2023-2024学年新疆喀什地区英吉沙县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年新疆喀什地区英吉沙县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是( )
A. 3B. −1C. 0D. −3
2.下列函数中是二次函数的是( )
A. y=x+12B. y=3(x−1)2
C. y=(x+1)2−x2D. y=1x2−x
3.下列说法正确的是( )
A. 平移不改变图形的形状和大小，而旋转改变图形的形状和大小
B. 在平面直角坐标系中，一个点向右平移2个单位，则纵坐标加2
C. 在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分
D. 在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行
4.车轮转动一周所行的路程是车轮的( )
A. 半径B. 直径C. 周长D. 面积
5.下列事件中，是必然事件的是( )
A. 任意抛掷两枚质地均匀的硬币，正面朝上
B. 明天一定会下大雨
C. 装有1个蓝球3个红球的袋子中任取2个球，则至少有一个是红球
D. 投掷一枚普通骰子，朝上一面的点数是2
6.不透明口袋中有2个红球、3个黑球、4个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，是红球的概率为( )
A. 29B. 13C. 49D. 79
7.二次函数y=(x−3)(x+5)的图象的对称轴是( )
A. 直线x=3B. 直线x=−5C. 直线x=−1D. 直线x=1
8.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ACD=15°，则∠BAD的度数为( )
A. 75°
B. 72°
C. 70°
D. 65°
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.已知关于x的方程x2−3x=8x+4的根为x1，x2，则x1+x2−2x1x2的值为______ ．
10.如图，小明对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为：y=−110x2+710x+95，则小明此次实心球训练的成绩为______ 米.
11.点P(2a,2)与P′(−4,b)关于原点对称，则a+b= ______ ．
12.如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点(不与A、B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为_____．
13.已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为3cm的扇形，则这个圆锥的底面圆半径是______cm．
14.在一个不透明的袋子中装有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球，估计袋子中白球的个数约为______．
三、解答题：本题共8小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
解方程：
(1)x2+x−6=0；
(2)2x2+4x=−1．
16.(本小题6分)
如图，已知抛物线y=x2−4x−5与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，连接BC．
(1)求B，C及顶点D的坐标；
(2)求三角形BDC的面积．
17.(本小题6分)
一只不透明的袋子中，装有2个白球(标有号码1、2)和1个红球，这些球除颜色外其他都相同．
(1)搅匀后从中摸出一个球，摸到白球的概率是多少？
(2)搅匀后从中一次摸出两个球，请用树状图(或列表法)求这两个球都是白球的概率．
18.(本小题4分)
如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8，CD=3，则⊙O的半径是多少？
19.(本小题9分)
如图所示，将△ABC置于平面直角坐标系中，A(−1,4)，B(−3,2)，C(−2,1)
(1)画出△ABC向下平移5个单位得到的△A1B1C1.并写出点A1的坐标；
(2)画出△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标；
(3)画出以点O为对称中心，与△ABC成中心对称的△A2B3C3，并写出点A3的坐标．
20.(本小题6分)
如图，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若AD：DB=3：2，AC=15，求⊙O的直径．
21.(本小题4分)
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？这个最大利润是多少？
22.(本小题9分)
在平面直角坐标系中，设二次函数y=ax2+bx+2(a,b是常数，a≠0)．
(1)若a=2时，图象经过点(1,1)，求二次函数的表达式．
(2)写出一组a，b的值，使函数y=ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标．
(3)已知，二次函数y=ax2+bx+2的图象和直线y=ax+4b都经过点(2,m)，求证：a2+b2≥12．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：把x=2代入x2+mx+2=0得4+2m+2=0，解得m=−3．
故选：D．
把x=2代入x2+mx+2=0得4+2m+2=0，然后解关于m的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
2.【答案】B
【解析】解：A、是一次函数，故此选项错误；
B、y=3(x−1)2=3x2−6x+3，是二次函数，故此选项正确；
C、y=(x+1)2−x2=2x+1，为一次函数，故此选项错误；
D、y=1x2−x，是组合函数，故此选项错误．
故选：B．
整理成一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．
本题考查了二次函数的定义：函数y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)叫二次函数．
