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人教版（2024）七年级上册（2024）3.1 代数式教案
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这是一份人教版（2024）七年级上册（2024）3.1 代数式教案，共10页。教案主要包含了素养目标，教学重点，教学难点，教学过程，对应训练，课堂总结，作业布置，教学后记等内容，欢迎下载使用。
第1课时：代数式
【素养目标】
借助现实情境了解代数式,进一步理解用字母表示数的意义,体验用数学符号表达数量关系的过程,发展学生的抽象能力与符号意识,感受数学与生活的密切联系.
【教学重点】代数式的概念及意义,用代数式表示实际问题中的数量和数量关系.
【教学难点】相同代数式在不同实际问题中的意义不同.
【教学过程】
活动一:创设情境,新课导入
[设计意图]
设置具体的问题情境使学生思考,在解决问题的过程中接触代数式.
[情境导入]
在小学,我们学过用字母表示数,知道可以用字母或含有字母的式子表示数和数量关系.我们来看下面的问题.
表中的这些式子,每个只能表示某一年爸爸的年龄,你能用一个式子简明地表示任何一年爸爸的年龄吗?
若赵红的年龄为ɑ岁,则爸爸的年龄为(ɑ+30)岁.
可以看到,这样的式子在数学中有重要作用,并在解决实际问题中有着广泛的应用.今天我们一起来学习下!
[教学提示]
教师先引导学生回忆小学时学过的用字母表示数的方法,然后结合后面的实际问题使学生自行思考,调动学生学习的主动性与积极性.
活动二:交流合作,探究新知设计意图
通过用含字母的式子表示实际问题中的数量和数量关系,归纳引入代数式的概念,并明确代数式的书写规范.探究点1 代数式的概念
问题1 (教材P68引言)智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一.某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以完成5m2范围内苹果的识别,并自动对成熟的苹果进行采摘,它的一个机械手平均8s可以采摘一个苹果.根据这些数据回答下列问题:
(1)①你知道本题中工作量､工作效率､工作时间之间的关系吗?
工作量=工作效率×工作时间.
②该机器人10s能识别多大范围内的苹果?60s呢?ts呢?你能得到什么启示?
启示:用字母代替数使我们的表达从一个具体问题推广到一类问题,更具有一般性.
(2)该机器人识别n m2范围内的苹果需要多少秒?
n5s.
(3)若该机器人搭载了m个机械手(m>1),它与采摘工人同时工作1h,已知工人平均5s可以采摘一个苹果,则机器人可比工人多采摘多少个苹果?
分析提问:
根据上面的分析,最终我们可以列出如下的式子:
问题2 (1)某工程队负责铺设一条长2km的地下管道,经过d天完成,用式子表示这支工程队每天铺设的管道长度.
(2)一个正方形的边长是ɑ,这个正方形的周长l是多少?面积S呢?
上述问题中列出的式子5t,n5,450m-720,2d,4ɑ,ɑ2,它们都是用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式.
注意:单独的一个数或字母也是代数式,例如,5,t都是代数式.
【对应训练】
判断下列式子是否符合代数式的书写规范,不符合的请改正.
x×y,256ɑb,-1n,x3,m÷3.
解:均不符合,改正如下:
x×y 256ɑb -1n x3 m÷3 xy 176ɑb -n 3x m3
[教学提示]
教学时通过设置的情境使学生明白,探究用字母代替数从而将数和数量关系一般而又简明地表达出来是必要的,能使应用更加广泛,从而为描述和研究问题带来方便.并通过这两个问题进一步引导学生归纳写出的式子的共性.
提醒学生解题时注意单位要换算成一致.跟学生明确代数式的书写规范,这里尤其注意跟学生强调代数式中的运算符号不是关系符号,比如用“=”“>”“<”,抑或是以后将要学到的“≥”“≤”“≠”这些符号连接而成的式子不是代数式.有关代数式书写的具体要求教师可参看后面的解题大招,讲解时根据情况选讲即可.
[设计意图]
通过例题使学生掌握用代数式表示简单实际问题中的数量或数量关系的方法,并明确相同的代数式在不同实际问题中的含义不同.探究点2 用代数式表示数量关系
例1 (教材P70例1)
(1)苹果原价是p元/kg,现在按九折优惠出售,用代数式表示苹果的售价;
(2)一个长方形的长是0.9m,宽是pm,用代数式表示这个长方形的面积;
(3)某产品前年的产量是n件,去年的产量比前年产量的2倍少10件,用代数式表示去年的产量;
(4)一个长方体水池底面的长和宽都是ɑm,高是hm,池内水的体积占水池容积的三分之一,用代数式表示池内水的体积.
分析提问:想一想各小题中的数量关系是怎样的?试着填写下表:
解:(1)苹果的售价是0.9p元/kg;
(2)这个长方形的面积是0.9pm2;
(3)去年的产量是(2n-10)件;
(4)由长方体的体积=长×宽×高,得这个长方体水池的容积是ɑ·ɑ·hm3,即ɑ2hm3,故池内水的体积为13ɑ2hm3.
