沪科版（2024）七年级上册数学第3章一次方程及其方程组单元测试卷（含答案解析）

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沪科版（2024）七年级上册数学第3章一次方程及其方程组单元测试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如果关于x的方程x+2a−3=0的解是x=−1，那么a的值是(    )A. −2 B. −1 C. 1 D. 22.若关于x的方程(2−k)x|k−1|−1=0是一元一次方程，则k的值为(    )A. 2 B. 1 C. 0 D. 0或23.解下面的方程，结果正确的是(    )A. 方程4=3x−4x的解为x=4 B. 方程32x=13的解为x=2C. 方程32=8x的解为x=14 D. 方程1−4=13x的解为x=−94.若关于x，y的二元一次方程组x+y=5kx−y=9k的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值为(    )A. −34 B. 34 C. 43 D. −435.用加减法解方程组2x+3y=1  ①x−y=2      ②时，将方程②变形正确的是(    )A. 2x−2y=2 B. 3x−3y=2 C. 2x−y=4 D. 2x−2y=46.二元一次方程2x+3y=17的正整数解有(    )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个7.下列说法：①若a+b=0，且ab≠0，则x=1是方程ax+b=0的解；②若a−b=0，且ab≠0，则x= −1是方程ax+b=0的解；③若ax+b=0，则x=−ba；④若(a−3)x|a−2|+b=0是一元一次方程，则a=1．其中正确的结论是(    )A. 只有①② B. 只有②④ C. 只有①③④ D. 只有①②④8.按下面的程序计算： 若输入100，输出结果是501；若输入25，输出结果是631.若开始输入的x值为正整数，最后输出结果为556，则开始输入x的值可能有(    )A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种9.某车间有49名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，设有x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，每天生产的螺栓和螺母恰好按1:2配套，列方程组正确的是(    )A. {x+y=492×12x=18y B. {x+y=492×18y=12x C. x+y=4912x=18y D. x+y=4918x=12y10.已知关于x，y的方程组2x+5y=−6,bx−ay=2和方程组bx+ay=−80,3x−5y=16有相同的解，那么(a+b)2024的值为(    )A. −2024 B. −1 C. 1 D. 2024二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。11.已知x=1y=3是方程ax+y=2的解，则a的值为______．12.已知y=3是关于y的方程ay=−6的解，那么关于x的方程4(x−a)=a−(x−6)的解是          ．13.为了大力弘扬航天精神，科学普及航天知识，某校特意举行了“扬帆起航，逐梦九天”的知识竞赛．假设共16道题，评分标准如下：答对1题加3分，答错1题扣1分，不答记0分．已知小明不答的题比答错的题多2道，他的总分为28分，则小明答对了______道题．14.若方程组a1x+y=c1,a2x+y=c2(a1≠a2)的解是x=1,y=n,则方程组a1x+y=c1−a1,a2x+y=c2−a2的解是          ．三、计算题：本大题共2小题，共16分。15.解方程：(1)3x−4(2x+5)=x+4；(2)x−x−12=2−x+26．16.解方程组：(1)x+4y=72x+11y=20；(2)x2−y+13=13x+2y=10．四、解答题：本题共7小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=aa−b+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×(2−5)+1=2×(−3)+1=−6+1=−5(1)求(−2)⊕3的值；(2)若3⊕x的值是最小的正整数，求x的值．18.(本小题8分)计算：老师所留的作业中有这样一道题，解方程：5−10x−215=3x10甲、乙两位同学完成的过程如下：甲同学：5−10x−215=3x105−2(10x−21)=3x第一步5−20x+42=3x第二步−20x+3x=42+5第三步−17x=47第四步x=−4717第五步乙同学：5−10x−215=3x1050−2(10x−21)=3x第一步50−20x−42=3x第二步−20x−3x=−50+42第三步−23x=−8第四步x=238第五步老师发现这两位同学的解答都有错误．(1)甲同学的解答从第______步开始出现错误；错误的原因是______；乙同学的解答从第______步开始出现错误，错误的原因是______；(2)请重新写出完成此题的正确解答过程．19.(本小题10分)小王在解关于x的方程2a−2x=15时，误将−2x看作+2x，得到方程的解为x=3，求原方程的解．