2023-2024学年新疆昌吉州奇台重点中学九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年新疆昌吉州奇台重点中学九年级（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.若关于x的一元二次方程x2+6x+c=0配方后得到方程(x+3)2=2c，则c的值为( )
A. −3B. 0C. 3D. 9
3.已知点P(a−2,4−a)关于原点对称的点在第三象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
4.用一张半圆形铁皮，围成一个底面半径为4cm的圆锥形工件的侧面(接缝忽略不计)，则圆锥的母线长为( )
A. 4cmB. 8cmC. 12cmD. 16cm
5.如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC.若∠A=36°，则∠C的度数为( )
A. 18°
B. 27°
C. 36°
D. 54°
6.小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是( )
A. 12B. 23C. 16D. 56
7.已知a<−1，点(a−1,y1)，(a,y2)，(a+1,y3)都在函数y=3x2−2的图象上，则( )
A. y18.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是( )
A. 70°
B. 65°
C. 60°
D. 55°
9.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列4个结论：①abc>0；②a−b+c>0；③4a+2b+c>0；④b2−4ac>0.其中正确的结论有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知(m−2)x|m|−3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=______．
11.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm的半圆，则这个圆锥的底面半径长是______cm．
12.新冠肺炎传染性很强，曾有2人同时患上新冠肺炎，并且每人每天平均传染x人，若经过两天传染后就有128人患上了新冠肺炎，则x的值为______ ．
13.如果一个正六边形的边长等于2cm，那么这个正六边形的半径等于______ cm．
14.一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为 ．
15.如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为______．
三、解答题：本题共7小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
解方程：
(1)4(x−2)2=49；
(2)x2−4x−5=0．
17.(本小题10分)
已知关于x的方程x2−(k+2)x+2k=0．
(1)请你判断方程的解的情况；
(2)若等腰三角形ABC的一边长a=1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
18.(本小题10分)
育才中学计划召开“诚信在我心中”主题教育活动，需要选拔活动主持人，经过全校学生投票推荐，有2名男生和1名女生被推荐为候选主持人．
(1)小明认为，如果从3名候选主持人中随机选拔1名主持人，不是男生就是女生，因此选出的主持人是男生和女生的可能性相同，你同意他的说法吗？为什么？
(2)如果从3名候选主持人中随机选拔2名主持人，请通过列表或树状图求选拔出的2名主持人恰好是1名男生和1名女生的概率．
19.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．
(1)求n的值；
(2)若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．
20.(本小题10分)
某中药厂销售一种中药产品，每瓶生产成本为30元．销售过程中发现，每周销售量y(瓶)与销售单价x(元)之间的关系满足一次函数：y=−10x+700．
(1)该中药厂每周获得的利润为w(元)，则每周可获得的最大利润是多少元？
(2)如果该中药厂想要每周获得3000元的利润，为了减少库存，那么销售单价应定为多少元？
21.(本小题12分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD=AC．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AC=4，CE=2，求半径的长．
22.(本小题13分)
如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+(2k−1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
(3)对于(2)中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了中心对称图形及轴对称图形的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴旁的两部分折叠后能够互相重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原来图形完全重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念，逐项分析，即可求解．
【解答】
解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；
C.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．
故选：C．
2.【答案】C
【解析】解：x2+6x+c=0，
x2+6x=−c，
x2+6x+9=−c+9，
(x+3)2=−c+9．
∵(x+3)2=2c，
∴2c=−c+9，解得c=3，
故选：C．
把常数项c移项后，在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方得(x+3)2=−c+9，可得2c=−c+9，解方程即可得c的值．
此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
3.【答案】D
【解析】解：∵点P(a−2,4−a)关于原点对称的点在第三象限，
∴点P(a−2,4−a)在第一象限，
∴a−2>04−a>0，
∴2∴a的取值范围在数轴上表示正确的是D选项．
故选：D．
根据关于原点对称的点的坐标特点，一元一次不等式组的解法解答即可．
