湖北省恩施州高中教育联盟2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份湖北省恩施州高中教育联盟2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后、用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 一组数据的第百分位数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】首先，我们把按顺序排列，得到，
而，故第百分位数是第个数，
则该组数据的第百分位数是，故D正确.
故选：D.
2. 若圆锥的表面积为，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设圆锥底面圆半径r，母线长为l，高为h.
由题，，则.
则圆锥体积为.
故选：C.
3. 在平行六面体中，为上靠近点的三等分点，为的中点，设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如图，连接，并作的中点，
由题意得，
因为为上靠近点的三等分点，为的中点，
所以，故A正确.故选：A.
4. 从和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知组成的两位数有：共12个数，
能整除3的有：共4个，所以相应概率为.故选：B
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由辅助角公式，.
因，则
.
故选：B.
6. 已知实数满足，则的最小值与最大值之和为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】由题意知点在曲线上，曲线C关于原点以及坐标轴均对称；
由于时，曲线的方程为，即，
故结合曲线对称性，作出曲线C如图：
而表示曲线C上的点到直线的距离，
可知取最小值和最大值时，位于曲线在第一、三象限内的圆弧上，
当时，曲线的方程为，即，
此时d的最小值为，
当时，曲线的方程为，即，
此时d的最大值为，
故的最小值与最大值之和为，
所以的最小值与最大值之和为，
故选：C．
7. 已知直线和平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 平面内不一定存在和直线垂直的直线
B. 若，则
C. 若异面且，则
D. 若，则直线可能两两相交且不过同一点
【答案】C
【解析】对于A，我们要讨论平面和直线的关系，
当时，平面内一定存在和直线垂直的直线，
当直线时，在平面内有无数条直线与直线是异面垂直直线；
当直线平面时，在平面内有无数条平行直线与直线相交且垂直；
当直线与平面相交但不垂直时，在平面内有无数条平行直线与直线垂直，
故平面内一定存在和直线垂直的直线，故A错误；
对于B，当时，一定有或相交，故B错误；
对于C，如图，因为，过直线，一定存在平面，
使得，，所以，
而，，故，
因为异面，所以一定相交，而，，故成立，故C正确；
对于D，如图，
，，，.
∵直线和不平行，相交.
设，
则，
.
又.
三条直线相交于同一点，故D错误，
故选：C
8. 设函数，下列命题正确的是（ ）
A. 当时，的最小正周期为
B. 当时，的最大值为
C. 的最小值与的取值无关
D. 的最大值与的取值无关
【答案】D
【解析】若，此时
，此时函数的周期为，故A错误；
若，此时显然，当时，，故B错误；
其实此时
；
由A、B知与时函数的最小值变化，最大值不变，
而时，，故C错误；
不妨设，则，
则，
易知单调递增，由复合函数单调性知也递增，
时，
所以时，即此时单调递减，
时，
即此时单调递增，
又，故D正确.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是的一个周期B. 在上有2个零点
C. 的最大值为D. 在上是增函数
【答案】ABC
【解析】对于A，因为
，
所以是的一个周期，故A正确，
对于B，因为，
所以令，解得或，
当时，，故舍去，
当时，而，，
，，由余弦函数性质得在上单调递减，
在上单调递增，而，我们分为不同区间进行讨论，
当时，得到，所以此时在上存在一个根，
当时，得到，所以此时在上存在一个根，
综上可得在上有2个零点，故B正确，
对于C，令，
故可化为，
由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增，
所以最小值为，
且，，
故最大值为，即最大值为，故C正确，
对于D，由题意得，，
所以在上不可能是增函数，故D错误.
故选：ABC.
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 若事件两两互斥．则成立
B. 若事件两两独立．则成立
C. 若事件相互独立．则与不一定相互㹨立
D. 若，则事件相互独立与互斥不能同时成立
【答案】AD
【解析】对于A选项，若事件两两互斥，则与互斥，
所以，，因此A正确；
对于B，考虑投掷两个骰子，记事件：第一个骰子的点数为奇数，
事件：第二个骰子点数为奇数，事件：两个骰子的点数之和为奇数，
于是有，，
，可以看出事件两两独立，但不互相独立，
所以，因此B错误；
对于C，若事件相互独立，则，
又，，
则
，因此C错误；
对于D，若，事件相互独立，
则，
若互斥，则，因此D正确.
故选：AD
11. 记为圆的圆心．H为轴上的动点．过点H作圆的两条切线，切点分别是M，N，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为4
B. 直线过定点
C. 存在点，使得
D. 四边形HMCN的面积的最小值为
【答案】BD
【解析】由题如图，圆C：，则C，.