20.(本小题10分)小王看到两个超市的促销信息如图所示．(1)当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市实付款分别是多少？(2)当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？(3)小王两次到乙超市分别购物标价198元和466元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元？21.(本小题12分)对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对(a,b)与(c,d).我们规定：例如：．根据上述规定解决下列问题：(1)有理数对______；(2)若有理数对，则x=______；(1)  当满足等式的x是整数时，求整数k的值．22.(本小题12分)某体育用品商场销售A、B两款足球，售价和进价如表：若该商场购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若该商场购进20个A款足球和30个B款足球需3400元．(1)求m和n的值；(2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3600元，那么该商场可获利多少元？(3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖两款足球总计盈利600元，那么该日销售A、B两款足球各多少个？23.(本小题14分)先阅读下列解题过程，然后解答问题(1)、(2)、(3)．例：解绝对值方程：3x=1.解：①当x≥0时，原方程可化为3x=1，它的解为x=13．②当x<0时，原方程可化为−3x=1，它的解为x=−13．∴原方程的解为：x=13，x=−13．问题(1)：方程3x−1=−2x+5的解为_____．问题(2)：方程x−7=2x−15的解为_____．问题(3)：在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：2x−1+x+5=10．答案和解析1.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的解及解一元一次方程．题目比较简单，理解方程解的意义是解决本题的关键．根据解的意义，把x=−1代入方程，得到关于a的一次方程，求解即可．【解答】解：把x=−1代入方程，得−1+2a−3=0，解得a=2，故选：D．2.【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．由一元一次方程的定义可知：|k−1|=1，且2−k≠0，从而可解得k的值．【解答】解：因为关于x的方程(2−k)x|k−1|−1=0是一元一次方程，所以|k−1|=1，且2−k≠0．解得：k=0或2，且k≠2解得：k=0．故选：C．3.【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解方程的方法和步骤是解题的关键．根据等式的基本性质和一元一次方程的解法，分别求出各方程的解即可．【解答】解：A.方程4=3x−4x的解为x=−4，故此项错误；B.方程32x=13的解为x=29，故此项错误；C.方程32=8x的解为x=4，故此项错误；D.方程1−4=13x的解为x=−9，故此项正确．故选D．4.【答案】B 【解析】【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边成立的未知数的值.将k看做已知数求出x与y，代入2x+3y=6中计算即可得到k的值．【解答】解：{x+y=5k①x−y=9k②,①+②得：2x=14k，即x=7k，将x=7k代入①得：7k+y=5k，即y=−2k，将x=7k，y=−2k代入2x+3y=6得：14k−6k=6，解得：k=34．故选B．5.【答案】D 【解析】解：加减法解方程组2x+3y=1  ①x−y=2      ②时，将方程②变形正确的是2x−2y=4．故选D．观察两方程中x的系数特征，即可得到结果．此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．6.【答案】C 【解析】解：由2x+3y=17，得y=17−2x3，∵x、y都为正整数，∴17−2x为3的倍数，∴x=1y=5，x=4y=3，x=7y=1．故二元一次方程2x+3y=17的正整数解有3个．故选：C．由题可知y=17−2x3，根据x、y都为正整数可知(17−2x)为3的倍数，进而逐一求出x、y的值．此题主要考查了解二元一次方程的方法．7.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的定义及一元一次方程的解．根据一元一次方程的定义及一元一次方程的解进行解答．【解答】解：①ab≠0，所以一次项系数不是0，则x=1是方程ax+b=0的解；同理，②若a−b=0，且ab≠0，则x=−1是方程ax+b=0的解；③若ax+b=0，则x=−ba，没有说明a≠0的条件；④若(a−3)x|a−2|+b=0是一元一次方程，则|a−2|=1，且a−3≠0，则a=1，是正确的．其中正确的结论是只有①②④．故选D．8.【答案】C 【解析】【分析】本题考查了用字母表示数，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的整式．