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专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点1 圆锥曲线中的最值问题试题及答案
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这是一份专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点1 圆锥曲线中的最值问题试题及答案，共40页。学案主要包含了微点综述，强化训练，名师点睛等内容，欢迎下载使用。
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点1 圆锥曲线中的最值问题
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题
微点1 圆锥曲线中的最值问题
【微点综述】
最值问题是解析几何中常见的问题之一，常以直线和圆锥曲线为背景，以函数、方程不等式等知识作为工具，有较强的综合性，一定要重视方程思想的本质和降低计算量，它是提高解题能力的重要因素．其基本解题方法是把所求量表示成某个变量的函数，利用二次函数或函数单调性求最值或范围，也可以利用基本不等式，有时也会利用几何量的有界性确定范围．
最值问题不仅解答题中分量较大，而且客观题中也时常出现．
一、常用方法
解决圆锥曲线中的最值问题，常见的方法有：
（1）函数法：一般需要找出所求几何量的函数解析式，要注意自变量的取值范围．求函数的最值时，一般会用到配方法、均值不等式或者函数单调性．
（2）方程法：根据题目中的等量关系建立方程，根据方程的解的条件得出目标量的不等关系，再求出目标量的最值．
（3）不变量法：在平面几何中有一些不变量的最值结果，在求最值时，可以考虑观察图形的几何特点，判断某个特殊位置满足的最值条件，然后再证明．
二、思维导图
求解圆锥曲线最值的思维导图如下：
最大最小为最值，单调二次不等式，几何有界也有用，具体问题再审视．
三、典型题型精析
题型一、与点的坐标、线段有关的最值问题
与线段有关的最值问题关键是建立关于线段的目标函数，然后运用基本不等式或者函数有关的问题，运用基本不等式或者函数求解．线段的长度可以通过两点间的距离或者利用相交弦长公式进行求解．
例1．
1．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（ ）
A．以线段为直径的圆与直线相离 B．以线段为直径的圆与轴相切
C．当时， D．的最小值为4
例2．
2．已知抛物线（ ）的焦点为，过F作直线l交抛物线于M，N两点，则p=_______，的最小值为______．
例3．
3．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
例4．
4．已知椭圆的离心率为，椭圆C与y轴交于A，B两点，且．
(1)求椭圆C的方程．
(2)设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧．直线PA，PB与直线分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x轴交于两点E，F，求点P横坐标的取值范围及的最大值．
题型二、与角度有关的最值问题
例5．
5．在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为.求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.
题型三、与向量有关的最值问题
例6．
6．如图，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点为 F，上顶点为 A，P为椭圆C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，在y轴上截距为3－的直线l与AF平行且与圆C2相切．
(1) 求椭圆C1的离心率；
(2) 若椭圆C1的短轴长为 8，求·的最大值．
题型四、与面积有关的最值问题
例7．
7．已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明：是直角三角形；
（ii）求面积的最大值.
例8．
8．平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
（i）求证：点M在定直线上;
（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．
例9．
9．一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且，．当栓子在滑槽内作往复运动时，带动绕转动一周（A不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
(1)求曲线的方程；
(2)设动直线与两定直线：和：分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
例10．
10．已知圆的切线与椭圆相交于,两点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求证：；
（3）求面积的最大值．
【强化训练】
11．斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
12．已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线的距离为d2，求d1＋d2的最小值为___________.
13．已知椭圆的长轴长为，为坐标原点.
(1)求椭圆的方程和离心率.
(2)设点，动点在轴上，动点在椭圆上，且点在轴的右侧.若，求四边形面积的最小值.
14．平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点.
（i）求的值；
（ⅱ）求面积的最大值.
15．设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；
（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且（O为坐标原点）,并求出该圆的方程；
（3）已知,设直线与圆C:（1
(1)求证：直线AB过定点，且求出定点的坐标；
(2)求的值；
(3)当P在直线上运动时，求的面积的最小值，并求出此时P的坐标．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，F为x轴正半轴上的一个动点．以F为焦点、O为顶点作抛物线C．设P为第一象限内抛物线C上的一点，Q为x轴负半轴上一点，使得PQ为抛物线C的切线，且.圆C1、C2均与直线OP切于点P，且均与x轴相切．求点F的坐标，使圆C1与C2的面积之和取到最小值，
18．已知，是椭圆：上两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为坐标原点，为椭圆上一动点，点，线段的垂直平分线交轴于点，求的最小值.
19．已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆在第一象限内的交点是，点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，椭圆另一个焦点是，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线过点，且与椭圆交于两点，求的内切圆面积的最大值.
20．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求的最小值．
21．已知椭圆的一个焦点为，左、右顶点分别为，．经过点的直线与椭圆交于，两点．
（1）当直线的倾斜角为时，求线段的长；
（2）记与的面积分别为和，求的最大值．
22．已知点，，动点的轨迹曲线满足，
，过点的直线交曲线于、两点.
（1）求的值，并写出曲线的方程；
（2）求△面积的最大值.
参考答案：
1．ACD
【解析】根据抛物线的定义和直线与圆的相切关系对四个选项逐一判断即可.
【详解】对于选项A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离：
对于选项B，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误.
对于选项C，D，设，，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得 ，，，若设，则，于是，最小值为4；当可得，
，所，.
故选:ACD.
【点睛】本题考查了抛物线的定理和圆的切线的性质，属于基础题.
2．
【分析】先根据焦点坐标求，再联立方程得：，，，接着由抛物线的定义求出，最后求出.
【详解】∵ 抛物线（ ）的焦点为，∴ ，
∴ 抛物线的方程为，
设直线的方程为，如图，设，，
由得，
∴，，
由抛物线的定义得
，
∴
当且仅当即时，等号成立，
故答案为：；．
【点睛】本题考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、焦点弦问题，基本不等式求最值，是中档题.
3．A
【详解】设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知
，当且仅当（或）时，取等号.
点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以
.
