四川省成都列五中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题

2023-2024学年度（上）阶段性考试（一）

高2023级  数学

本试卷共4页，22题，满分150分，考试时间为120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考号、座位号等信息填写在答题卡上．

2．作答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．

4．考生必须保持答题卡的整洁．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求．

1．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

2．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

3．设全集．如图所示，则阴影部分所表示的集合为（    ）

A． B．

C． D．

4．设集合，集合，若，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

5．已知实数，且，则下列不等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

6．已知，则的最大值为（    ）

A．8 B．16 C．2 D．4

7．“”是：“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C．或 D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有多个选项符合题目要求．

9．下列各题中给出的两个语句和，哪些是的充要条件（    ）

A．：四边形是菱形，：四边形的对角线互相垂直且平分

B．

C．

D．：关于的不等式的解集是且

10．已知，下列关于的最小值的描述正确的是（    ）

A．时，的最小值是 B．时，的最小值是

C．时，取得最小值 D．时，没有最小值

11．若实数满足：，则下列叙述正确的是（    ）

A．的取值范围是 B．的取值范围是

C．的范围是 D．的范围是

12．关于的不等式的解集，下列说法正确的是（    ）

A．时，解集为 B．时，解集为

C．时，解集为 D．时，原不等式在时恒成立

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知集合，且，则的值为_________．

14．已知二次函数图象如图所示，则不等式的解集为_________．

15．已知正实数满足，则的最小值为_________．

16．一物流公司要租地建造仓库储存货物，经市场调研发现：每月土地租用费用（万元）与仓库到车站的距离成反比；每月库存货物费用（万元）与成正比；且时，和分别为2万元和8万元．那么这家公司把仓库建在距离车站_________千米处，费用之和最小．

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题10分）

求下列不等式的解集：

（Ⅰ）

（Ⅱ）

18．（本题12分）

已知全集，集合，集合，求：

（Ⅰ）若，求的范围；

（Ⅱ）若，求的范围．

19．（本题12分）

已知命题；命题．

（Ⅰ）若命题为真命题，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若命题真且假，求实数的取值范围．

20．（本题12分）

已知．

（Ⅰ）求证：，当且仅当时等号成立；

（Ⅱ）若，求的最大值．

21．（本题12分）

已知二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标分别为和3，且方程的两根相等．

（Ⅰ）求二次函数的解析式；

（Ⅱ）求关于的不等式的解集．

22．（本题12分）

为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的净化剂浓度（单位：毫克/立方米）随着时间（单位：天）变化的关系如下：当时，；当时，．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用．

（Ⅰ）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？

（Ⅱ）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求的最小值．

成都列五中学2023-2024学年度（上）阶段性考试（一）

高2023级数学参考答案及评分细则

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

二．选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选得0分

三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.         14.            15.                16.  

三、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（Ⅰ）

或…………………………（4分）

（说明：没有用因式分解的方法，先求两根，再结合二次函数图象写解集，结果正确也给4分）

原不等式的解集为……………………（5分）

（Ⅱ），……………（7分）  也可写成：

，………………（9分）

原不等式的解集为……………………（10分）

（用分类讨论的方法求解，，若正确也给分。）

18.集合化简得：

（Ⅰ），………………………………（2分）

…………………（5分）

解得：…………………………（6分）

（说明：先分别求和，再利用建立不等式，结果正确也得分）

（Ⅱ），因为，所以下面分和两种情况讨论.

①时，………………………（7分）

②时，，又有下面两种情况

  （ⅰ）（如右图）…………（9分）

  （ⅱ）（如右图）………（11分）

综上所述，……………………（12分）

（说明：不讨论而默认非空，得到答案，扣2分，其他错误答案酌情扣分）

19.（Ⅰ）因为命题为真命题.

所以在上恒成立（如右图），

则判别式……………（2分）

即解得.

所以实数的取值范围为……………（6分）

（Ⅱ），若此命题为真，即：关于的不等式有解

则：……………………（7分）

即，解得：……………（9分）

由题意，真，所以假，所以

假，所以真，所以：………………（11分）

假且真，所以：……………（12分）

（说明：其它方法解答，若结论正确酌情给分）

20.（Ⅰ）（证法一：综合法）

……………（4分）

当且仅当，即时，“”号成立

，且

，当且仅当，即时，“”号成立……………（6分）

（证法二：分析法）

要证：，因为，只要证：……………（2分）

只要证：

只要证：…………………（4分）

上式即：，此不等式显然成立，当且仅当，即时，“”号成立

所以原不等式得证.…………………………（6分）

（Ⅱ）（解法一）令，则，

由（Ⅰ）的结论知：…………………（9分）

所以：，当且仅当时等号成立…………………（11分）

即时，取得最大值…………………（12分）

（说明：不写出换元的过程，直接用也可以，结论正确则给分）

（Ⅱ）（解法二）

，则………………（9分）

因为 ，且

所以，………………（11分）

当且仅当时等号成立。

所以，时，取得最大值………………（12分）

（Ⅱ）（解法三）

由柯西不等式：得：

，当且仅当即时，等号成立.

（说明：其他解法，若正确则酌情给分）

21.（Ⅰ）由题意可设二次函数解析式为：……………（2分）

则：…………（3分）

此方程两根相等，

所以，，所以…………（5分）

所以，此二次函数的解析式为………………………（6分）

（解法二）方程的两根相等，

则：时，………………（3分）（如右图）

所以：………………（5分）

所以，此二次函数的解析式为………………………（6分）

（Ⅱ）不等式即：

，整理得：…………………（7分）

所以………………（*）

方程的两根为………………（8分）

①当时，不等式（*）的解集为空集；

②当时，不等式（*）的解集为；

③当时，不等式（*）的解集为.……………（11分）

综上，时，原不等式解集为空集；时，原不等式解集为；时，原不等式解集为…………………………………（12分）

22.（Ⅰ）因为一次喷洒个单位的去污剂，且当时，空气中释放的净化剂浓度为，

；当时，………………（2分）

当时，令，解得，所以；

当时，令，解得，所以．

综上，可得，即一次投放个单位的去污剂，有效去污时间可达6天．…………（6分）

（Ⅱ）设从第一次喷洒起，经天的净化剂浓度设为，

则

要使接下来的天中能够持续有效净化，则浓度应满足恒成立.…………（8分）

（方法一）只需求出的最小值

令，则，

，所以，当且仅当即时，取等号.

所以最小值为，………………………………………（10分）

恒成立，则

所以的最小值为.（这个最小值满足）………（12分）

（方法二：分离参数）由题意知：对恒成立

所以恒成立，…………………（8分）

只需求的最大值，而

所以，当且仅当时取等号，

此时的值满足.所以的最大值为…………………（10分）

所以，即所以的最小值为.（这个最小值满足）…………（12分）