追问 (1)观察(1)(2)小题的结果,你有什么发现?它说明了什么问题?
所列代数式一样,0.9p既可以表示苹果的售价,也可以表示长方形的面积.它说明:
用字母表示数后,同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系.
(2)0.9p还可以表示什么?请你再举出一个例子.
某人走路的速度为0.9m/s,若他行走ps,则走了0.9pm.(答案不唯一)
【对应训练】
教材P71练习第1题.[教学提示]
(1)教师提问,学生自主作答,在经历上一环节的学习后,学生不难得出这些问题的答案,目的在于通过例题使学生掌握代数式的书写规范,能从实际问题中抽象出数学问题,写出简单的代数式,感受数学建模的过程.
(2)在用同一个代数式表示不同实际问题中的数量或数量关系时,尽可能让学生多举些实例.设计意图
使学生能透过代数式了解到其中所蕴含的运算,明确数学意义,并能发挥想象给代数式赋予实际意义.
活动三:随堂训练,课堂总结探究点3 代数式的意义
例2(教材P71例2)说出下列代数式的意义:
(1)2ɑ+3; (2)2(ɑ+3); (3)cɑb; (4)x2+2x+8.
解:(1)2ɑ+3的意义是ɑ的2倍与3的和;
(2)2(ɑ+3)的意义是ɑ与3的和的2倍;
(3)cɑb的意义是c除以ɑ,b的积的商;
(4)x2+2x+8的意义是x的平方,x的2倍,与8的和.
问题 举例说明2ɑ+3,2(ɑ+3)所表示的实际问题中的数量关系.
在相同情境下:李明买了一些水果,其中橘子有ɑ个,李子的数量比橘子的2倍还多3,则李子买了(2ɑ+3)个;若再多买3个橘子,买到橙子的数量就刚好是橘子数量的2倍,则橙子买了2(ɑ+3)个.
在不同情境下:李明买了一些橘子和李子,其中橘子有ɑ个,李子的数量比橘子的2倍还多3,则李子买了(2ɑ+3)个;小宝今年3岁,爸爸今年ɑ岁,爷爷的年龄是小宝和爸爸的年龄和的2倍,则爷爷今年的年龄是2(ɑ+3)岁.(答案不唯一)
【对应训练】
教材P71练习第2,3题.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:
1.什么是代数式?你能用代数式表示简单实际问题中的数量或数量关系吗?
2.同一个代数式在不同实际问题中表示的数量或数量关系相同吗?举例说明.
3.你能说出某个代数式的数学意义吗?能赋予它实际意义吗?
【作业布置】
1.教材P76习题3.1第2,6,7,8题.
[教学提示]
教师引导学生自主探究,可选取学生代表回答代数式的数学意义,重点在于对代数式用运算符号连接的各部分进行“拆解”,从而明确采用的是何种运算,比如分数线所代表的除法意义等.在探究代数式的实际意义时,注意若两个式子在同一个情境下,则相同字母必须代表同一个量.
【教学后记】
第2课时： 列代数式表示数量关系
【素养目标】
1.能分析具体问题中的简单数量关系,并用代数式表示.
2.初步培养学生的观察､分析能力,发展学生的抽象能力与符号意识,感受数学与实际生活的密切联系.
【教学重点】列代数式.
【教学难点】根据稍复杂实际问题中的数量关系列代数式.
【教学过程】
活动一:创设情境,新课导入
[设计意图]
设计真实情境让学生回答,既能回顾上节课所学,也为更深入地探讨列代数式做铺垫.
【情境引入】
在解决一些数学问题与实际问题时,往往需要先把问题中的数量关系用含有数､字母和运算符号的式子表示出来,也就是要列代数式.
回忆上节课所学内容,解答下面的问题:
如图,在国庆阅兵式上,有女民兵和三军女兵两种特殊方队.
(1)若女民兵方队有ɑ人,三军女兵方队有b人,则两种方队共有(ɑ+b)人;
(2)若三军女兵方队的平均年龄为m岁,比女民兵方队的平均年龄大n岁,则女民兵方队的平均年龄为(m-n)岁;
(3)若三军女兵方队共有m排,且每排有25人,则三军女兵方队的人数为25m;
(4)女民兵方队用ts走了sm,则她们的平均速度可以表示为 st m/s.
这就是列代数式,这节课我们将更深入地对这方面进行探究,让我们准备好一起进入今天的探索之旅吧![教学提示]
通过阅兵式的情境再现,激励学生的斗志,激发学生的学习热情.问题并不难,可让学生口答,答案的4个式子包含有+,-,×,÷这四种运算,学生口答过程中,教师顺势板书好答案,为下一步学生观察､理解和更深入地探究列代数式埋下伏笔.