也考查了解一元一方程．由5x+1=556，解得x=111，即开始输入的x为111，最后输出的结果为556；当开始输入的x值满足5x+1=111，最后输出的结果也为556，可解得x=22；当开始输入的x值满足5x+1=22，最后输出的结果也为556，但此时解得的x的值为小数，不合题意．【解答】解：因为输出的结果为556，所以5x+1=556，解得x=111；而111<500，当5x+1等于111时最后输出的结果为556，即5x+1=111，解得x=22；当5x+1=22时最后输出的结果为556，即5x+1=22，解得x=4.2(不合题意舍去)，所以开始输入的x值可能为22或111，即开始输入的x值可能有2种．故选C．9.【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查的是由实际问题抽象出二元一次方程组的有关知识，设有x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，根据题意列出方程组即可．【解答】解：设有x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，由题意得x+y=492×12x=18y10.【答案】C 【解析】略11.【答案】−1 【解析】解：把x=1y=3代入到方程中得：a+3=2，∴a=−1，故答案为：−1．把方程组的解代入方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．本题考查了二元一次方程的解，把方程组的解代入方程，得到关于a的一元一次方程是解题的关键．12.【答案】x=−45 【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的解，方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.先把y=3代入方程ay=−6求得a，再把a的值代入关于x的方程4(x−a)=a−(x−6)，求解即可．【解答】解：把y=3代入方程ay=−6得a=−2，将a=−2代入方程4(x−a)=a−(x−6)4(x+2)=−2−(x−6)4x+8=−2−x+65x=−4得x=−45，故关于x的方程4(x−a)=a−(x−6)的解是x=−45．13.【答案】10 【解析】【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系．根据总分=答对题数×3−答错题数×1+不答题数×0，设答错的题数为x道，不答的题数为(x+2)道，可列出方程，求出解．【解答】解：设答错的题数为x道，不答的题数为(x+2)道，依题意得：3×[16−x−(x+2)]−x+(x+2)×0=28，解得：x=2，则不答的题数为：x+2=4，答对的题数为：16−2−4=10(道)，故答案为：10．14.【答案】x=0y=n 【解析】解：∵方程组a1x+y=c1,a2x+y=c2的解是x=1,y=n,∴a1+n=c1,a2+n=c2,∴c1−a1=n，c2−a2=n，∴a1x+y=c1−a1,a2x+y=c2−a2可化为a1x+y=n, ①a2x+y=n, ② ①− ②得(a1−a2)x=0，∵a1≠a2，∴x=0，将x=0代入 ①，得y=n，∴原方程组的解为x=0,y=n.15.【答案】解：(1)去括号得：3x−8x−20=x+4，移项合并得：−6x=24，解得：x=−4；(2)去分母得：6x−3x+3=12−x−2，移项合并得：4x=7，解得：x=74． 【解析】(1)方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；(2)方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16.【答案】解：(1)x+4y=7①2x+11y=20②，由①，可得：x=7−4y③，③代入②，可得：2(7−4y)+11y=20，解得y=2，把y=2代入③，可得：x=7−4×2=−1，∴原方程组的解是x=−1y=2．(2)x2−y+13=1①3x+2y=10②，由①可得：3x−2y=8③，②+③，可得6x=18，解得x=3，把x=3代入③，可得：3×3−2y=8，解得y=0.5，∴原方程组的解是x=3y=0.5． 【解析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．(1)应用代入消元法，求出方程组的解即可．(2)应用加减消元法，求出方程组的解即可．17.【答案】解：(1)(−2)⊕3=−2×(−2−3)+1=−2×(−5)+1=10+1=11；(2)∵3⊕x=33−x+1=9−3x+1=10−3x，∵3⊕x的值是最小的正整数，∴10−3x=1，∴x=3，∴x的值为3． 【解析】(1)根据a⊕b=aa−b+1进行计算即可解答；(2)根据a⊕b=aa−b+1列出关于x的方程，然后进行计算即可解答．本题考查了实数的运算，解一元一次方程，理解材料中定义的新运算是解题的关键．18.【答案】一  去分母时，方程两边乘以各分母的最小公倍数，“5”项漏乘  二  去括号时，括号前是“−”各项符号应变号，小括号内第二项未变号 【解析】解：(1)甲同学的解答从第一步开始出现错误；错误的原因是去分母时，方程两边乘以各分母的最小公倍数，“5”项漏乘；乙同学的解答从第二步开始出现错误，错误的原因是去括号时，括号前是“−”各项符号应变号，小括号内第二项未变号；(2)5−10x−215=3x1050−2(10x−21)=3x，50−20x+42=3x，−20x−3x=−50−42，−23x=−92，x=4．