3.【答案】C
【解析】解：A、平移不改变图形的形状和大小，旋转也不改变图形的形状和大小，故此选项错误；
B、在平面直角坐标系中，一点向右平移2个单位，横坐标加2，故此选项错误；
C、在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都被对称中心平分，此选项正确；
D、在平移中，对应角相等，对应线段相等且平行，旋转则对应线段有可能不平行，故此选项错误．
故选：C．
分别利用图形的平移以及中心对称图形的性质和旋转的性质分别判断得出即可．
此题主要考查了几何变换的类型，利用平移的性质分析得出是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：车轮转动一周所行路程是求车轮的周长．
故选：C．
根据圆的周长的概念即可得到答案．
本题主要考查了圆的周长的概念，清楚绕圆一周的长度是圆的周长是解决此题的关键
5.【答案】C
【解析】解：A、任意抛掷两枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，属于不确定事件，故不符合题意；
B、明天一定会下大雨，是随机事件，属于不确定事件，故不符合题意；
C、装有1个蓝球3个红球的袋子中任取2个球，则至少有一个是红球，是必然事件，故符合题意；
D、投掷一枚普通骰子，朝上一面的点数是2，是随机事件，属于不确定事件，故不符合题意．
故选：C．
必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
本题考查了随机事件，解决本题要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概念是解决基础题的主要方法．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6.【答案】A
【解析】解：∵不透明袋子中装有9个球，其中有2个红球、3个黑球、4个白球，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是29，
故选：A．
根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．
本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn，难度适中．
7.【答案】C
【解析】解：∵y=(x−3)(x+5)，
∴函数图象与x轴的交点坐标为(3,0)，(−5,0)，
∴函数图象的对称轴为直线x=3−52=−1，
故选：C．
由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标，然后利用对称性得到对称轴，
本题考查了二次函数的性质和图象，会由交点式得到函数图象与x轴的交点坐标是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：连接BD，
∵∠ACD=15°，
∴∠B=∠ACD=15°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=180°−∠ADB−∠B=75°，
故选：A．
连接BD，根据圆周角定理求出∠B和∠ADB，根据三角形内角和定理求出即可．
本题考查了圆周角定理，能熟记圆周角定理的内容是解此题的关键．
9.【答案】19
【解析】解：∵x2−3x=8x+4，
∴x2−11x−4=0，
∵方程x2−11x−4=0的根为x1，x2，
∴x1+x2=11，x1x2=−4，
∴x1+x2−2x1x2=11−2×(−4)=19．
故答案为：19．
化成一般式，确定x1+x2，x1x2，直接代入计算即可．
本题考查了根与系数关系定理，正确理解定理，并活用定理是解题的关键．
10.【答案】9
【解析】解：当y=0时：0=−110x2+710x+95，
解得：x1=9，x2=−2(不合题意，舍去)，
∴小明此次实心球训练的成绩为9米；
故答案为：9．
求出抛物线与x轴正半轴的交点的横坐标，即为所求．
本题考查二次函数的实际应用．根据题意，求出抛物线与x轴正半轴的交点的横坐标，是解题的关键．
11.【答案】0
【解析】解：∵点P(2a,2)与P′(−4,b)关于原点的对称，
∴2a=4，b=−2，
∴a=2，
∴a+b=2+(−2)=0，
故答案为：0．
根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，则a=2，b=−2，从而得出a+b．
此题主要考查了坐标系中的点关于原点对称的坐标特点．注意：关于原点对称的点，横纵坐标分别互为相反数．
12.【答案】4
【解析】【分析】
本题考查了三角形的中位线和垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，难度适中．本题考查了三角形的中位线和垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，难度适中．根据垂径定理得出AC=PC，PD=BD，根据三角形的中位线推出CD=12AB，代入求出即可．
【解答】
解：∵OC⊥AP，OD⊥PB，
∴由垂径定理得：AC=PC，PD=BD，
∴CD是△APB的中位线，
∴CD=12AB=12×8=4，
故答案为4．
13.【答案】1
【解析】解：展开图扇形的弧长l=nπr180=120π×3180=2π．
根据题意展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，
∴这个圆锥的底面圆半径是2π2π=1(cm)．
故答案为：1．
根据展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，计算即可得出答案．
本题主要考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥原图与展开图扇形之间的关系进行求解是解决本题的关键．
14.【答案】24个
【解析】解：设白球有x个，
根据题意得：6x+6=0.2，
解得：x=24，
经检验：x=24是分式方程的解，
即白球有24个，
故答案为24个
估计利用频率估计概率可估计摸到白球的概率为0.2，然后根据概率公式构建方程求解即可．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