活动二:自主思考,探究新知设计意图
探究列代数式表示数学运算,以及用代数式表示运算律或公式等. 探究点1 列代数式表示数学运算中的数量关系
思考 我们在上一节课曾探讨过代数式的意义,如2ɑ+3的意义是ɑ的2倍与3的和.反过来,如果已知某种数学运算,如ɑ,b两数的和与差的积,那么该如何用代数式表示呢?
可以按下面的步骤列代数式:
所以ɑ,b两数的和与差的积为(ɑ+b)(ɑ-b).
例1 用代数式表示:
(1)比m的3倍小3的数;
(2)m的平方的3倍与5的和;
(3)m的倒数与n的积.
解:(1)3m-3;(2)3m2+5;(3)nm.
【对应训练】
教材P73练习第1题.[教学提示]
这一环节教学时教师以引导为主,不要直接明晰结论,应先鼓励学生尽可能回忆以前学过的运算法则､运算律及计算公式等,用代数式表示出来,并让学生说明其中每个字母代表的含义.注意跟学生强调:一个代数式中可能会有多个字母,它们代表的量各不相同.
[设计意图]
通过例题使学生明确如何将实际背景中的数量关系转化成数学语言进行描述,再进一步列出代数式. 探究点2 列代数式表示实际情境中的数量关系
例2 ((教材P72例3)用代数式表示:
(1)购买2个单价为ɑ元的面包和3瓶单价为b元的饮料所需的钱数.
(2)把ɑ元钱存入银行,存期3年,年利率为2.75%,到期时的利息是多少元?
(3)某商品的进价为x元,先按进价的1.1倍标价,后又降价80元出售,现在的售价是多少元?
分析提问:想一想各小题中的数量关系是怎样的?试着填写下表:
解:(1)购买2个单价为ɑ元的面包和3瓶单价为b元的饮料所需的钱数为(2ɑ+3b)元.
(2)根据题意,得ɑ×2.75%×3=8.25%ɑ,因此到期时的利息为8.25%ɑ元.
(3)现在的售价为(1.1x-80)元.
从上面的例子可以看出,用字母表示数,字母可以和数一样参与运算,从而可以用代数式把数量或数量关系简明地表示出来,更具有一般性.
【对应训练】
教材P73练习第2,3,4题.[教学提示]
这一环节教学可采用板演,学生自己充当小教师检查学生理解､掌握情况,仿照例题学会分析数量关系,并规范作答.最后注意强调:1.同一个字母,在不同的问题背景中可以表示不同的量,如(1)(2)中的字母ɑ;2.某些代数式中有些部分可以适当化简,如(3)中2.75%与3相乘得到8.25%.
活动三:强化训练,巩固提升
[设计意图]
设计稍复杂的实际问题中的行程问题,以考查学生列代数式的能力,既强化了学生的应用能力,提高了学生对知识的掌握程度,也为后面学习方程､不等式等相关实际问题背景进行熟悉和预热.
活动四:随堂训练,课堂总结探究点3 代数式的意义
例3 (教材P72例4)甲､乙两地之间公路全长240km,汽车从甲地开往乙地,行驶速度为vkm/h.
(1)汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时?
(2)如果汽车的行驶速度增加3km/h,那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时?汽车加快速度后可以早到多少小时?
分析提问:(1)本题包含了几个量?它们之间有什么关系?
本题包含路程､速度和时间三个量.它们之间具有关系:时间=路程速度.
(2)早到的时间与原来需要行驶的时间和加快速度后需要行驶的时间有什么联系?
早到的时间=原来需要行驶的时间-加快速度后需要行驶的时间.
解:(1)汽车从甲地到乙地需要行驶240vh.
(2)如果汽车的行驶速度增加3km/h,那么汽车从甲地到乙地需要行驶240v+3h.汽车加快速度后可以早到(240v-240v)h.
【对应训练】
张华同学报名参加了某市越野赛10km体验组的比赛,计划以xkm/h的平均速度跑完全程,为了取得更好的成绩,实际比赛时他以计划平均速度的1.2倍跑完了全程.
(1)用代数式表示张华同学实际跑完全程所用的时间:101.2x h;
(2)王老师也报名参加了此次越野赛10km体验组的比赛,他计划一半路程以ɑkm/h的平均速度前进,而另一半路程以bkm/h(ɑ≠b)的平均速度前进,用代数式表示王老师跑完全程所用的时间.
解:一半路程以ɑkm/h的平均速度前进,用时5ɑh,另一半路程以bkm/h的平均速度前进,用时5bh,故王老师跑完全程所用的时间为(5ɑ+5b)h.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:
你能分析实际问题中的数量关系,并列出代数式吗?
【作业布置】
1.教材P75习题3.1第1,3,10,11题.
[教学提示]
例题和练习题都属于行程问题,解决这类问题必须掌握行程问题的公式,即时间､路程､速度之间的关系.需要注意跟学生强调,列出的代数式如果形式比较复杂,出现不止一个运算符号,只要不出现关系符号(如“=”“<”),无论用多少个运算符号连接都属于代数式的范畴;同时在相同的问题背景下,相同的字母表示相同的量,不同的量是用不同的字母来表示的.