4．(1)
(2)横坐标的取值范围为，的最大值为2
【分析】（1）根据离心率及短轴长求出，，求出椭圆方程；
（2）解法1：设出P的坐标为，，得到PA，的方程，进而求出的坐标，表达出圆的方程，根据圆与轴有两个交点得到，利用求出最大值；
解法2：同解法1，表达出的坐标，根据以MN为直径的圆与x轴相交列出不等式，求出，利用垂径定理得到，求出最大值；
解法3：同解法1，表达出的坐标，根据半径大于圆心到轴的距离列出不等式，求出，利用垂径定理得到，求出最大值；
解法4：同解法1，，表达出的坐标，根据垂直关系得到，从而得到，求出，根据表达出的长，并求出最大值；
解法5：：设直线OP与交于点T，根据相似得到T是MN的中点，求出T，
得到半径，根据点到轴距离小于半径，结合得到，
利用垂径定理得到，求出最大值.
【详解】（1）由题意，可得，，得，解得：．
椭圆C的标准方程为．
（2）解法1：设点P的坐标为，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为．
∴，直线PA的方程为，同理：直线PB的方程为．
直线PA与直线的交点为；
直线PB与直线的交点为．
∵线段MN的中点坐标为，
∴圆的方程为．
令，则．
∵，
∴，
∴．
∵这个圆与x轴相交，该方程有两个不同的实数解，
∴，解得．
设交点坐标分别为，，则．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
解法2：设点P的坐标为，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为．
∴，直线PA的方程为，同理：直线PB的方程为．
直线PA与直线的交点为；
直线PB与直线的交点为．
若以MN为直径的圆与x轴相交，则，
即，即．
∵，
∴，代入得到，解得．
该圆的直径为；
圆心到x轴的距离为；
该圆在x轴上截得的弦长为．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
解法3：设点P的坐标为，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为．
∴，直线PA的方程为
同理：直线PB的方程为．
直线PA与直线的交点为；
直线PB与直线的交点为．
∴．
圆心到x轴的距离为．
若该圆与x轴相交，则，即．
∵，
∴，
∴，解得．
该圆在x轴上截得的弦长为．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
解法4：记点D的坐标为（2，0），点H的坐标为（4，0），设点P的坐标为，点M的坐标为，点N的坐标为．
由已知可得点A的坐标为（0，1），点B的坐标为．
∴AP的直线方程为，BP的直线方程为．
令，分别可得，．
∴点M的坐标为，点N的坐标为．
若以MN为直径的圆与x轴相交于点E，F，
∵，
∴．
．
∵，
∴，代入得到，
∴．
∴．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
解法5：设直线OP与交于点T．
∵轴，
∴有，．
∴，，即T是MN的中点．
又设点P的坐标为，则直线OP方程为．
令，得，∴点T的坐标为．
而，若以MN为直径的圆与x轴相交于点E，F，则，即．
∵，
∴，
∴，解得或．
∵，∴，∴．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
【点睛】圆锥曲线与圆结合的题目，要充分利用圆的几何性质进行求解，本题中使用圆心到直线的距离小于半径来求解轴与圆相交，从而求出，利用垂径定理求解弦长，进而求出最大值.
5．（1） （2） 的最大值为 ，取得最大值时直线的斜率为 .
【详解】试题分析：（I）本小题由，确定即得.
（Ⅱ）通过联立方程组化简得到一元二次方程后应用韦达定理，应用弦长公式确定及圆的半径表达式.进一步求得直线的方程并与椭圆方程联立，确定得到的表达式，研究其取值范围.这个过程中，可考虑利用换元思想，应用二次函数的性质及基本不等式.
试题解析：（I）由题意知 ，，
所以 ，
因此 椭圆的方程为.
（Ⅱ）设，
联立方程
得，
由题意知，
且，
所以 .
由题意可知圆的半径为
由题设知，
所以
因此直线的方程为.
联立方程
得，
因此 .
由题意可知 ，
而
，
令，
则，
因此 ，
当且仅当，即时等号成立，此时，
所以 ，
因此，
所以 最大值为.
综上所述：的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.
【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
6．(1) e＝；(2) 49
【解析】（1）求出直线的方程，由直线与圆相切可得关系，结合可求得离心率；
（2）由短轴长可求得椭圆标准方程，由向量的加法可得·＝(＋)·(＋)，这样可用点坐标表示，从而可求得最大值．
【详解】(1) 由题意得F(c,0)，A(0，b)，则kAF＝－.
因为在y轴上截距为3－的直线l与AF平行，
所以直线l：y＝－x＋3－，即bx＋cy＋(－3)c＝0.
因为圆C2的圆心C2(0,3)，半径r＝1，直线l与圆C2相切，所以＝1，即＝1，所以e＝.
(2) 因为椭圆C1 的短轴长为 8，所以2b＝8，即b＝4.
因为a2＝b2＋c2，＝1，所以a＝c,2c2＝b2＋c2.
所以c＝b＝4，a＝4，所以椭圆方程是＋＝1.
设P(x，y)，则
·＝(＋)·(＋)
＝()2＋·(＋)＋·
＝()2＋·
＝x2＋(y－3)2－1
＝32＋(y－3)2－1
＝－y2－6y＋40＝－(y＋3)2＋49，
又y∈[－4,4]，所以当y＝－3时，·的最大值是49.
【点睛】本题考查求椭圆的离心率，考查椭圆中的最值问题，考查向量的数量积．解题关键是用向量的加法法则把用表示，从而求得最值，这告诉我们在求最值时，当变量较多时，要尽量减少变量的个数，就可以很快求解．
7．（1）详见解析（2）详见解析
【分析】（1）分别求出直线AM与BM的斜率，由已知直线AM与BM的斜率之积为−，可以得到等式，化简可以求出曲线C的方程，注意直线AM与BM有斜率的条件；
（2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出P，Q两点的坐标，进而求出点的坐标，求出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出的坐标，再求出直线的斜率，计算的值，就可以证明出是直角三角形；
（ii）由（i）可知三点坐标，是直角三角形，求出的长，利用面积公式求出的面积，利用导数求出面积的最大值.
【详解】（1）直线的斜率为，直线的斜率为，由题意可知：，所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为；
（2）（i）设直线的方程为,由题意可知,直线的方程与椭圆方程联立,即或,点P在第一象限，所以，因此点的坐标为
直线的斜率为，可得直线方程：，与椭圆方程联立，，消去得，（*），设点，显然点的横坐标和是方程（*）的解
所以有，代入直线方程中，得
，所以点的坐标为，
直线的斜率为; ,
因为所以，因此是直角三角形；
（ii）由（i）可知：，
的坐标为，
，
,
,因为，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此当时，函数有最大值，最大值为.
【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了利用导数求函数最大值问题.
