四川省成都列五中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

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二、多项选择题：9．BD 10．AC 11．ABD
填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．解：（1）设事件A表示“甲考生获得决赛资格”，设事件B表示“乙考生获得决赛资格”，
由题意可知事件A、B相互独立.因为两轮选拔之间相互独立，
所以，.………………………………………………4分
则甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率为：
所以甲、乙两位考生中有且只有一位学生获得决赛资格的概率.……………………7分
（2）设事件C表示“丙考生获得决赛资格”，则.…………………………9分
因为事件“三人中至少有一人获得决赛资格”的对立事件是“三人都没有获得决赛资格”
所以三人中至少有一人获得决赛资格的概率为
…………………13分
16．（本小题满分15分）
解：（1）因为第三､四､五组的频率之和为0.7，
所以，解得，……………………………………2分
所以前两组的频率之和为，即，所以.…………4分
（2）众数为
平均数为，
前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，
所以分位数在第三组，且为.………………………………8分
（3）第四､第五两组志愿者分别有20人，5人，采用分层抽样的方法从中抽取5人，
则第四组抽4人，记为，第五组抽1人，记为，……………………………10分
则从这5人中选出2人，有共10种结果，…………………………………………………………………………………12分
两人来自不同组有共4种结果，……………………………14分
所以两人来自不同组的概率为.………………………………………………15分
17．（本小题满分15分）
解：（1）当直线斜率不存在时，，此时点到直线的距离1，符合要求；…2分
当直线斜率存在时，设，即，
则有，解得，故；
综上所述，直线的方程为或；………………………………………………5分
（2）当直线在两坐标轴上截距都为0时，设直线的方程为，因为直线过点，所以，解得，此时直线的方程为…………………………………7分
当直线在两坐标轴上截距不为0时，由已知设直线的方程，因为直线过点，所以，此时直线的方程为
综上所述，直线的方程为或；………………………………10分
（3）如图，设，则，，
即，
由，则，
故当时，有.………15分
18．解：（1）因为，，，所以四边形为矩形，
在中，，，，
则，，，
又平面平面，平面，平面平面，
平面；……………………………………………………………………5分
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，可得，
则，，，，，
设平面的法向量为，，，
由，令，则，即，
设平面的法向量为，，
由，令，则，，即，
则，
二面角的正弦值为； ……………………………11分
（3）由点为靠近点的的四等分点，故，
则，
又平面的法向量为，
故直线与平面所成的角的正弦值为：
，
即直线与平面所成的角的余弦值为.……………17分
19．（本小题满分17分）
解：（1）连接，因为为棱台，所以四点共面，
又因为四边形为菱形，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为，且平面，
所以平面，因为平面，所以；……………5分
（2）取中点，连接，
因为底面是菱形，且，所以是正三角形，
所以，即，由于平面，以为原点，
分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
则，
设，则，，
，，
设平面的法向量为，
则有，令，则，，即，
由平面，则，即有，
解得，即；…………………………………………………………………11分
（3）假设点存在，设点的坐标为，其中，可得，
设平面的法向量，则，
令，即，所以，
又由平面的法向量为，所以，解得，
由于二面角为锐角，则点在线段上，所以，即，
故棱上存在一点E，当时，二面角的余弦值为.…………17分