【教学后记】
第3课时 反比例关系
【素养目标】
1.探索简单实例中的数量关系和变化规律,结合具体情境体会反比例关系.
2.初步了解反比例关系的表现形式,并能在实际问题中识别反比例关系,发展学生的抽象能力和应用意识.【教学重点】反比例关系的概念及识别.
【教学难点】在实际问题中识别反比例关系.
【教学过程】
活动一:悬疑激趣,新课导入
[设计意图]
类比正比例关系,对实例进行演变,引发学生思考,为引入反比例关系的概念做铺垫.
【类比引入】
1.回忆:小学我们已经学过的成正比例的量的概念是什么?
如果两个变化的量的比值保持不变,或用符号表示为yx=k(k是一个确定的值,且k≠0),这时称这两个量y和x为成正比例的量.
2.复习:第1课时活动二中的问题1:
3.猜想
我们不难回答上面“猜想”中的特点,但该怎样进一步表述这两个量之间的关系呢?让我们赶快进入新的学习吧!
[教学提示]
进入本节课之前先引导学生回顾正比例关系,再通过对问题进行演变使学生对反比例关系有一个初步感知,重点在于类比正比例关系使学生发现新问题中量和量之间存在共性(乘积为定值).
活动二:交流合作,探究新知设计意图
通过实例引入反比例关系的概念,并与正比例关系进行比较,帮助学生更深刻地理解.探究点 反比例关系
问题 (教材P73问题)北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市.在冬季奥运会前,某赛场计划造雪260000m3.解答下列问题:
(1)根据每天造雪量,计算所需的造雪天数,填写下表.
(2)每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的?它们之间有什么关系?
(续表)
概念引入:
像这样,两个相关联的量,一个量变化,另一个量也随着变化,且这两个量的乘积一定,这两个量就叫作成反比例的量,它们之间的关系叫作反比例关系.
如果用字母x和y表示两个相关联的量,用k表示它们的积(k是一个确定的值,且k≠0),反比例关系可以用xy=k来表示.
想一想:正比例关系与反比例关系有什么区别和联系?
思考 生活中,成反比例关系的例子是很常见的.例如,在购买某种商品时,总价一定,购物的数量与商品的单价成反比例关系.你还能举出一些例子吗?
①泳池里水的体积一定,将水放完,排水的速度与所用时间成反比例关系;②路程一定,行驶速度与行完全程所需时间成反比例关系等.
【对应训练】
教材P75练习第1,2题.[教学提示]
这部分教学应采用启发式教学的方法,教师抛出问题,鼓励学生小组合作,共同探讨､交流,引导学生通过观察和对问题的探究,说出工作时间与工作效率的乘积为定值,再一次印证学生在活动一中已经得出的结论.教师提醒学生特别注意比例系数k在当前学情下虽不做过多探讨,但k≠0仍需明确知晓,必要时可适当解释不为0的原因.
[教学提示]
将反比例关系与正比例关系进行对比,分析它们的异同点,这点是很有必要的,学生能借助正比例关系的探究方法进行参照学习,有助于学生更好地理解反比例关系的实质.以后这样的类比学习会经常出现,学生初学会比较困难,教师可直接讲述.而后面的“思考”是为了帮助学生更进一步巩固对反比例关系的认识.
活动三:实际应用,巩固新知
[设计意图]
设计实际问题引导学生解决,进一步强化学生对于反比例关系的理解,并培养学生的应用能力和一定的计算能力.
例 (教材P74例5)如图,四个圆柱形容器内部的底面积分别为10cm2,20cm2,30cm2,60cm2.分别往这四个容器中注入300cm3的水.
(1)四个容器中水的高度分别是多少厘米?
(2)分别用x(单位:cm2)和y(单位:cm)表示容器内部的底面积与水的高度,用式子表示y与x的关系,y与x成什么比例关系?
分析:题中涉及圆柱的体积､底面积及高三个量,它们之间具有关系:圆柱的体积=底面积×高,高=圆柱的体积底面积.
解:(1)四个容器中水的高度分别为30010=30(cm),30020=15(cm),30030=10(cm),30060=5(cm).
(2)xy=300.y与x成反比例关系.
【对应训练】
1.给一间教室铺地砖,每块地砖的面积(单位:cm2)与所需地砖的数量(单位:块)如下表所示.
(1)这间教室的地面面积是多少平方米?
(2)所需地砖的数量是怎样随着每块地砖的面积的变化而变化的?
(3)若用n表示所需地砖的数量,m表示每块地砖的面积,用式子表示n与m的关系.n与m成什么比例关系?
解:(1)这间教室的地面面积是300×1600=480000(cm2)=48m2.
(2)由表可知所需地砖的数量随着每块地砖的面积的增大而减小,但它们的乘积一定,都为480000.
(3)mn=480000.n与m成反比例关系.