8．（Ⅰ）;（Ⅱ）（ⅰ）见解析；（ⅱ）的最大值为，此时点的坐标为
【详解】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦点求方程；
（Ⅱ）（ⅰ）由点P的坐标和斜率设出直线l的方程和抛物线联立，进而判断点M在定直线上；
（ⅱ）分别列出，面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点P的坐标．
试题解析：（Ⅰ）由题意知：，解得．
因为抛物线的焦点为，所以，
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）（1）设，由可得，
所以直线的斜率为，其直线方程为，即．
设，联立方程组
消去并整理可得，
故由其判别式可得且，
故,
代入可得，
因为，所以直线的方程为．
联立可得点的纵坐标为，即点在定直线上．
（2）由（1）知直线的方程为，
令得，所以，
又，
所以，，
所以，令，则，
因此当，即时，最大，其最大值为，此时满足，
所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为．
考点：椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力．
9．(1)
(2)存在，最小值为8
【分析】（1）利用相关点法即可求曲线的方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可．
（1）
解法1：设，，
，，，由题意得，
且，
，，，且，
即，且，
由于当点不动时，点也不动，不恒等于0，
于是，故，，
代入，得方程为．
解法2：由已知，若设，则．
设，依题意，，即，，
∴所求的曲线的方程为.
（2）
解法1：①当直线的斜率不存在时，直线为：或，都有，
②直线的斜率存在时，直线为：，，
由消去，可得，
直线总与椭圆有且只有一个公共点，
，即，①，
由，可得，，同理得，，
原点到直线的距离和，
可得②，
将①代入②得，
当时，，
当时，，
时，，，
，当且仅当时取等号，
当时，的最小值为8，
综上可知当直线与椭圆在四个顶点处相切时，三角形的面积存在最小值为8．
解法2：设直线与椭圆C相切于点，则直线的方程为（）．
由解得，同理可得，
从而可得．
∵，∴，又，（当且仅当时取等号）．
解法3：设直线与椭圆C的一个公共点为，则为切点，且，∴过E的切线方程为．
把 与得，
同理可得．
∴
当，即直线与椭圆C在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8．
10．（1）；（2）详见解析；（3）．
【分析】（1）根据题意以及椭圆中，，满足的关系式即可求解；
（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示即可得证；
（3）建立的函数关系式，将问题转化为求函数最值．
【详解】（1）由题意，椭圆，可得，
则，即，所以椭圆的离心率为.
（2）若切线的斜率不存在，则，
当，可得，不妨设，，则，所以；同理可得：当时，也有，
若切线的斜率存在，设，
因为直线与圆相切，可得，即，
由，整理得，
设，，可得，，
则，
所以，所以，
综上所述，总有成立；
（3）因为直线与圆相切，则圆半径即为的高，
当的斜率不存在时，由（2）可知，则；
当的斜率存在时，由（2）可知，
∴
，
当且仅当时，等号成立，
所以，此时 ，
综上所述，当且仅当时，面积的最大值为．
11．C
【分析】设直线方程，与椭圆联立，利用弦长公式表示弦长，再求最值即可
【详解】设A，B两点的坐标分别为，直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝|x1－x2|＝
＝＝·，
当t＝0时，|AB|max＝．
故选：C.
12．
【解析】根据题意画出图形：根据抛物线的定义将问题转化为焦点到直线的距离减去，利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】根据题意画出图形：
抛物线方程为y2＝4x，
直线l的方程为x－y＋5＝0，
，准线为，
在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线的距离为d2，
根据抛物线的定义可知：
d1＋d2的最小值为焦点到直线的距离减去，
最小值为.
故答案为：
13．(1),；
(2)
【分析】（1）由已知，将椭圆方程转化为标准形式，确定其长轴、短轴，并求出参数的值，从而求出椭圆方程及其离心率；
（2）根据题意，易知，通过动点的坐标求出点的坐标，将四边形分割成三角形和三角形进行运算即可.
（1）
由题意知椭圆 ，
所以，，
故，
解得，
所以椭圆的方程为.
因为，
所以离心率.
（2）
设线段的中点为.
因为，所以.
由题意知直线的斜率存在，
设点的坐标为，
则点的坐标为，直线的斜率，
所以直线的斜率，
故直线的方程为.
令，得，故.
由，得，化简得.
因此，
．
当且仅当时，即时等号成立．
故四边形面积的最小值为．
14．（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）2；（ⅱ）.
【详解】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的定义与几何性质列方程组确定的值，从而得到椭圆的方程；（Ⅱ）（i）设，，由题意知，然后利用这两点分别在两上椭圆上确定的值; （ⅱ）设，利用方程组结合韦达定理求出弦长，选将的面积表示成关于的表达式，然后，令，利用一元二次方程根的判别式确定的范围，从而求出的面积的最大值，并结合（i）的结果求出面积的最大值.
试题解析：（Ⅰ）由题意知，则,又可得,
所以椭圆C的标准方程为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E的方程为,
（i）设，，由题意知因为,
又，即,所以，即.
（ⅱ）设
将代入椭圆E的方程，
可得
由，可得①
则有
所以
因为直线与轴交点的坐标为
所以的面积
令,将代入椭圆C的方程可得
由，可得②
由①②可知
因此,故
当且仅当，即时取得最大值
由（i）知，面积为,所以面积的最大值为.
考点：1、椭圆的标准方程与几何性质；2、直线与椭圆位置关系综合问题；3、函数的最值问题.
15．（1）略 （2） （3）
【详解】试题分析：（1）因为,,,
所以, 即.
当m=0时,方程表示两直线,方程为;
当时, 方程表示的是圆
当且时,方程表示的是椭圆;
(2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,
要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,
则使△=,
即,即, 且
,
要使, 需使,即,
所以, 即且, 即恒成立.
所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为,, 所求的圆为.
当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.
综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.
(3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1
由（2）知得,
即有唯一解
则△=, 即, ②
由①②得, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点,
由 中,所以,,
B1(x1,y1)点在椭圆上,所以,所以,
在直角三角形OA1B1中,因为当且仅当时取等号,所以,即
当时|A1B1|取得最大值,最大值为1.
