2021-2022学年湖北省恩施州高中教育联盟高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年湖北省恩施州高中教育联盟高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 从校名教师、校名教师、校名教师中，采用分层随机抽样的方法，抽取了一个容量为的样本，若校名教师中被抽取的人数为，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知复数是虚数单位，则在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知，为两条不同的直线，为平面，则下列命题正确的是(    )

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则

6. 已知两数的部分图象如图所示，则(    )

A.
B.
C.
D.

7. 若，，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在三棱锥中，平面平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 已知不等式的解集为，则(    )

A.  B.
C.  D.

10. 从参加安全知识竞赛的学生中随机抽出名学生，将其成绩均为整数整理后画出的频率分布直方图如图所示．已知分以下的学生共人，则下列说法正确的是(    )

A.
B. 这名学生的平均成绩约为分
C. 根据此频率分布直方图可计算出这名学生成绩的中位数约为分
D. 根据此频率分布直方图可计算出这名学生成绩的上四分位数约为分

11. 为了得到函数的图象，只要将函数的图象(    )

A. 所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，然后所得图象向右平移个单位长度
B. 所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，然后所得图象向右平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度，纵坐标不变，然后所有点的横坐标缩短到原来的
D. 向右平移个单位长度，纵坐标不变，然后所有点的横坐标缩短到原来的

12. 如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，过作正方体的截面交棱于，则(    )

A. 当时，截面为等腰梯形
B. 当时，截面为六边形
C. 当时，截面面积为
D. 当时，截面与平面所成的锐二面角的正切值为
 

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 若一个圆锥的底面面积为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为______．
14. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则______，______．
15. 在正方体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______．
16. 已知一组数据为，，，，，，，，，，若该组数据的平均数与众数之和等于中位数的倍，则该组数据方差的最大值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知向量．
    若向量，且，求与同方向的单位向量；
    若向量满足，且，求与夹角的余弦值．
18. 已知函数．
    求的单调递增区间；
    若函数在上的零点个数为，求的取值范围．
19. 某农户从一批待作的苹果中随机抽取个，对样本中每个苹果称重，数据如表．

若将这批苹果按质量大小进行分级，质量不小于千克的苹果为一级果；质量不小于千克且小于千克的苹果为二级果；质量在千克以下的苹果为三级果．
根据以上抽样调查数据，能否认为这批苹果符合“二级果和一级果的数量之和至少要占全部产品的”的规定？
若将这批苹果按等级出售，一级果的售价为元千克；二级果的售价为元千克；三级果的售价为元下克经估算，这批苹果有个，请问该批苹果的销售收入约为多少元？问一组中的数据用该组区间的中点值作代表

20. 在中，内角，，所对的边分别为，，，．
    求；
    若是锐角三角形，且，求面积的取值范围．
21. 如图，在多面体中平面平面，四边形为菱形，，底面为直角梯形，，，，为的中点．
    证明：．
    若多面体的体积为，求点到平面的距离．

22. 已知，，函数，，且．
    证明：；
    若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
由题意，得，
故A，
故选：．
求出，根据交集的运算求解即可．
本题考查了交集的运算，指数函数的性质，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：校名教师中被抽取的人数为，
则．
故选：．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，
所以对应点的坐标为，所以在复平面内对应的点位于第二象限．
故选B．
先对化简，再结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，，
由余弦定理得 ．
故选：．
利用余弦定理可求．
本题考查余弦定理的应用，属基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：对于，若，，则或，故A错误；
对于，若，，则或，或与相交，故B错误；
对于，若，，则与相交、平行或异面，故C错误；
对于，若，，则由直线与平面垂直的判定定理知，故D正确．
故选：．
对于，或；对于，或，或与相交；对于，与相交、平行或异面；对于，由直线与平面垂直的判定定理知．
本题考查命题真假的判断，考查线面平行、线面垂直、面面平行的判定与性质等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为函数过点，所以，结合图象可得．
又因为，所以又因为函数过点，所以可得，
结合图象可得，则，．
又，所以，则．
所以．
故选：．
把点代入解析式可求，把点代入解析式可求，从而可求．
本题考查根据函数的部分图象求解析式，属中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，若，，则，，
 则有，
当且仅当，时，等号成立，
所以的最小值是．
故选：．
根据题意，分析可得，结合基本不等式的性质分析可得答案．
本题考查基本不等式的性质以及应用，注意原式的变形，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，所以的外接圆的圆心为斜边的中点，
，为等边三角形，
连接，，平面平面，平面平面，面，
面，则球心一定在直线上，
为等边三角形，可知为的外心，则为该三棱锥外接球的球心，
因为，所以，则该三棱锥外接球的半径为，
故该三棱锥外接球的表面积为．

故选：．
由题目条件确定出外接球的球心是的外接圆的圆心，从而得到半径和表面积．
本题考查了三棱锥外接球的表面积，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由不等式的解集为，
可得，，
．
故选：．
由题意可得，从而可求，的值，可判断的正确性．
本题考查不等式的解集，考查两角和的正切正弦公式的应用，属基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得，得，A正确；
由，得，
所以名学生的平均成绩约为分，故B正确；
设这名学生成绩的中位数为分，则，得，故C错误；
设这名学生成绩的上四分位数为分，则，得，故D正确．
故选：．
利用频率分布直方图的性质直接求解．
本题考查频率分布直方图的性质等基础知识，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为，
所以将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，然后所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
或的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，然后所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象．
故选：．
直接利用三角函数的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的关系式的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于：当时，是当的中点，所以，又易证，

