四川省成都列五中学2024-2025学年高三上学期入学摸底测试数学试题

这是一份四川省成都列五中学2024-2025学年高三上学期入学摸底测试数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.命题，的否定为（）
A.，B.，
C.，D.，
2.设，，若，则实数的值的个数为（）
A.2B.3C.4D.5
3.已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式的第5项是（）
A.6B.15C.D.
4.已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两球，每次取一球，记第一次取出的球的数字是，第二次取出的球的数字是.若事件“为偶数”，事件“，中有偶数且”，则（）
A.B.C.D.
5.设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6.已知，，且，则的最小值是（）
A.4B.5C.7D.9
7.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，直线交直线于点.若，则双曲线的离心率为（）
A.B.C.D.
8.已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围（）
A.B.C.D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选错得0分.
9.下列命题中，正确的是（）
A.已知随机变量服从正态分布，若，则
B.若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.66和，则甲组数据的线性相关性更强
C.用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，，则
D.已知随机变量的分布列为，则
10.已知函数，则下列说法正确的有（）
A.若是上的增函数，则
B.当时，函数有两个极值
C.当时，函数有两个零点
D.当时，在点处的切线与只有唯一个公共点
11.在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（）
A.当时，最小值为
B.当时，三棱锥的体积为定值
C.当，时，平面平面
D.若，则的轨迹长度为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.抛物线的准线方程为________.
13.用0，1，2，3，4，5能组成________个无重复数字的四位偶数.（用数字作答）
14.甲、乙、丙三个人去做相互传球训练，训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.如果第一次由甲将球传出，设次传球后球在甲手中的概率为，则________；________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面且，为中点.
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值.
16.（本小题15分）为了了解高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）.
（1）求数学成绩与学习时间的相关系数（精确到0.001）；
（2）请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩（参考数据：，，，，的方差为200）；
（3）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生，按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）.依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关.
附：方差：相关系数：
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，
17.（本小题15分）设数列的前项和为，且满足.
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求的取值范围.
18.（本小题17分）已知椭圆左焦点为，离心率为，以坐标原点为圆心，为半径作圆使之与直线相切.
（1）求的方程；
（2）设点，，是椭圆上关于轴对称的两点，交于另一点，
①证明：直线经过定点；
②求的内切圆半径的范围.
19.（本小题17分）牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下：如图，设是的根，首先选取作为的初始近似值，若在点处的切线与轴相交于点，称是的一次近似值；用替代重复上面的过程，得到，称是的二次近似值；一直重复，可得到一列数：。在一定精确度下，用四舍五入法取值，当近似值相等时，该值即作为函数的一个零点.
（1）若，当时，求方程的二次近似值（保留到小数点后两位）；
（2）牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数在点处的切线，并证明：；
（3）若，若关于的方程的两个根分别为，证明：.
高三入学摸底测试数学答案
一、单选题：
1-8：C B D C A C D A
二、多选题：
9.CD 10.AB 11.BCD
三、填空题：
156，
四、解答题：
15.【详解】（1）取中点，连接，由，得，
又平面平面，平面平面，平面，
则平面，过作，由，得，，
而，平面，则，，2分
以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图：
由，，得，，，，，
中点，则，，
因此，即，
所以6分
（2）由（1）知，，，，
设平面的法向量，则，
令，得， 8分
设平面的法向量，则，
令，得， 10分
设二面角的大小为，
则， 12分
所以二面角的正弦值. 13分
16.
【详解】（1），，
又的方差为，
，
3分
（2）由（1）知接近1，故与之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归直线方程模型进行拟合：
，
，故当时，，
故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分.9分
（3）零假设：周末在校自主学习与成绩进步无关，
根据数据，计算得到：
，
因为，所以依据的独立性检验，
可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关.15分
17.【详解】（1）因为，
当时，由，解得； 2分
当时，则，，
两方程相减得，即；
可知数列是首项为，公比为的等比数列，
所以. 6分
①+②（2）由（1）可知：，
则，
，
两式相减得，
可得，即. 10分
因为，
可知是单调递增数列，且，可得，12分
因为对任意的，恒成立，可得，解得，
所以的取值范围为.15分
18.
【详解】（1）依题意，
解得，，
所以的方程为. 4分
（2）①因为不与轴重合，所以设的方程为，
设点，，则
联立，得，
则，，7分
因为点，，三点共线且斜率一定存在，
所以，
所以，将，代入
化简可得，故，9分
解得，满足
所以直线过定点，且为椭圆右焦点11分
②设所求内切圆半径为，因为，
所以 14分
令，则，
所以，
因为，对勾函数在上单调递增，
所以，则.
所以内切圆半径的范围为. 17分
19.
【详解】（1），
当时，，在点处的切线方程为，与轴的交点横坐标为，
所以，，在点处的切线方程为，与轴的交点，
所以方程的二次近似值为1.83. 4分
（2）由题可知，，，，
所以在处的切线为，即；
设，，
则，显然单调递减，令，解得，
所以当时，，则在单调递增，
当时，，则在单调递减，
所以，
所以，即. 9分
（3）由，得，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，也是的最大值点，即，
又时，，时，，
所以当方程有两个根时，必满足；
曲线过点和点的割线方程为，
下面证明：，
设，
则，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递增，；
在上单调递减，，
所以当时，，即（当且仅当或时取等号），
由于，所以，解得；①
下面证明当时，，
设，，因为，
所以当时，（当且仅当时取等号），
由于所以，解得，②
①+②，得. 17分编号
1
2
3
4
5
学习时间
30
40
50
60
70
数学成绩
65
78
85
99
108
没有进步
有进步
合计
参与周末在校自主学习
35
130
165
未参与周末不在校自主学习
25
30
55
合计
60
160
220
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828