考点：求轨迹方程及直线与椭圆，圆的位置关系
点评：中取不同值时代表不同的曲线，可一是直线，圆，椭圆，双曲线；
直线与椭圆相交问题常用的思路：直线方程与椭圆方程联立，整理为x的二次方程，利用根与系数的关系，将所求问题转化到两根来表示，本题第二问第三问对学生而言难度较大
16．(1)证明见解析，定点的坐标为
(2)
(3)的最小值为4，此时的坐标为
【分析】（1）设出，，，求出导函数，得到，
写出直线PA的方程与PB的方程，从而得到直线AB的方程，得到直线AB所过定点；
（2）将直线AB的方程与C的方程联立，求出点M，N的坐标，根据求出答案；
（3）由弦长公式求出，进而求出点P到AB的距离，求出三角形面积.
（1）
设，，．
因为直线与抛物线相切，，所以，
所以直线PA的方程可表示为．
因为点P在PA上，所以，化简得．
同理可得，B点的坐标满足．
所以，直线AB的方程为，变形为，
所以直线AB过定点．
（2）
由直线AB的方程与C的方程联立得，所以，
点M的横坐标为，
所以，，所以．
（3）
由（2）得：直线AB的方程与联立得：，
所以，
直线的斜率为，
由弦长公式得，
点P到AB的距离，
所以，
所以当时，取得最小值4，此时P（2，0）．
【点睛】抛物线相关的切线方程问题，通常结合导函数，利用导函数的几何意义求出切线方程，再利用题目信息进行相关的求解.
17．
【详解】设抛物线C：，点，并设的圆心分别为.
设，将其与抛物线C的方程联立，消去x得
. ①
因为PQ与抛物线C切于点P，所以，方程①的判别式为
.
进而，点.
故
.
由
. ②
注意到，OP与圆切于点P.
故.
设圆与x轴分别切于M、N，如图所示.
则 分别为的平分线.故.
由射影定理知.
结合式②有
. ③
由三点共线得
，
. ④
令，于是，圆的面积之和.
根据题意，仅需考虑T取最小值的情形.
根据③、④知
.
作代换.
由.
当且仅当时，上式等号成立.
此时，.
结合式②得
.
故点.
18．（1）；（2）.
【分析】（1）代点A,B的坐标到椭圆的方程，得到关于a,b的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设坐标为，求出，再利用基本不等式求得的最小值为.
【详解】解：（1）代入，两点：，，，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）设坐标为，则①
线段的中点，，
所以：.
令，并结合①式得，
，
当且仅当，时取等，所以的最小值为.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的最值问题和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19．（1）；（2）.
【分析】（1）利用将点的横坐标代入直线，求得点的坐标，代入的坐标运算，求得的值，也即求得点的坐标，将的坐标代入椭圆，结合，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程并写出根与系数关系，由此求得的面积，利用导数求得面积的最大值，并由三角形与内切圆有关的面积公式，求得内切圆的半径的最大值.
【详解】（1）设椭圆方程为，点在直线上，且点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，则点.
∵
∴
又
解得
∴椭圆方程为
（2）由（1）知，，过点的直线与椭圆交于两点，
则的周长为，又（为三角形内切圆半径），
∴当的面积最大时，其内切圆面积最大.
设直线的方程为：，，则
消去得，
∴
∴
令，则，∴
令，
当时，，
在上单调递增，
∴，当时取等号，
即当时，的面积最大值为3，
结合，得的最大值为，
∴内切圆面积的最大值为.
【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求解和椭圆的几何性质，考查直线和椭圆相交，所形成的三角形有关最值的计算，属于中档题.
20．（1）y2＝4x.（2）－14.
【分析】（1）直线MN的方程为，联立方程得到x1＋x2＝3p.代入弦长公式得到答案.
(2) 先计算直线l的方程为y＝x＋1，设P(m，m＋1)，根据韦达定理，化简整理得到，得到最小值.
【详解】解：(1)由题意可知，则直线MN的方程为.
将直线方程代入y2＝2px(p＞0)，得.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝3p.
∵|MN|＝8，∴x1＋x2＋p＝8，即3p＋p＝8，解得p＝2，
∴抛物线的方程为y2＝4x.
(2)由l∥MN，可设直线l的方程为y＝x＋b，将其代入y2＝4x，
得x2＋(2b－4)x＋b2＝0.
∵l为抛物线C的切线，∴Δ＝(2b－4)2－4b2＝0，解得b＝1，
∴直线l的方程为y＝x＋1.
由(1)可知x1＋x2＝16x1x2＝1.
设P(m，m＋1)，则，
∴，
∵x1＋x2＝6，x1x2＝1，∴(y1y2)2＝6，x1x2＝16，y1y2＝－4.
又，∴，
∴，
当且仅当m＝2，即点P的坐标为(2，3)时，
取得最小值，最小值为－14.
【点睛】本题考查了抛物线方程，向量积的最小值，利用韦达定理，得到的表达式是解题的关键.
21．（1）；（2）.
【解析】（1）同椭圆方程为，直线方程为，联立，得，由此利用根的判别式，韦达定理、弦长公式能求出的长．
（2）当直线无斜率时，直线方程为，，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立，得，由此利用根的判别式，韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出的最大值．
【详解】解：（1）因为为椭圆的焦点，所以，又，
所以，所以椭圆方程为，
因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为1，
所以直线方程为，和椭圆方程联立得到
，消掉，得到，
所以△，，，
所以线段的长．
（2）当直线无斜率时，直线方程为，
此时，，，面积相等，，
当直线斜率存在（由题意知时，设直线方程为，
设，，，，
和椭圆方程联立得到，消掉得，
△，方程有根，且，，
此时
时等号成立）
所以的最大值为．
【点睛】求解时注意根的判别式，韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用．
22．（1），；（2）△面积的最大值为3，此时直线的方程为.
【分析】（1）设，根据余弦定理得. 化简即得，再利用椭圆的定义求出曲线的方程；
（2）设直线的方程为，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，，再利用函数的单调性求出的最大值为3即得解.
【详解】解：(1)设，在△中，，，
根据余弦定理得.
即.
.
而，所以.
所以.
又，
因此点的轨迹是以为焦点的椭圆（点在轴上也符合题意），
因为，，所以，
所以曲线的方程为.
(2)设直线的方程为.
由，消去并整理得. ①
显然方程①的,设,,则
由韦达定理得，.
所以.
令，则，.
由于函数在上是增函数.
所以，当，即时取等号.
所以，即的最大值为3.