2.教材P75练习第3题.[教学提示]
这里涉及的运算要让学生自主动手进行,一方面是加强理解,另一方面也是为后面学习代数式求值进行预演.可倡导按照自己所想的方法进行求值(不必硬套公式),学力稍强的学生可能已经运用代值求解的方法去解决问题了,应对这种思维超前､灵活运用的学生予以认可,对于其他学生也应当鼓励,营造积极的学习氛围,使学生在自主学习中获得成就感.
活动四:随堂训练,课堂总结
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:
什么是反比例关系?两个相关联的量何时满足反比例关系,你能举例说明吗?
【作业布置】
1.教材P76习题3.1第4,5,9题.
【教学后记】
3.2 代数式的值
第1课时：求代数式的值
【素养目标】
1.了解代数式的值的概念,会把具体数代入代数式进行计算.
2.感受代数式求值是一个转换过程或某种算法,锻炼学生的计算能力和解题能力.
【教学重点】求代数式的值.
【教学难点】较复杂的代数式求值,理解代数式的值与字母的取值间的对应关系.
【教学过程】
活动一:创设情境,新课导入
[设计意图]
设计实例引出代数求值的需求,为进入新课做铺垫.
【情境引入】
谁说数学学不好?这不,先前数学成绩很差的刘伟,经过不断努力,不但成绩直线上升,而且现在还能设计程序计算呢!如图就是刘伟设计的一个程序.当输入x的值为3时,你能求出输出的y的值吗?
y的值为-3.
像上面这样,我们在列出代数式的情况后,往往还需要求出所需的数值.怎么求呢?这就是本课时需要解决的问题.[教学提示]
学生独立完成说出答案,让其在按照程序探索求值的过程中感受代数式求值的必要性.
活动二:交流合作,探究新知
[设计意图]
通过实际问题引入代数式的值的概念,并通过例题引导学生学会求代数式的值,并归纳求代数式的值的步骤.探究点 求代数式的值
问题 为了开展体育活动,学校要购置一批排球,每班配5个,学校另外留20个.学校总共需要购置多少个排球?
记全校的班级数是n,则需要购置的排球总数是5n+20.
提问 (1)如果班级数是15,怎么根据上面求得的代数式得到具体结果呢?
如果班级数是15,用15代替字母n,那么需要购置的排球总数是5n+20=5×15+20=95.
(2)如果班级数是20呢?
同上,如果班级数是20,用20代替字母n,那么需要购置的排球总数是5n+20=5×20+20=120.
概念引入:
归纳总结:
求代数式的值的步骤:
(1)代入,即用具体数值代替代数式中的字母;
(2)计算,即按照代数式指明的运算顺序计算得出结果.
【对应训练】
教材P80练习第1,2题.[教学提示]
求代数式的值的注意事项:
(1)代数式中的运算符号和具体数字都不能改变,代入数值以后原来省略的乘号一定要还原,如例1;
(2)字母在代数式中所处的位置必须搞清楚;
(3)若字母取值是分数,做乘方运算时必须加上括号,若字母取值是负数也必须加上括号;
(4)代数式若有现实背景,也不可取不符合实际意义的值,如李明买了n个足球,这里的n就不能取正整数以外的值.
活动三:实际应用,巩固新知
[设计意图]
通过解决实际问题提高学生对代数式求值的掌握程度. 例3 科技改变生活.刘伟是一名摄影爱好者,他最近新入手了一台如图所示的无人机进行航拍,刘伟将这台无人机放在距离地面1.5m的台子上,以ɑm/s的速度匀速上升40s后进行拍照,然后以(b-2)m/s的速度匀速下降25s后进行第二次拍照.
(1)用代数式表示无人机两次拍照时距地面的高度;
(2)当ɑ=12,b=10时,求无人机第二次拍照时距地面的高度.
解:(1)第一次拍照时距地面的高度是(1.5+40ɑ)m,第二次拍照时距地面的高度是[(1.5+40ɑ)-25(b-2)]m.
(2)当ɑ=12,b=10时,(1.5+40ɑ)-25(b-2)=(1.5+40×12)-25×(10-2)=281.5.
因此,无人机第二次拍照时距地面的高度为281.5m.
【对应训练】
教材P80练习第3题.[教学提示]
教师鼓励学生独立完成,潜移默化地提高学生观察､分析､解决问题的能力,并在这一过程中将列代数式与求代数式的值融会贯通,提高应用能力,体验克服困难的过程,树立学习数学的信心.
活动四:随堂训练,课堂总结
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:
1.什么是代数式的值?你会把具体数代入某个代数式进行求值吗?
2.代数式求值时要注意运算符号和运算顺序,你能举例说明吗?
3.字母的取值和代数式的值之间有何联系?你能对特定问题下某个字母的值和对应代数式的值的实际意义进行解释吗?
【作业布置】
1.教材P82习题3.2第1,2,3,4,7,8题.
【教学后记】
第2课时：几何中的代数式求值
【素养目标】
1.能运用公式列出几何图形问题中的代数式,并把具体数代入求值.
2.掌握代数式在几何问题中的运用,发展学生的几何直观感知能力与计算能力.