故答案为：一；去分母时，方程两边乘以各分母的最小公倍数，“5”项漏乘；二；去括号时，括号前是“−”各项符号应变号，小括号内第二项未变号．(1)检查甲、乙两位同学的解题过程，找出出错的步骤，以及错误的原因即可；(2)去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此写出正确的解题过程即可．此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数．19.【答案】解：因为2a+2x=15的解是x=3，所以2a+2×3=15，所以2a+6=15，解得a=92，所以2×92−2x=15，所以9−2x=15，移项，可得2x=9−15，整理，可得2x=−6，所以原方程的解是x=−3.  【解析】见答案20.【答案】(1)由题意可得，当一次性购物标价总额是300元时，在甲超市需付款：300×0.88=264(元)，在乙超市需付款：300×0.9=270(元)，答：当一次性购物标价总额是300元时，甲超市付款264元，乙超市付款270元；(2)由图中的信息可知，只有当购物标价总额超过500元时，两家超市才可能付款总金额相等，设当标价总额是x元时，甲、乙超市实付款一样，由题意可得：0.88x=500×(1−10%)+(x−500)×0.8，解得x=625，答：当标价总额是625时，甲、乙超市实付款一样；(3)由题意可得，小王两次到乙超市分别购物标价198元和466元时，需要付款：198+466×(1−10%)=617.4(元)，小王一次性到乙超市购物标价198+466=664元的商品，需要付款：500×(1−10%)+(664−500)×0.8=581.2(元)，617.4−581.2=36.2(元)，答：可以节省36.2元． 【解析】见答案21.【答案】解：；(2)        x=1；(3) 因为等式的x是整数，所以k(2x−1)−(−3)(x+k)=5+2k，所以(2k+3)x=5，所以x=52k+3，因为x是整数，即52k+3是整数，所以2k+3=±1或±5，所以k=1，−1，−2，−4.  【解析】见答案22.【答案】解：(1)依题意得：10m+20n=200020m+30n=3400，解得：m=80n=60．答：m的值为80，n的值为60．(2)依题意得：80x+60y=3600，∴4x+3y=180，∴(120−80)x+(90−60)y=10(4x+3y)=10×180=1800．答：该商场可获利1800元．(3)设该日销售A款足球a个，B款足球b个，依题意得：(120−10−80)a+13×(90×3−60×3−10×2)b=600，∴a=20−79b，又∵a，b均为正整数，∴a=13b=9或a=6b=18．答：该日销售A款足球13个，B款足球9个或A款足球6个，B款足球18个． 【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)(3)找准等量关系，正确列出二元一次方程．(1)根据“购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；购进20个A款足球和30个B款足球需3400元”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)利用总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，变形后可得出4x+3y=180，再将其代入(120−80)x+(90−60)y=10(4x+3y)中即可求出结论；(3)设该日销售A款足球a个，B款足球b个，利用总利润=每个足球的销售利润×销售数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论．23.【答案】解：(1)x=65，x=−4．(2)x=8．(3)(零点分段法)令x−1=0得x=1，令x+5=0得x=−5，①当x≤−5时，2x−1+x+5=−2x+2−x−5=−3x−3=10，它的解为x=−133(不符合题意，舍去)，②当−51时，2x−1+x+5=2x−2+x+5=3x+3=10，它的解为x=73，∴原方程的解为：x=73,x=−3． 【解析】【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，关键是能去掉绝对值符号，用了分类讨论思想．(1)分两种情况：①当13⩽x⩽52时，②当x>52或x<13时，去掉绝对值符号后求出即可；(2)分为两种情况：①当x≥7时，x−7≥0，②当x<7时，x−7<0，去掉绝对值符号后求出即可；(3)分为三种情况：①当x≤−5时，②当−51时，去掉绝对值符号后求出即可．【解答】(1)∵3x−1=−2x+5∴①当13⩽x⩽52时，3x−1=−2x+5，解得：x=65，②当x>52或x<13时，3x−1=−(−2x+5)，解得：x=−4，∴原方程的解为：x=65，x=−4．故答案为x=65，x=−4；(2)①当x≥7时，x−7≥0，则原方程可化为x−7=2x−15，它的解为x=8，②当x<7时，x−7<0，原方程可化为−x+7=2x−15，它的解为x=223(舍去)，∴原方程的解为：x=8．故答案为x=8；(3)见答案．类型进价(元/个)售价(元/个)A款m120B款n90