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，一元一次不等式组的解法，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点，如何在数轴上表示不等式的解集是解答本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：设半圆形铁皮的半径为r cm，
根据题意得：πr=2π×4，
解得：r=8cm，
所以围成的圆锥的母线长为8cm，
故选：B．
求得半圆形铁皮的半径即可求得围成的圆锥的母线长．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于半圆铁皮的弧长，难度不大．
5.【答案】B
【解析】解：连接OB，
∵AB切圆O于B，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA=90°，
∵∠A=36°，
∴∠AOB=180°−∠A−∠OBA=54°，
∵∠C和∠AOB是同弧所对的圆周角和圆心角，
∴∠C=12∠AOB=27°．
故选B．
连接OB，根据切线的性质得到OB⊥AB，求出∠OBA=90°，根据三角形的内角和定理求出∠AOB的度数，由∠C和∠AOB是同弧所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可求出∠C．
本题主要考查对三角形的内角和定理，垂线的定义，圆周角定理，切线的性质等知识点的理解和掌握，能灵活运用切线的性质和圆周角定理进行推理是解此题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：画树状图如图：
，
共有6个等可能的结果，恰好取到红色帽子和红色围巾的结果有1个，
∴恰好取到红色帽子和红色围巾的概率为16，
故选：C．
画树状图，共有6个等可能的结果，恰好取到红色帽子和红色围巾的结果有1个，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵当a<−1时，a−1而抛物线y=3x2−2的对称轴为直线x=0，开口向上，
∴三点都在对称轴的左边，y随x的增大而减小，
∴y1>y2>y3．
故选：D．
先求出抛物线的对称轴，抛物线y=3x2−2的对称轴为y轴，即直线x=0，图象开口向上，当a<−1时，a−1本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，当二次项系数a>0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a<0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小．
8.【答案】B
【解析】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，
∴AC=A′C，∠ACA′=90°，
∴△ACA′是等腰直角三角形，
∴∠CAA′=45°，
∴∠A′B′C=∠1+∠CAA′=20°+45°=65°，
由旋转的性质得∠B=∠A′B′C=65°．
故选：B．
根据旋转的性质可得AC=A′C，∠ACA′=90°，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A′B′C，然后根据旋转的性质可得∠B=∠A′B′C．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：①∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵2a+b=0，
∴b>0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，①错误；
②观察函数图象，可知：
当x=−1时，y<0，
∴a−b+c<0，②错误．
④∵抛物线的对称轴为x=1，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴当x=2时，y>0，
∴4a+2b+c>0，④正确；
⑤∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ=b2−4ac>0，⑤正确．
故选：B．
此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右侧．(简称：左同右异)③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于(0,c)．
10.【答案】−2
【解析】解：∵(m−2)x|m|−3x+1=0是关于x的一元二次方程，
∴m−2≠0且|m|=2，
解得：m=−2，
故答案为：−2．
根据一元二次负的定义得出m−2≠0且|m|=2，求出m的值即可．
本题考查了绝对值和一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．
11.【答案】9
【解析】解：设个圆锥的底面半径为r cm，
根据题意得2πr=180×π×18180，
解得r=9，
即个圆锥的底面半径长是9cm．
故答案为9．
设个圆锥的底面半径为rcm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则利用弧长公式得到2πr=180×π×18180，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
12.【答案】7
【解析】解：依题意得：2(1+x)2=128，
解得：x1=7，x2=−9(不合题意，舍去)．
故答案为：7．
根据“2人同时患上新冠肺炎，经过两天传染后128人患上新冠肺炎”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：依题意得：2(1+x)2=128，
解得：x1=7，x2=−9(不合题意，舍去)．
故选：D．
13.【答案】2
【解析】解：如图，
根据正六边形的性质可知∠OAB=∠OBA=12×(6−2)×180°6=60°,AO=BO，
∴△AOB为等边三角形，
∴AO=BO=AB=2cm，即正六边形的外接圆半径为2cm．
故答案为：2．
根据其性质可知其相邻两条半径与所夹边组成的三角形为等边三角形，即可求出答案．
本题考查正六边形的性质，等边三角形的性质与判定．熟练掌握正六边形的性质是解题关键．
14.【答案】132cm
【解析】【分析】
本题考查的是圆周角定理，勾股定理有关知识，连接AC，根据∠ABC=90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可．
【解答】
解：连接AC，
∵∠ABC=90°，且∠ABC是圆周角，
∴AC是圆形镜面的直径，
由勾股定理得：AC= AB2+BC2= 122+52=13(cm)，
所以圆形镜面的半径为132cm，
15.【答案】y=−125(x−20)2+16
【解析】解：设y=a(x−20)2+16，
因为抛物线过(0,0)，
所以代入得：
400a+16=0，
解得a=−125，
故此抛物线的函数关系式为：
y=−125(x−20)2+16．
故答案为：y=−125(x−20)2+16．