【教学重点】几何中的代数式求值.
【教学难点】几何中的代数式求值.
【教学过程】
活动一:复习旧知,新课导入
[设计意图]
通过回忆小学时学过的几何问题中的一些公式,并说明将利用这些公式进行代数式求值的探究,从而衔接新课的学习.【问题引入】
这节课我们将继续代数式求值的探究,这次要探究的是利用几何公式进行代数式求值.[教学提示]
教师跟学生说明这节课是上节课的延续,在上节课已经涉及一些实际问题(如行程问题)中的公式,由此进行过渡,启发学生回忆小学时学过的几何问题中的一些公式,学生自然联想到类比行程问题公式,运用几何公式来进行代数式求值这一数学活动,从而将教学气氛调动起来.
活动二 交流合作,探究新知
[设计意图]
通过例题使学生学会运用公式进行几何中的代数式求值.探究点 几何中的代数式求值
我们刚刚在活动一中回忆了一些几何相关公式,在解决有关问题时,经常用这些公式进行计算.我们来看下面两个例题:
例1(教材P80例3)如图,某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成,其中直道的长为ɑ,半圆形弯道的直径为b.
(1)用代数式表示这条跑道的周长;
(2)当ɑ=67.3m,b=52.6m时,求这条跑道的周长(π取3.14,结果取整数).
引导提问:①跑道的周长是由哪些部分组成的?
跑道的周长是两段直道和两段弯道的长度组成的.
②如何求出两段弯道的长度和?
两段弯道的长度和即为圆的周长,由圆的周长公式即可求得结果.
解:(1)两段直道的长为2ɑ;两段弯道组成一个圆,它的直径为b,周长为πb.因此,这条跑道的周长为2ɑ+πb.
(2)当ɑ=67.3m,b=52.6m时,2ɑ+πb=2×67.3+3.14×52.6≈300(m).
因此,这条跑道的周长约为300m.
例2(教材P81例4)一个三角尺的形状和尺寸如图所示,用代数式表示这个三角尺的面积S.当ɑ=10cm,b=17.3cm,r=2cm时,求这个三角尺的面积(π取3.14).
引导提问:三角尺的面积可以根据哪两个规则图形的面积差得到?
三角尺的面积=三角形的面积-圆的面积.
【对应训练】
教材P81练习.[教学提示]
学生分组进行合作探讨,动手完成本部分的探究过程.本部分的重点在于学会分析方法,将几何图形拆解成学过的常见几何图形,再利用熟悉的公式列出代数式,最后代值求解.通过例题中的实际背景,能使学生感受到数学来源于生活,有助于帮助学生理解几何图形与代数式之间的联系,而不是只会生搬硬套公式.在教学过程中教师要及时给予学生反馈,注意引导和帮助.
活动三 强化应用,巩固新知
[设计意图]
通过稍复杂几何问题中的代数式求值强化学生对于新知的理解及应用能力.例3 如图是某居民小区的一块宽为2ɑ,长为b的长方形空地,为了美化环境,准备在这块长方形空地的四角处各修建一个半径为ɑ的四分之一圆形花坛,然后在花坛内种花,其余部分种草.
(1)请用代数式表示种草的面积;
(2)当ɑ=10m,b=35m时,求种草的面积(π取3.14).
图示分析:
解:(1)由题意得种草的面积(单位:m2)为2ɑ·b-π×ɑ2=2ɑb-πɑ2.
(2)当ɑ=10m,b=35m时,
2ɑb-πɑ2=2×10×35-3.14×102=386(m2).
因此,种草的面积为386m2.
【对应训练】
如图,一块正方形纸板剪去四个相同的三角形后留下了阴影部分的图形.已知正方形的边长为ɑ,三角形的高为h.
(1)用代数式表示阴影部分的面积;
(2)当|ɑ-4|和|h-1|的值互为相反数时,求阴影部分的面积.
[教学提示]
用代数式计算不规则图形的面积,应先将待求图形的面积表示为规则图形面积的和(差),再将所给的字母的值代入,即可求出具体的面积.如例3中4个半径为ɑm的1/4圆,拼在一起恰好是一个整圆,于是用长方形的面积减去整圆的面积即为所求的面积.
这部分的教学依然采用小组讨论,教师指正的方法进行,建议仿照活动二中的解题方法,先思考如何将图形分解,再列式,这样条理会更加清晰.
活动四 随堂训练,课堂总结
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:
你熟悉与几何相关的公式吗?能解答几何中的代数式求值问题吗?
【作业布置】
1.教材P82习题3.2第5,6题.
【教学后记】
第1课时：代数式
【素养目标】
借助现实情境了解代数式,进一步理解用字母表示数的意义,体验用数学符号表达数量关系的过程,发展学生的抽象能力与符号意识,感受数学与生活的密切联系.
【教学重点】代数式的概念及意义,用代数式表示实际问题中的数量和数量关系.
【教学难点】相同代数式在不同实际问题中的意义不同.