A选项，如图，由几何知识可知，HC垂直平分MN，
则，因HM与圆C相切，
则是以M为直角顶点的直角三角形，
则，故，则A错误；
B选项，设，取HC中点为D，则，.
则圆D：，
与圆C方程相减并化简可得直线MN为：.
令，即直线MN过定点，故B正确；
C选项，若，则，又由题可知，
结合，可知此时四边形HMCN为正方形.
则.当与y轴垂直时，最小为3，因，
则不存在相应的H点，使，故C错误；
D选项，设四边形HMCN的面积为S，
则.
由题，.
则，当且仅当时取等号.
故D正确.
故选：BD.
三、填室题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知单位向量满足，则______．
【答案】
【解析】由题意可知，
且，
即.
故答案为：.
13. 已知有名男生和名女生，其中名男生的平均身高为．方差为，名女生的平均身高为，方差为，则这名学生身高的方差为______．
【答案】
【解析】由题意可知五人的平均身高为，
所以五人身高的方差为.
故答案为：.
14. 在正方体中，为棱BC的中点，为棱的三等分点（靠近点），过点作该正方体的截面．则该截面的周长是______．
【答案】
【解析】如图，取的中点,连接,易得，则,
过点在平面内作,交于点，则；
再取的三等分点（靠近点），连接,同理可得,
过点在平面内作,交于点，则，
连接,因平面平面,则过三点的截面与它们的交线必平行，
同理过三点的截面与平面,平面的交线也平行，
故五边形即点的正方体的截面.
因则,，
由可得，则有：,
即得：,则,;
又由可得,则有：,
即得：，则
则.
故五边形截面的周长为：
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知
（1）求；
（2）若复数满足在复平面内对应的点为，且点，求的取值范围．
解：（1）设，则，所以，
即，所以，
即．
（2）设，在复平面内对应的点为，由知，
在以为圆心，2为半径的圆上，
即，
所以
，
即的取值范围是．
16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围．
解：（1）因为，
所以由正弦定理可知，，
因为，
所以，
即．
又，
所以，
即或，
即或（舍去）．
（2）由（1）得，则，即,
由正弦定理可知，
所以．
因为为锐角三角，所以，
即，则，
即，则.
故的周长的取值范围为．
17. 甲、乙两所学校之间进行羽毛球比赛，采用五局三胜制（先赢三局的学校获胜，比赛结束）.约定比赛规则如下：先进行两局男生羽毛球比赛，后进行女生羽毛球比赛.按照以往比赛经验，在男生羽毛球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为；在女生羽毛球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为．设各局比赛相互之间没有影响且无平局．
（1）求恰好比赛三局，比赛结束的概率；
（2）求甲校以3：1获胜的概率．
解：（1）恰好比赛三局，比赛结束的情况如下：
甲校连胜3局，概率为；
乙校连胜3局，概率为．
故恰好比赛三局，比赛结束的概率．
（2）甲校以3：1获胜的情况如下：
①前两局男生羽毛球比赛中甲校全胜，第三局比赛甲校负，第四局比赛甲校胜，
概率为；
②前两局男生羽毛球比赛中甲校1胜1负，第三局比赛甲校胜，第四局比赛甲校胜，
概率为．
故甲校以3：1获胜的概率．
18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是的中点．
（1）求证：平面．
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
（3）在棱上是否存在一点，使直线平面？若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由．
解：（1）连接，交BD于点，连接．
因为是的中点，是的中点，
所以，又平面平面，
所以平面．
（2）如图，以的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
即，则．
设平面的法向量为，则
令，得，所以可取．
易知平面的一个法向量为．
设平面和平面的夹角为，
则，
所以平面和平面夹角的余弦值为．
（3）由（2）知，
则，
．
由（2）知平面的一个法向量可为，
根据题意可得：，即，解得，
又当时，，，
则BF的长为．
综上所述，棱上存在一点，使直线平面，且BF的长为.
19. 已知点与定点和点与原点的距离的比为，记点的轨迹为．
（1）求的方程．
（2）已知直线与轴交于点．
①过点的直线与曲线交于两点，求线段的中点的轨迹方程；
②求证：为定值，并求出这个定值．
解：（1）设，由题知，又，，
所以，化简得．
（2）①不妨设曲线的圆心为，
所以当不重合时，为直角三角形，
取的中点，则，
当重合时，则，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为3的圆在圆内的部分，
以为圆心，半径为3的圆的方程为，
由，消得，
所以的轨迹方程为．
②由题意知，直线的斜率一定存在，设，
代入，消得，
则，得到，
不妨设，则，
故，
又，所以
故为定值，且定值为.