根据题意，抛物线的顶点坐标是(20,16)，并且过(0,0)，利用抛物线的顶点坐标式待定系数法求它的表达式则可．
本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法以及二次函数的应用，根据已知得出图象上点的坐标是解题关键．
16.【答案】解：(1)4(x−2)2=49，
(x−2)2=494，
∴x−2=±72，
∴x1=112，x2=−32；
(2)x2−4x−5=0，
(x−5)(x+1)=0，
∴x−5=0或x+1=0，
∴x1=5，x2=−1．
【解析】(1)利用直接开平方法求解即可；
(2)利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17.【答案】解：(1)∵Δ=[−(k+2)]2−4×2k
=k2−4k+4
=(k−2)2，
∴当k≠2时，Δ>0，方程有两个不相等实数解；
当k=2时，Δ=0，方程有两个相等实数解；
(2)x2−(k+2)x+2k=0，
(x−2)(x−k)=0，
x−2=0或x−k=0，
解得x1=2，x2=k，
当k=2时，即b=c=2，此时△ABC的周长为2+2+1=5；
当k=1时，即b=a=1或c=a=1，1+1=2，不符合三角形三边的关系，舍去，
综上所述，△ABC的周长为5．
【解析】(1)先计算根的判别式的值得到Δ=(k−2)2，根据根的判别式的意义，当k≠2时，方程有两个不相等实数解；当k=2时，方程有两个相等实数解；
(2)先利用因式分解法解方程得到x1=2，x2=k，讨论：当k=2时，即b=c=2，从而得到△ABC的周长；当k=1时，即b=a=1或c=a=1，1+1=2，不符合三角形三边的关系，舍去．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了根的判别式和三角形三边的关系．
18.【答案】解：(1)不同意他的说法．理由如下：
∵有2名男生和1名女生，
∴主持人是男生的概率=23，
主持人是女生的概率=13；
(2)画出树状图如下：

一共有6种情况，恰好是1名男生和1名女生的有4种情况，
所以，P(恰好是1名男生和1名女生)=46=23．
【解析】(1)根据概率的意义解答即可；
(2)画出树状图，然后根据概率的意义列式计算即可得解．
本题考查了列表法与树状图，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，
∴AC=DC，∠A=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴n的值是60；
(2)四边形ACFD是菱形；
理由：∵∠DCE=∠ACB=90°，F是DE的中点，
∴FC=DF=FE，
∵∠CDF=∠A=60°，
∴△DFC是等边三角形，
∴DF=DC=FC，
∵△ADC是等边三角形，
∴AD=AC=DC，
∴AD=AC=FC=DF，
∴四边形ACFD是菱形．
【解析】(1)利用旋转的性质得出AC=CD，进而得出△ADC是等边三角形，即可得出∠ACD的度数；
(2)利用直角三角形的性质得出FC=DF，进而得出AD=AC=FC=DF，即可得出答案．
此题主要考查了菱形的判定以及旋转的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，得出△DFC是等边三角形是解题关键．
20.【答案】解：(1)根据题意，得w=(x−30)(−10x+700)=−10x2+1000x−21000=−10(x−50)2+4000．
∵−10<0，对称轴为直线x=50，
∴当x=50时，w取得最大值为4000，
答：每天获得的最大利润为4000元；
(2)当w=3000时，−10x2+1000x−21000=3000，
解得x1=40，x2=60，
答：销售单价应定为40元或60元．
【解析】(1)根据销售问题公式：销售利润=单件利润×销售量即可求出w与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质将(1)中所得关系式写成顶点式即可得到结论；
(2)根据题意列出一元二次方程，解方程可得答案．
本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握销售问题公式：销售利润=单件利润×销售量．
21.【答案】(1)证明：连接OD，

∵AC=CD，
∴∠A=∠ADC．
∵OB=OD，
∴∠B=∠BDO．
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°．
∴∠ADC+∠BDO=90°．
∴∠ODC=180°−(∠ADC+∠BDO)=90°．
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
(2)解：∵CD=AC，
∴CD=4，
设半径为x，则OC=x+2，
在直角三角形ODC中，
OC2=OD2+CD2，即(x+2)2=x2+42，
∴x=3．
∴半径的长为3．
【解析】(1)连接OD.由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠A=∠ADC，∠B=∠BDO.再根据余角性质及三角形的内角和定理可得∠ODC=180°−(∠ADC+∠BDO)=90°.最后由切线的判定定理可得结论；
(2)设半径为x，在直角三角形ODC中，根据勾股定理列方程即可求出半径．
此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理，正确作出辅助线是解决此题的关键．
22.【答案】解：(1)∵函数的图象与x轴相交于O，
∴0=k+1，即k=−1，
∴y=x2−3x，
(2)假设存在点B，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵△AOB的面积等于6，
∴12AO⋅BD=6，
当0=x2−3x，即x(x−3)=0，
解得：x=0或3，
∴AO=3，BD=4
即4=x2−3x，
解得：x=4或x=−1(舍去)．
y=x2−3x=(x−32)2−94，
又∵顶点坐标为：(1.5,−2.25)．
∵2.25<4，
∴x轴下方不存在B点，
∴点B的坐标为：(4,4)；
(3)存在
∵点B的坐标为：(4,4)，
∴∠BOA=45°，
BO= 42+42=4 2，
当∠POB=90°，
∴∠POD=45°，
设P点横坐标为：x，则纵坐标为：x2−3x，
即−x=x2−3x，解得x=2 或x=0(舍去)，
∴点P的坐标为：(2,−2)
∴在抛物线上仅存在一点P(2,−2)．
【解析】(1)把(0,0)代入二次函数y=x2+(2k−1)x+k+1中可得k的值，可得结论；
(2)根据(1)得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可．
(3)根据∠POB=90°和∠BOA=45°，得∠POA=45°，设P(x,x2−3x)，列方程可得结论．
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、三角形面积求法等知识．利用数形结合的思想并与方程相结合求点的坐标是解题关键．