易证截面为等腰梯形，故A正确；
对于：当时，截面与的交点在的延长线上，
可得截面是五边形，故B错误，
对于：当时，则与重合，是的中点，截面即是菱形，
易得，，所以面积为，故C正确；

对于：当时，以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
则，，
设截面的一个法向量为，
则，令，则，，，
又易得为平面的法向量，
所以，，
所以可得截面与平面所成的锐二面角的余弦值为，可得正切值为，故D正确．
故选：．
当时，是当的中点，可得截面为等腰梯形判断；当时，截面是五边形可判断；当时，则与重合，是的中点，截面即是菱形，可求面积判断；当时，以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求锐二面角的正切值判断．
本题考查空间几何体的性质，考查截面的形状，面面角的求法，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面面积为，底面半径，
设圆锥的母线长为，则，解得．
圆锥的体积．
故答案为：．
由已知求得圆锥的底面半径，再由勾股定理求高，代入圆锥体积公式得答案．
本题考查圆锥的结构特征，考查圆锥体积的请求法，是基础题．
 

14.【答案】  

【解析】解：根据题意，函数是定义在上的奇函数，则，
又由当时，，则，解可得，
则当时，，
又由为奇函数，则，
故答案为：；．
根据题意，由奇函数的性质结合函数的解析式可得，解可得的值，又由，结合解析式计算可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，

在正方体中，，则异面直线与所成的角为或其补角．
设正方体的棱长为，
则，
，
，
．
故答案为：．
取中点，则，则异面直线与所成的角为或其补角，再利用余弦定理求解即可．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意得，该组数据为，，，，，，，，，，其平均数为，出现的此时最多，则众数为．
当时，该组数据的中位数为，所以，解可得，此时该组数据的方差为，
当时，该组数据的中位数为，所以，得，此时该组数据的方差为．
当时，该组数据的中位数为，则，得，此时该组数据的方差为．
故答案为：．
根据题意，分析数据的平均数和众数，分情况讨论的值，确定数据的中位数，可得关于的方程，求出的值，分别求出数据的方差，比较大小可得答案．
本题考查数据的平均数、众数、方差和中位数的计算，注意对的值分情况讨论，属于基础题．
 

17.【答案】解：因为，所以．
则，解得．
故与同方向的单位向量为．
由题意，得，即．
所以． 

【解析】根据，可得，即可得值，求得，根据单位向量的求法，即可得答案．
根据向量的乘法法则，可得的值，代入向量求夹角公式，即可得答案．
本题主要考查向量的数量积公式和夹角公式，属于基础题．
 

18.【答案】解：，分
令，分
解得，
故的单调递增区间为；分
在上的零点个数等于函数的图象与直线的交点个数，分
因为，所以，分
在上单调递增，在上单调递减，分
因为，，分
所以，
即的取值范围为分 

【解析】根据二倍角公式与辅助角公式化简，再代入单调区间的表达式求解即可；
将题意转化为函数的图象与直线的交点个数，再根据正弦函数的单调性与取值范围，分析在上的单调性与值域再判断即可．
本题考查了三角函数的性质以及利用零点个数求参数的范围的问题，属于中档题．
 

19.【答案】解：由题意可知，样本中二级果和一级果的数量之和占比为分
所以这批苹果符合规定分
由样本知，这批苹果中一级果占，二级果占，三级果占，
所以个苹果中一级果有个，二级果有个，三级果有个．
一级果的质量约为千克分
三级果的质量约为千克分
三级果的质量约为千克：分
总售价约为，
所以该苹果的销售收入的为元分 

【解析】根据已知数据计算“二级果和一级果的数量之和的占比可得；
求出一级、二级、三级果品的数量及平均质量后得各级果品质量，从而得总收入．
本题考查了根据频率分布表解决实际问题，属于基础题．
 

20.【答案】解：由余弦定理，，
得，
整理得，
所以，
又，
可得．
因为，
所以，，
所以，
因为为锐角三角形，
所以，
解得，
所以，
可得，
所以，即面积的取值范围为． 

【解析】由余弦定理化简已知等式可得，进而可求，结合，可得的值．
由正弦定理，三角形面积公式以及三角函数恒等变换的应用可求所以，根据题意可求范围，进而利用正弦函数的性质即可求解面积的取值范围．
本题考查了正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

21.【答案】证明，如图，连接．

四边形为菱形，，
平面平面，平面平面，，
平面，平面，，
，平面，，平面，
平面，．
解：如图，过作，交于点，
过作，交的延长线于点，连接，，
设，点到平面的距离为．
平面，，
，平面，平面，
，
，
多面体的体积为，解得，
，平面，
平面，即点到平面的距离等于点到平面的距离，
由题意得四边形为矩形，
，，，
，，，
，，
，
，，
故点到平面的距离． 

【解析】连接，推导出，，从而平面，进而，平面，由此能证明．
过作，交于点，过作，交的延长线于点，连接，，由多面体的体积为，求出，由等体积法能求出到平面的距离．
本题考查线面垂直、线面平行的判定与性质、等体积法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

22.【答案】解：证明：因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以．
解：由可知，，
则，
所以，
由，可得，则．
令函数，
则由，
可得，
因为，，所以，
又在上单调递增，则，
则，
令函数，
所以在上单调递减，
则，
所以的取值范围为． 

【解析】由，得，再计算，，即可得出答案．
由可知，，则，可转化为，则，令函数，推出，进而可得，则，令函数，求导分析单调性，即可得出，进而可得答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．