【教学过程】
活动一:创设情境,新课导入
[设计意图]
设置具体的问题情境使学生思考,在解决问题的过程中接触代数式.
[情境导入]
在小学,我们学过用字母表示数,知道可以用字母或含有字母的式子表示数和数量关系.我们来看下面的问题.
表中的这些式子,每个只能表示某一年爸爸的年龄,你能用一个式子简明地表示任何一年爸爸的年龄吗?
若赵红的年龄为ɑ岁,则爸爸的年龄为(ɑ+30)岁.
可以看到,这样的式子在数学中有重要作用,并在解决实际问题中有着广泛的应用.今天我们一起来学习下!
[教学提示]
教师先引导学生回忆小学时学过的用字母表示数的方法,然后结合后面的实际问题使学生自行思考,调动学生学习的主动性与积极性.
活动二:交流合作,探究新知设计意图
通过用含字母的式子表示实际问题中的数量和数量关系,归纳引入代数式的概念,并明确代数式的书写规范.探究点1 代数式的概念
问题1 (教材P68引言)智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一.某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以完成5m2范围内苹果的识别,并自动对成熟的苹果进行采摘,它的一个机械手平均8s可以采摘一个苹果.根据这些数据回答下列问题:
(1)①你知道本题中工作量､工作效率､工作时间之间的关系吗?
工作量=工作效率×工作时间.
②该机器人10s能识别多大范围内的苹果?60s呢?ts呢?你能得到什么启示?
启示:用字母代替数使我们的表达从一个具体问题推广到一类问题,更具有一般性.
(2)该机器人识别n m2范围内的苹果需要多少秒?
n5s.
(3)若该机器人搭载了m个机械手(m>1),它与采摘工人同时工作1h,已知工人平均5s可以采摘一个苹果,则机器人可比工人多采摘多少个苹果?
分析提问:
根据上面的分析,最终我们可以列出如下的式子:
问题2 (1)某工程队负责铺设一条长2km的地下管道,经过d天完成,用式子表示这支工程队每天铺设的管道长度.
(2)一个正方形的边长是ɑ,这个正方形的周长l是多少?面积S呢?
上述问题中列出的式子5t,n5,450m-720,2d,4ɑ,ɑ2,它们都是用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式.
注意:单独的一个数或字母也是代数式,例如,5,t都是代数式.
【对应训练】
判断下列式子是否符合代数式的书写规范,不符合的请改正.
x×y,256ɑb,-1n,x3,m÷3.
解:均不符合,改正如下:
x×y 256ɑb -1n x3 m÷3 xy 176ɑb -n 3x m3
[教学提示]
教学时通过设置的情境使学生明白,探究用字母代替数从而将数和数量关系一般而又简明地表达出来是必要的,能使应用更加广泛,从而为描述和研究问题带来方便.并通过这两个问题进一步引导学生归纳写出的式子的共性.
提醒学生解题时注意单位要换算成一致.跟学生明确代数式的书写规范,这里尤其注意跟学生强调代数式中的运算符号不是关系符号,比如用“=”“>”“<”,抑或是以后将要学到的“≥”“≤”“≠”这些符号连接而成的式子不是代数式.有关代数式书写的具体要求教师可参看后面的解题大招,讲解时根据情况选讲即可.
[设计意图]
通过例题使学生掌握用代数式表示简单实际问题中的数量或数量关系的方法,并明确相同的代数式在不同实际问题中的含义不同.探究点2 用代数式表示数量关系
例1 (教材P70例1)
(1)苹果原价是p元/kg,现在按九折优惠出售,用代数式表示苹果的售价;
(2)一个长方形的长是0.9m,宽是pm,用代数式表示这个长方形的面积;
(3)某产品前年的产量是n件,去年的产量比前年产量的2倍少10件,用代数式表示去年的产量;
(4)一个长方体水池底面的长和宽都是ɑm,高是hm,池内水的体积占水池容积的三分之一,用代数式表示池内水的体积.
分析提问:想一想各小题中的数量关系是怎样的?试着填写下表:
解:(1)苹果的售价是0.9p元/kg;
(2)这个长方形的面积是0.9pm2;
(3)去年的产量是(2n-10)件;
(4)由长方体的体积=长×宽×高,得这个长方体水池的容积是ɑ·ɑ·hm3,即ɑ2hm3,故池内水的体积为13ɑ2hm3.
追问 (1)观察(1)(2)小题的结果,你有什么发现?它说明了什么问题?
所列代数式一样,0.9p既可以表示苹果的售价,也可以表示长方形的面积.它说明:
用字母表示数后,同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系.
(2)0.9p还可以表示什么?请你再举出一个例子.
某人走路的速度为0.9m/s,若他行走ps,则走了0.9pm.(答案不唯一)
【对应训练】
教材P71练习第1题.[教学提示]
(1)教师提问,学生自主作答,在经历上一环节的学习后,学生不难得出这些问题的答案,目的在于通过例题使学生掌握代数式的书写规范,能从实际问题中抽象出数学问题,写出简单的代数式,感受数学建模的过程.