所以△面积的最大值为3，此时直线的方程为.
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点1 圆锥曲线中的最值问题
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题
微点1 圆锥曲线中的最值问题
【微点综述】
最值问题是解析几何中常见的问题之一，常以直线和圆锥曲线为背景，以函数、方程不等式等知识作为工具，有较强的综合性，一定要重视方程思想的本质和降低计算量，它是提高解题能力的重要因素．其基本解题方法是把所求量表示成某个变量的函数，利用二次函数或函数单调性求最值或范围，也可以利用基本不等式，有时也会利用几何量的有界性确定范围．
最值问题不仅解答题中分量较大，而且客观题中也时常出现．
一、常用方法
解决圆锥曲线中的最值问题，常见的方法有：
（1）函数法：一般需要找出所求几何量的函数解析式，要注意自变量的取值范围．求函数的最值时，一般会用到配方法、均值不等式或者函数单调性．
（2）方程法：根据题目中的等量关系建立方程，根据方程的解的条件得出目标量的不等关系，再求出目标量的最值．
（3）不变量法：在平面几何中有一些不变量的最值结果，在求最值时，可以考虑观察图形的几何特点，判断某个特殊位置满足的最值条件，然后再证明．
二、思维导图
求解圆锥曲线最值的思维导图如下：
最大最小为最值，单调二次不等式，几何有界也有用，具体问题再审视．
三、典型题型精析
题型一、与点的坐标、线段有关的最值问题
与线段有关的最值问题关键是建立关于线段的目标函数，然后运用基本不等式或者函数有关的问题，运用基本不等式或者函数求解．线段的长度可以通过两点间的距离或者利用相交弦长公式进行求解．
例1．
1．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（ ）
A．以线段为直径的圆与直线相离 B．以线段为直径的圆与轴相切
C．当时， D．的最小值为4
例2．
2．已知抛物线（ ）的焦点为，过F作直线l交抛物线于M，N两点，则p=_______，的最小值为______．
例3．
3．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
例4．
4．已知椭圆的离心率为，椭圆C与y轴交于A，B两点，且．
(1)求椭圆C的方程．
(2)设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧．直线PA，PB与直线分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x轴交于两点E，F，求点P横坐标的取值范围及的最大值．
题型二、与角度有关的最值问题
例5．
5．在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为.求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.
题型三、与向量有关的最值问题
例6．
6．如图，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点为 F，上顶点为 A，P为椭圆C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，在y轴上截距为3－的直线l与AF平行且与圆C2相切．
(1) 求椭圆C1的离心率；
(2) 若椭圆C1的短轴长为 8，求·的最大值．
题型四、与面积有关的最值问题
例7．
7．已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明：是直角三角形；
（ii）求面积的最大值.
例8．
8．平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
（i）求证：点M在定直线上;
（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．
例9．
9．一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且，．当栓子在滑槽内作往复运动时，带动绕转动一周（A不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
(1)求曲线的方程；
(2)设动直线与两定直线：和：分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
例10．
10．已知圆的切线与椭圆相交于,两点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求证：；
（3）求面积的最大值．
【强化训练】
11．斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
12．已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线的距离为d2，求d1＋d2的最小值为___________.
13．已知椭圆的长轴长为，为坐标原点.
(1)求椭圆的方程和离心率.
(2)设点，动点在轴上，动点在椭圆上，且点在轴的右侧.若，求四边形面积的最小值.
14．平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点.
（i）求的值；
（ⅱ）求面积的最大值.
15．设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；
（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且（O为坐标原点）,并求出该圆的方程；
（3）已知,设直线与圆C:（1
(1)求证：直线AB过定点，且求出定点的坐标；
(2)求的值；
(3)当P在直线上运动时，求的面积的最小值，并求出此时P的坐标．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，F为x轴正半轴上的一个动点．以F为焦点、O为顶点作抛物线C．设P为第一象限内抛物线C上的一点，Q为x轴负半轴上一点，使得PQ为抛物线C的切线，且.圆C1、C2均与直线OP切于点P，且均与x轴相切．求点F的坐标，使圆C1与C2的面积之和取到最小值，
18．已知，是椭圆：上两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为坐标原点，为椭圆上一动点，点，线段的垂直平分线交轴于点，求的最小值.
19．已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆在第一象限内的交点是，点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，椭圆另一个焦点是，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线过点，且与椭圆交于两点，求的内切圆面积的最大值.
20．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求的最小值．
21．已知椭圆的一个焦点为，左、右顶点分别为，．经过点的直线与椭圆交于，两点．
（1）当直线的倾斜角为时，求线段的长；
（2）记与的面积分别为和，求的最大值．
22．已知点，，动点的轨迹曲线满足，
，过点的直线交曲线于、两点.
（1）求的值，并写出曲线的方程；
（2）求△面积的最大值.
参考答案：
1．ACD
【解析】根据抛物线的定义和直线与圆的相切关系对四个选项逐一判断即可.
【详解】对于选项A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离：
对于选项B，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误.
对于选项C，D，设，，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得 ，，，若设，则，于是，最小值为4；当可得，
，所，.
故选:ACD.
【点睛】本题考查了抛物线的定理和圆的切线的性质，属于基础题.
2．
【分析】先根据焦点坐标求，再联立方程得：，，，接着由抛物线的定义求出，最后求出.
【详解】∵ 抛物线（ ）的焦点为，∴ ，
∴ 抛物线的方程为，
设直线的方程为，如图，设，，
由得，
∴，，
由抛物线的定义得
，
∴
当且仅当即时，等号成立，
故答案为：；．
【点睛】本题考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、焦点弦问题，基本不等式求最值，是中档题.
3．A
【详解】设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知
，当且仅当（或）时，取等号.
点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以
.
4．(1)
(2)横坐标的取值范围为，的最大值为2
【分析】（1）根据离心率及短轴长求出，，求出椭圆方程；
（2）解法1：设出P的坐标为，，得到PA，的方程，进而求出的坐标，表达出圆的方程，根据圆与轴有两个交点得到，利用求出最大值；
解法2：同解法1，表达出的坐标，根据以MN为直径的圆与x轴相交列出不等式，求出，利用垂径定理得到，求出最大值；
解法3：同解法1，表达出的坐标，根据半径大于圆心到轴的距离列出不等式，求出，利用垂径定理得到，求出最大值；
解法4：同解法1，，表达出的坐标，根据垂直关系得到，从而得到，求出，根据表达出的长，并求出最大值；
解法5：：设直线OP与交于点T，根据相似得到T是MN的中点，求出T，
得到半径，根据点到轴距离小于半径，结合得到，
利用垂径定理得到，求出最大值.