15.【答案】解：(1)x2+x−6=0，
(x−2)(x+3)=0，
∴x−2=0或x+3=0，
∴x1=2，x2=−3；
(2)2x2+4x=−1，
x2+2x=−12．
x2+2x+1=12，即(x+1)2=12，
∴x+1=± 22，
∴x1=−1+ 22，x2=−1− 22．
【解析】(1)利用因式分解法求出解即可；
(2)方程利用配方法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
16.【答案】解：(1)y=x2−4x−5当y=0时，x2−4x−5=0，
∴x1=−1，x2=5
∴B点坐标为(5,0)，
当x=0时，y=−5，
∴C点坐标(0,−5)，
∵y=x2−4x−5=(x−2)2−9，
∴D点坐标(2,−9)；
(2)由(1)知，抛物线对称轴为直线x=2，
设直线x=2与x轴相交于E，于BC相交于H，如图所示：

设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵B(5,0)，C(0,−5)，
∴b=−55k+b=0，
解得k=1b=−5，
∴直线BC的解析式为y=x−5，
当x=2时，y=−3，
∴H(2,−3)，
∴DH=−3−(−9)=6，
∴S△BCD=12DH⋅|xB−xC|=12×6×5=15．
【解析】(1)根据抛物线解析式分别求出点B，C，D坐标；
(2)直线x=2与x轴相交于E，于BC相交于H，先用待定系数法求出直线BC的解析式，再求出H点坐标，求出DH，再用S△BCD=12DH⋅|xB−xC|求出面积即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是利用二次函数的性质解题．
17.【答案】解：(1)袋子中，装有2个白球，1个红球，共3个球，
从中摸出一个球，摸到白球的概率是23；
(2)画树状图如下：

∴P(两个球都是白球)=26=13．
【解析】(1)根据概率公式计算其概率即可得；
(2)画树状图列出所有等可能结果，从中确定两个球都是白球的结果数，根据概率公式计算可得．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】解：连接OB，
设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，OC=r−3，
∵AB⊥OD，
∴BC=12AB=12×8=4，∠OCB=90°，
由勾股定理得：OB2=OC2+BC2，
r2=(r−3)2+42，
解得：r=256，
则⊙O的半径为256．
【解析】连接半径，根据垂径定理，构建直角三角形，并求BC的长为4，设半径为r，根据勾股定理列方程可求出结论．
本题主要考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是关键，比较简单，是常考题型．
19.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为(−1,−1)；
(2)如图，△A2B2C2为所作，点A2的坐标为(4,1)；
(3)如图，△A2B3C3为所作，点A3的坐标为(1,−4)．

【解析】本题考查了作图−平移变换，作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
(1)利用点平移的坐标变换规律写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，然后描点即可得到△A2B2C2，从而得到点A2的坐标；
(3)根据关于原点对称的点的坐标特征写出点A3、B3、C3的坐标，然后描点即可．
20.【答案】(1)证明：连接OD，CD；
∵切线DE平分AC于E，
∴∠ODE=90°，
∵BC是⊙O的直径，
∴在Rt△ADC中DE=CE；
∵OE=OE，OD=OC，
∴△ODE≌△OCE，
∴∠ACB=90°，
∴AC是⊙O的切线．
(2)解：∵AC是⊙O的切线；
∴AC⋅AC=AD⋅AB=AD⋅(AD+BD)AD：DB=3：2，
∴AD=3 15，AB=5 15，
∴BC=5 6．
【解析】(1)要证AC是⊙O的切线，只要证∠BCA=90°即可；
(2)切割线定理得出关于AD，AB的比例式，求出AB的长，再用勾股定理求出求⊙O的直径．
本题考查了切线的判定，切割线定理和勾股定理的综合运用．
21.【答案】解：设所获利润为w元，每件降价x元，
由题意可得：w=(60−40−x)(300+20x)=−20(x−2.5)2+6125，
∵0≤x≤20，
∴当x=2.5时，w取得取得最大值，此时w=6125，60−x=57.5，
答：定价57.5元才能使利润最大，最大利润为6125元．
【解析】根据“利润=每件利润×销量”可以写出相应的函数解析式，然后根据二次函数的性质求最值即可．
本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
22.【答案】(1)解：把a=2代入得，y=2x2+bx+2，
∵当x=−1时，y=1，
∴1=2−b+2，
∴b=3，
∴二次函数的关系式为y=2x2+3x+2；
(2)解：令y=0，则ax2+bx+2=0，
当Δ=0时，则b2−8a=0，
∴b2=8a，
∴若a=2，b=4时，函数y=ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，
∴此时函数为y=2x2+4x+2=2(x+1)2，
∴此函数的顶点坐标为(−1,0)；
(3)证明：∵二次函数y=ax2+bx+2的图象和直线y=ax+4b都经过点(2,m)，
∴4a+2b+2=2a+4b，
∴2a+2=2b，
∴b=a+1，
∴a2+b2
=a2+(a+1)2
=2a2+2a+1
=2(a+12)2+12，
∴a2+b2≥12．
【解析】(1)把a=2代入二次函数的关系式，再把x=1，y=1代入求出b的值，进而确定二次函数的关系式；
(2)令y=0，则ax2+bx+2=0，当Δ=0时，求得b2=8a，据此写出一组a，b的值，化成顶点式即可求得顶点坐标；
(3)根据题意得到4a+2b+2=2a+4b，整理得b=a+1，则a2+b2=2a2+2a+1=2(a+12)2+12，根据二次函数的性质即可得到a2+b2≥12．
本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键：(1)熟知待定系数法；(2)求得b=a+1；(3)熟知二次函数的性质．