 3=1，BC=ACsin∠ABC= 3 32=2，
又∵AD=AB，∠B=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=1，
∴CD=BC−BD=2−1=1．
故答案是：1．
在直角三角形ABC中利用三角函数首先求得AB和BC的长，然后证明△ABD是等边三角形，根据CD=BC−BD即可求解．
本题考查了三角函数和旋转的性质，正确证明△ABD是等边三角形是关键．
13.【答案】2023
【解析】解：把x=1代入方程，得a+b+5=0，
即a+b=−5．
∴2018−a−b
=2018−(a+b)
=2018−(−5)
=2023．
故答案为：2023．
把根代入方程，得关于a、b的关系式，然后整体代入得结果．
本题考查了一元二次方程的解得意义，解决本题的关键是运用整体代入的思想．
14.【答案】m≤1且m≠0
【解析】【分析】
利用二次函数的定义和判别式的意义得到m≠0且Δ=22−4m≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由Δ决定：Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
【解答】
解：根据题意得m≠0且Δ=22−4m≥0，
解得m≤1且m≠0．
故答案为m≤1且m≠0．
15.【答案】(30−x)(20−x)=12×30×20
【解析】解：设道路的宽应为x米，由题意有
(30−x)(20−x)=12×30×20．
故答案为：(30−x)(20−x)=12×30×20．
把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的种植花草部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
16.【答案】65°
【解析】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BOD=130°，
∴∠A=12∠BOD=12×130°=65°，
∴∠DCE=∠A=65°．
故答案为：65°．
先根据圆心角与圆周角的关系可得出∠A=12∠BOD=65°，再根据圆内接四边形的性质可得∠DCE的度数．
此题主要考查了圆心角与圆周角的关系，圆内接四边形的性质，准确识图，理解同弧所对的圆心角是它所对圆周角的2倍，圆内接四边形的一个外角等于它的内对角是解决问题的关键．
17.【答案】y=3(x+1)2+3
【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟记a值确定抛物线的开口方向和抛物线的形状是解题的关键.解题时根据抛物线和y=−3x2形状相同，方向相反，可以得到a=3，再根据顶点为(−1,3)，即可求出抛物线的解析式；
【解答】
解：∵抛物线和y=−3x2形状相同，方向相反，
∴a=3，
又∵抛物线的顶点坐标为(−1,3)，
∴这个抛物线的解析式为y=3(x+1)2+3．
故答案为y=3(x+1)2+3．
18.【答案】(6064,0)
【解析】解：由图象可知点B2023在x轴上，
∵OA=32，OB=2，∠AOB=90°，
∴AB= OA2+OB2= (32)2+22=52，
∴B1(4,0)，B3(10,0)，B5(16,0)，…，
∴OB1=4，B1B3=B3B5=6，
∵20213÷2=1010⋅⋅⋅3，
∴1010×6=6060，6060+6=6066，
∴B2023(6066,0)．
故答案为(6066,0)．
首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B1、B3…，由图象可知点B2021在x轴上OB1=4，B1B3=6，根据这个规律可以求得B2023的坐标．
本题考查坐标与图形的变化−旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】解：(1)200 72°
(2)C类人数为200−80−20−40=60(人)，
完整条形统计图为：
(3)画树状图如下：
由上图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种．
所以P(恰好选中甲、乙两位同学)=212=16．
【解析】解：(1)20÷36°360∘=200，
所以这次被调查的学生共有200人，
在扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数=40200×360°=72°；
故答案为200，72°；
(2)(3)见答案
【分析】(1)利用扇形统计图得到A类的百分比为10%，则用A类的频数除以10%可得到样本容量；然后用B类的百分比乘以360°得到在扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数；
(2)先计算出C类的频数，然后补全统计图；、
(3)画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两位同学的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
20.【答案】解：(1)∵x2−4x−7=0，
∴x2−4x=7，
则x2−4x+4=7+4，即(x−2)2=11，
解得x−2=± 11，
∴x=2± 11，即x1=2+ 11，x2=2− 11；
(2)∵x(x−2)+x−2=0，
∴(x−2)(x+1)=0，
则x−2=0或x+1=0，
解得x1=2，x2=−1．
【解析】(1)利用配方法求解可得；
(2)利用因式分解法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图所示：△OB1C1，即为所求；
(2)旋转过程中点C所经过分路径长为：90π×2 5180= 5π.
【解析】(1)利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)利用弧长求法得出答案．
此题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
22.【答案】解：(1)设y与x的函数解析式为y=kx+b (k≠0)，
将(10,30)、(16,24)代入，得：10k+b=3016k+b=24，
解得：k=−1b=40，
所以y与x的函数解析式为：y=−x+40(10≤x≤16)；
(2)根据题意知：W=(x−10)y
=(x−10)(−x+40)
=−x2+50x−400
=−(x−25)2+225，
∵a=−1<0，
∴当x<25时，W随x的增大而增大，
∵10≤x≤16，
∴当x=16时，W取得最大值，最大值为144；
答：每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式为W==−x2+50x−400，每件销售价为16元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
(3)根据题意知，−(x−25)2+225=104，
∴x=14或x=36(舍去)，
答：销售单价为14元元/件．
【解析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)根据每天销售利润=每件的销售利润×销售量得出函数解析式，再配方成顶点式，根据二次函数的性质求解即可；
(3)根据每天获得104元的利润列出关于x的一元二次方程，解之即可得出答案．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并熟练掌握二次函数的性质．
23.【答案】(1)证明：连接AD，连接OD；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC．
又AB=AC，D是BC的中点，
∴BD=DC．
∵BO=OA，
∴DO//AC，
又DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∵OD是半径，
∴DF是⊙O的切线；
(2)解：∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∴∠BAC=45°，
∵OB=OD，
∴∠BOD=45°，
过点B作BM⊥OD于M，

∴∠BOD=∠OBM=45°，
∴BM=OM，
∵OB=OD=4，
∴BM=2 2，
∴阴影部分的面积=12×4×2 2=4 2．
【解析】(1)连接AD、OD，则AD⊥BC，D为BC中点．OD为中位线，则OD/​/AC，根据DF⊥AC可得OD⊥DF.得证；
(2)连接OE，利用(1)的结论得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，过点B作BM⊥OD于M，利用勾股定理得到BM的长，利用三角形的面积公式得出结论．
本题考查切线的判定、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，学会用分割法求阴影部分面积，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)当y=0时，x−1=0，
解得：x=1，
∴A(1,0)，
∴a+b+3=0−b2a=−1，
解得：a=−1,b=−2
∴抛物线y=−x2−2x+3；
(2)解y=−x2−2x+3y=x−1得：x=1y=0或x=−4y=−5，
∴B(−4,−5)，
∴一次函数值大于二次函数值的x的取值范围为：x<−4或x>1；
(3)当直线y=x+k与抛物线y=−x2−2x+3有唯一的交点时，△ABP的面积最大，
此时方程x2+3x+k−3=0有两个相等的实数根，
∴Δ=9−4(k−3)=0，
解得：k=214，
∴x=−32，y=154，
∴P(−32,154).
【解析】(1)根据待定系数法求解；
(2)根据二次函数与不等式的关系求解；
(3)根据函数与方程的关系求解．
本题考查了二次函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键．