【详解】（1）由题意，可得，，得，解得：．
椭圆C的标准方程为．
（2）解法1：设点P的坐标为，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为．
∴，直线PA的方程为，同理：直线PB的方程为．
直线PA与直线的交点为；
直线PB与直线的交点为．
∵线段MN的中点坐标为，
∴圆的方程为．
令，则．
∵，
∴，
∴．
∵这个圆与x轴相交，该方程有两个不同的实数解，
∴，解得．
设交点坐标分别为，，则．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
解法2：设点P的坐标为，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为．
∴，直线PA的方程为，同理：直线PB的方程为．
直线PA与直线的交点为；
直线PB与直线的交点为．
若以MN为直径的圆与x轴相交，则，
即，即．
∵，
∴，代入得到，解得．
该圆的直径为；
圆心到x轴的距离为；
该圆在x轴上截得的弦长为．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
解法3：设点P的坐标为，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为．
∴，直线PA的方程为
同理：直线PB的方程为．
直线PA与直线的交点为；
直线PB与直线的交点为．
∴．
圆心到x轴的距离为．
若该圆与x轴相交，则，即．
∵，
∴，
∴，解得．
该圆在x轴上截得的弦长为．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
解法4：记点D的坐标为（2，0），点H的坐标为（4，0），设点P的坐标为，点M的坐标为，点N的坐标为．
由已知可得点A的坐标为（0，1），点B的坐标为．
∴AP的直线方程为，BP的直线方程为．
令，分别可得，．
∴点M的坐标为，点N的坐标为．
若以MN为直径的圆与x轴相交于点E，F，
∵，
∴．
．
∵，
∴，代入得到，
∴．
∴．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
解法5：设直线OP与交于点T．
∵轴，
∴有，．
∴，，即T是MN的中点．
又设点P的坐标为，则直线OP方程为．
令，得，∴点T的坐标为．
而，若以MN为直径的圆与x轴相交于点E，F，则，即．
∵，
∴，
∴，解得或．
∵，∴，∴．
∴该圆被x轴截得的弦长的最大值为2．
【点睛】圆锥曲线与圆结合的题目，要充分利用圆的几何性质进行求解，本题中使用圆心到直线的距离小于半径来求解轴与圆相交，从而求出，利用垂径定理求解弦长，进而求出最大值.
5．（1） （2） 的最大值为 ，取得最大值时直线的斜率为 .
【详解】试题分析：（I）本小题由，确定即得.
（Ⅱ）通过联立方程组化简得到一元二次方程后应用韦达定理，应用弦长公式确定及圆的半径表达式.进一步求得直线的方程并与椭圆方程联立，确定得到的表达式，研究其取值范围.这个过程中，可考虑利用换元思想，应用二次函数的性质及基本不等式.
试题解析：（I）由题意知 ，，
所以 ，
因此 椭圆的方程为.
（Ⅱ）设，
联立方程
得，
由题意知，
且，
所以 .
由题意可知圆的半径为
由题设知，
所以
因此直线的方程为.
联立方程
得，
因此 .
由题意可知 ，
而
，
令，
则，
因此 ，
当且仅当，即时等号成立，此时，
所以 ，
因此，
所以 最大值为.
综上所述：的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.
【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
6．(1) e＝；(2) 49
【解析】（1）求出直线的方程，由直线与圆相切可得关系，结合可求得离心率；
（2）由短轴长可求得椭圆标准方程，由向量的加法可得·＝(＋)·(＋)，这样可用点坐标表示，从而可求得最大值．
【详解】(1) 由题意得F(c,0)，A(0，b)，则kAF＝－.
因为在y轴上截距为3－的直线l与AF平行，
所以直线l：y＝－x＋3－，即bx＋cy＋(－3)c＝0.
因为圆C2的圆心C2(0,3)，半径r＝1，直线l与圆C2相切，所以＝1，即＝1，所以e＝.
(2) 因为椭圆C1 的短轴长为 8，所以2b＝8，即b＝4.
因为a2＝b2＋c2，＝1，所以a＝c,2c2＝b2＋c2.
所以c＝b＝4，a＝4，所以椭圆方程是＋＝1.
设P(x，y)，则
·＝(＋)·(＋)
＝()2＋·(＋)＋·
＝()2＋·
＝x2＋(y－3)2－1
＝32＋(y－3)2－1
＝－y2－6y＋40＝－(y＋3)2＋49，
又y∈[－4,4]，所以当y＝－3时，·的最大值是49.
【点睛】本题考查求椭圆的离心率，考查椭圆中的最值问题，考查向量的数量积．解题关键是用向量的加法法则把用表示，从而求得最值，这告诉我们在求最值时，当变量较多时，要尽量减少变量的个数，就可以很快求解．
7．（1）详见解析（2）详见解析
【分析】（1）分别求出直线AM与BM的斜率，由已知直线AM与BM的斜率之积为−，可以得到等式，化简可以求出曲线C的方程，注意直线AM与BM有斜率的条件；
（2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出P，Q两点的坐标，进而求出点的坐标，求出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出的坐标，再求出直线的斜率，计算的值，就可以证明出是直角三角形；
（ii）由（i）可知三点坐标，是直角三角形，求出的长，利用面积公式求出的面积，利用导数求出面积的最大值.
【详解】（1）直线的斜率为，直线的斜率为，由题意可知：，所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为；
（2）（i）设直线的方程为,由题意可知,直线的方程与椭圆方程联立,即或,点P在第一象限，所以，因此点的坐标为
直线的斜率为，可得直线方程：，与椭圆方程联立，，消去得，（*），设点，显然点的横坐标和是方程（*）的解
所以有，代入直线方程中，得
，所以点的坐标为，
直线的斜率为; ,
因为所以，因此是直角三角形；
（ii）由（i）可知：，
的坐标为，
，
,
,因为，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此当时，函数有最大值，最大值为.
【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了利用导数求函数最大值问题.
8．（Ⅰ）;（Ⅱ）（ⅰ）见解析；（ⅱ）的最大值为，此时点的坐标为
【详解】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦点求方程；
（Ⅱ）（ⅰ）由点P的坐标和斜率设出直线l的方程和抛物线联立，进而判断点M在定直线上；
（ⅱ）分别列出，面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点P的坐标．
试题解析：（Ⅰ）由题意知：，解得．
因为抛物线的焦点为，所以，
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）（1）设，由可得，
所以直线的斜率为，其直线方程为，即．
设，联立方程组
消去并整理可得，
故由其判别式可得且，
故,
代入可得，
因为，所以直线的方程为．
联立可得点的纵坐标为，即点在定直线上．
（2）由（1）知直线的方程为，
令得，所以，
又，
所以，，
所以，令，则，
因此当，即时，最大，其最大值为，此时满足，
所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为．
考点：椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力．
9．(1)
(2)存在，最小值为8
【分析】（1）利用相关点法即可求曲线的方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可．
（1）
解法1：设，，
，，，由题意得，
且，
，，，且，
即，且，
由于当点不动时，点也不动，不恒等于0，
于是，故，，
代入，得方程为．
解法2：由已知，若设，则．
设，依题意，，即，，
∴所求的曲线的方程为.
（2）
解法1：①当直线的斜率不存在时，直线为：或，都有，
②直线的斜率存在时，直线为：，，
由消去，可得，
直线总与椭圆有且只有一个公共点，
，即，①，
由，可得，，同理得，，
原点到直线的距离和，
可得②，
将①代入②得，
当时，，
当时，，
时，，，
，当且仅当时取等号，
当时，的最小值为8，
综上可知当直线与椭圆在四个顶点处相切时，三角形的面积存在最小值为8．
解法2：设直线与椭圆C相切于点，则直线的方程为（）．
由解得，同理可得，
从而可得．
∵，∴，又，（当且仅当时取等号）．
解法3：设直线与椭圆C的一个公共点为，则为切点，且，∴过E的切线方程为．
把 与得，
同理可得．
∴
当，即直线与椭圆C在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8．
10．（1）；（2）详见解析；（3）．
【分析】（1）根据题意以及椭圆中，，满足的关系式即可求解；
（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示即可得证；
（3）建立的函数关系式，将问题转化为求函数最值．
【详解】（1）由题意，椭圆，可得，
则，即，所以椭圆的离心率为.
（2）若切线的斜率不存在，则，
当，可得，不妨设，，则，所以；同理可得：当时，也有，
若切线的斜率存在，设，
因为直线与圆相切，可得，即，
由，整理得，
设，，可得，，
则，
所以，所以，
综上所述，总有成立；
（3）因为直线与圆相切，则圆半径即为的高，
当的斜率不存在时，由（2）可知，则；
当的斜率存在时，由（2）可知，
∴
，
当且仅当时，等号成立，
所以，此时 ，
综上所述，当且仅当时，面积的最大值为．
11．C
【分析】设直线方程，与椭圆联立，利用弦长公式表示弦长，再求最值即可
【详解】设A，B两点的坐标分别为，直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝|x1－x2|＝
＝＝·，
当t＝0时，|AB|max＝．
故选：C.
12．
【解析】根据题意画出图形：根据抛物线的定义将问题转化为焦点到直线的距离减去，利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】根据题意画出图形：
抛物线方程为y2＝4x，
直线l的方程为x－y＋5＝0，
，准线为，
在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线的距离为d2，
根据抛物线的定义可知：
d1＋d2的最小值为焦点到直线的距离减去，
最小值为.
故答案为：
13．(1),；
(2)
【分析】（1）由已知，将椭圆方程转化为标准形式，确定其长轴、短轴，并求出参数的值，从而求出椭圆方程及其离心率；
（2）根据题意，易知，通过动点的坐标求出点的坐标，将四边形分割成三角形和三角形进行运算即可.
（1）
由题意知椭圆 ，
所以，，
故，
解得，
所以椭圆的方程为.
因为，
所以离心率.
（2）
设线段的中点为.
因为，所以.
由题意知直线的斜率存在，
设点的坐标为，
则点的坐标为，直线的斜率，
所以直线的斜率，
故直线的方程为.
令，得，故.
由，得，化简得.
因此，
．
当且仅当时，即时等号成立．
故四边形面积的最小值为．
14．（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）2；（ⅱ）.
【详解】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的定义与几何性质列方程组确定的值，从而得到椭圆的方程；（Ⅱ）（i）设，，由题意知，然后利用这两点分别在两上椭圆上确定的值; （ⅱ）设，利用方程组结合韦达定理求出弦长，选将的面积表示成关于的表达式，然后，令，利用一元二次方程根的判别式确定的范围，从而求出的面积的最大值，并结合（i）的结果求出面积的最大值.
试题解析：（Ⅰ）由题意知，则,又可得,
所以椭圆C的标准方程为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E的方程为,
（i）设，，由题意知因为,
又，即,所以，即.
（ⅱ）设
将代入椭圆E的方程，
可得
由，可得①
则有
所以
因为直线与轴交点的坐标为
所以的面积
令,将代入椭圆C的方程可得
由，可得②
由①②可知
因此,故
当且仅当，即时取得最大值
由（i）知，面积为,所以面积的最大值为.
考点：1、椭圆的标准方程与几何性质；2、直线与椭圆位置关系综合问题；3、函数的最值问题.
15．（1）略 （2） （3）
【详解】试题分析：（1）因为,,,
所以, 即.
当m=0时,方程表示两直线,方程为;
当时, 方程表示的是圆
当且时,方程表示的是椭圆;
(2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,
要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,
则使△=,
即,即, 且
,
要使, 需使,即,
所以, 即且, 即恒成立.
所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为,, 所求的圆为.
当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.
综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.
(3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1
由（2）知得,
即有唯一解
则△=, 即, ②
由①②得, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点,
由 中,所以,,
B1(x1,y1)点在椭圆上,所以,所以,
在直角三角形OA1B1中,因为当且仅当时取等号,所以,即
当时|A1B1|取得最大值,最大值为1.
考点：求轨迹方程及直线与椭圆，圆的位置关系
点评：中取不同值时代表不同的曲线，可一是直线，圆，椭圆，双曲线；
直线与椭圆相交问题常用的思路：直线方程与椭圆方程联立，整理为x的二次方程，利用根与系数的关系，将所求问题转化到两根来表示，本题第二问第三问对学生而言难度较大
16．(1)证明见解析，定点的坐标为
(2)
(3)的最小值为4，此时的坐标为
【分析】（1）设出，，，求出导函数，得到，
写出直线PA的方程与PB的方程，从而得到直线AB的方程，得到直线AB所过定点；
（2）将直线AB的方程与C的方程联立，求出点M，N的坐标，根据求出答案；
（3）由弦长公式求出，进而求出点P到AB的距离，求出三角形面积.
（1）
设，，．
因为直线与抛物线相切，，所以，
所以直线PA的方程可表示为．
因为点P在PA上，所以，化简得．
同理可得，B点的坐标满足．
所以，直线AB的方程为，变形为，
所以直线AB过定点．
（2）
由直线AB的方程与C的方程联立得，所以，
点M的横坐标为，
所以，，所以．
（3）
由（2）得：直线AB的方程与联立得：，
所以，
直线的斜率为，
由弦长公式得，
点P到AB的距离，
所以，
所以当时，取得最小值4，此时P（2，0）．
【点睛】抛物线相关的切线方程问题，通常结合导函数，利用导函数的几何意义求出切线方程，再利用题目信息进行相关的求解.
17．
【详解】设抛物线C：，点，并设的圆心分别为.
设，将其与抛物线C的方程联立，消去x得
. ①
因为PQ与抛物线C切于点P，所以，方程①的判别式为
.
进而，点.
故
.
由
. ②
注意到，OP与圆切于点P.
故.
设圆与x轴分别切于M、N，如图所示.
则 分别为的平分线.故.
由射影定理知.
结合式②有
. ③
由三点共线得
，
. ④
令，于是，圆的面积之和.
根据题意，仅需考虑T取最小值的情形.
根据③、④知
.
作代换.
由.
当且仅当时，上式等号成立.
此时，.
结合式②得
.
故点.
18．（1）；（2）.
【分析】（1）代点A,B的坐标到椭圆的方程，得到关于a,b的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设坐标为，求出，再利用基本不等式求得的最小值为.
【详解】解：（1）代入，两点：，，，
所以椭圆的标准方程为：.
（2）设坐标为，则①
线段的中点，，
所以：.
令，并结合①式得，
，
当且仅当，时取等，所以的最小值为.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的最值问题和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19．（1）；（2）.
【分析】（1）利用将点的横坐标代入直线，求得点的坐标，代入的坐标运算，求得的值，也即求得点的坐标，将的坐标代入椭圆，结合，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程并写出根与系数关系，由此求得的面积，利用导数求得面积的最大值，并由三角形与内切圆有关的面积公式，求得内切圆的半径的最大值.
【详解】（1）设椭圆方程为，点在直线上，且点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，则点.
∵
∴
又
解得
∴椭圆方程为
（2）由（1）知，，过点的直线与椭圆交于两点，
则的周长为，又（为三角形内切圆半径），
∴当的面积最大时，其内切圆面积最大.
设直线的方程为：，，则
消去得，
∴
∴
令，则，∴
令，
当时，，
在上单调递增，
∴，当时取等号，
即当时，的面积最大值为3，
结合，得的最大值为，
∴内切圆面积的最大值为.
【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求解和椭圆的几何性质，考查直线和椭圆相交，所形成的三角形有关最值的计算，属于中档题.
20．（1）y2＝4x.（2）－14.
【分析】（1）直线MN的方程为，联立方程得到x1＋x2＝3p.代入弦长公式得到答案.
(2) 先计算直线l的方程为y＝x＋1，设P(m，m＋1)，根据韦达定理，化简整理得到，得到最小值.
【详解】解：(1)由题意可知，则直线MN的方程为.
将直线方程代入y2＝2px(p＞0)，得.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝3p.
∵|MN|＝8，∴x1＋x2＋p＝8，即3p＋p＝8，解得p＝2，
∴抛物线的方程为y2＝4x.
(2)由l∥MN，可设直线l的方程为y＝x＋b，将其代入y2＝4x，
得x2＋(2b－4)x＋b2＝0.
∵l为抛物线C的切线，∴Δ＝(2b－4)2－4b2＝0，解得b＝1，
∴直线l的方程为y＝x＋1.
由(1)可知x1＋x2＝16x1x2＝1.
设P(m，m＋1)，则，
∴，
∵x1＋x2＝6，x1x2＝1，∴(y1y2)2＝6，x1x2＝16，y1y2＝－4.
又，∴，
∴，
当且仅当m＝2，即点P的坐标为(2，3)时，
取得最小值，最小值为－14.
【点睛】本题考查了抛物线方程，向量积的最小值，利用韦达定理，得到的表达式是解题的关键.
21．（1）；（2）.
【解析】（1）同椭圆方程为，直线方程为，联立，得，由此利用根的判别式，韦达定理、弦长公式能求出的长．
（2）当直线无斜率时，直线方程为，，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立，得，由此利用根的判别式，韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出的最大值．
【详解】解：（1）因为为椭圆的焦点，所以，又，
所以，所以椭圆方程为，
因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为1，
所以直线方程为，和椭圆方程联立得到
，消掉，得到，
所以△，，，
所以线段的长．
（2）当直线无斜率时，直线方程为，
此时，，，面积相等，，
当直线斜率存在（由题意知时，设直线方程为，
设，，，，
和椭圆方程联立得到，消掉得，
△，方程有根，且，，
此时
时等号成立）
所以的最大值为．
【点睛】求解时注意根的判别式，韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用．
22．（1），；（2）△面积的最大值为3，此时直线的方程为.
【分析】（1）设，根据余弦定理得. 化简即得，再利用椭圆的定义求出曲线的方程；
（2）设直线的方程为，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，，再利用函数的单调性求出的最大值为3即得解.
【详解】解：(1)设，在△中，，，
根据余弦定理得.
即.
.
而，所以.
所以.
又，
因此点的轨迹是以为焦点的椭圆（点在轴上也符合题意），
因为，，所以，
所以曲线的方程为.
(2)设直线的方程为.
由，消去并整理得. ①
显然方程①的,设,,则
由韦达定理得，.
所以.
令，则，.
由于函数在上是增函数.
所以，当，即时取等号.
所以，即的最大值为3.
所以△面积的最大值为3，此时直线的方程为.
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