(2)在用同一个代数式表示不同实际问题中的数量或数量关系时,尽可能让学生多举些实例.设计意图
使学生能透过代数式了解到其中所蕴含的运算,明确数学意义,并能发挥想象给代数式赋予实际意义.
活动三:随堂训练,课堂总结探究点3 代数式的意义
例2(教材P71例2)说出下列代数式的意义:
(1)2ɑ+3; (2)2(ɑ+3); (3)cɑb; (4)x2+2x+8.
解:(1)2ɑ+3的意义是ɑ的2倍与3的和;
(2)2(ɑ+3)的意义是ɑ与3的和的2倍;
(3)cɑb的意义是c除以ɑ,b的积的商;
(4)x2+2x+8的意义是x的平方,x的2倍,与8的和.
问题 举例说明2ɑ+3,2(ɑ+3)所表示的实际问题中的数量关系.
在相同情境下:李明买了一些水果,其中橘子有ɑ个,李子的数量比橘子的2倍还多3,则李子买了(2ɑ+3)个;若再多买3个橘子,买到橙子的数量就刚好是橘子数量的2倍,则橙子买了2(ɑ+3)个.
在不同情境下:李明买了一些橘子和李子,其中橘子有ɑ个,李子的数量比橘子的2倍还多3,则李子买了(2ɑ+3)个;小宝今年3岁,爸爸今年ɑ岁,爷爷的年龄是小宝和爸爸的年龄和的2倍,则爷爷今年的年龄是2(ɑ+3)岁.(答案不唯一)
【对应训练】
教材P71练习第2,3题.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:
1.什么是代数式?你能用代数式表示简单实际问题中的数量或数量关系吗?
2.同一个代数式在不同实际问题中表示的数量或数量关系相同吗?举例说明.
3.你能说出某个代数式的数学意义吗?能赋予它实际意义吗?
【作业布置】
1.教材P76习题3.1第2,6,7,8题.
[教学提示]
教师引导学生自主探究,可选取学生代表回答代数式的数学意义,重点在于对代数式用运算符号连接的各部分进行“拆解”,从而明确采用的是何种运算,比如分数线所代表的除法意义等.在探究代数式的实际意义时,注意若两个式子在同一个情境下,则相同字母必须代表同一个量.
【教学后记】
第2课时： 列代数式表示数量关系
【素养目标】
1.能分析具体问题中的简单数量关系,并用代数式表示.
2.初步培养学生的观察､分析能力,发展学生的抽象能力与符号意识,感受数学与实际生活的密切联系.
【教学重点】列代数式.
【教学难点】根据稍复杂实际问题中的数量关系列代数式.
【教学过程】
活动一:创设情境,新课导入
[设计意图]
设计真实情境让学生回答,既能回顾上节课所学,也为更深入地探讨列代数式做铺垫.
【情境引入】
在解决一些数学问题与实际问题时,往往需要先把问题中的数量关系用含有数､字母和运算符号的式子表示出来,也就是要列代数式.
回忆上节课所学内容,解答下面的问题:
如图,在国庆阅兵式上,有女民兵和三军女兵两种特殊方队.
(1)若女民兵方队有ɑ人,三军女兵方队有b人,则两种方队共有(ɑ+b)人;
(2)若三军女兵方队的平均年龄为m岁,比女民兵方队的平均年龄大n岁,则女民兵方队的平均年龄为(m-n)岁;
(3)若三军女兵方队共有m排,且每排有25人,则三军女兵方队的人数为25m;
(4)女民兵方队用ts走了sm,则她们的平均速度可以表示为 st m/s.
这就是列代数式,这节课我们将更深入地对这方面进行探究,让我们准备好一起进入今天的探索之旅吧![教学提示]
通过阅兵式的情境再现,激励学生的斗志,激发学生的学习热情.问题并不难,可让学生口答,答案的4个式子包含有+,-,×,÷这四种运算,学生口答过程中,教师顺势板书好答案,为下一步学生观察､理解和更深入地探究列代数式埋下伏笔.
活动二:自主思考,探究新知设计意图
探究列代数式表示数学运算,以及用代数式表示运算律或公式等. 探究点1 列代数式表示数学运算中的数量关系
思考 我们在上一节课曾探讨过代数式的意义,如2ɑ+3的意义是ɑ的2倍与3的和.反过来,如果已知某种数学运算,如ɑ,b两数的和与差的积,那么该如何用代数式表示呢?
可以按下面的步骤列代数式:
所以ɑ,b两数的和与差的积为(ɑ+b)(ɑ-b).
例1 用代数式表示:
(1)比m的3倍小3的数;
(2)m的平方的3倍与5的和;
(3)m的倒数与n的积.
解:(1)3m-3;(2)3m2+5;(3)nm.
【对应训练】
教材P73练习第1题.[教学提示]
这一环节教学时教师以引导为主,不要直接明晰结论,应先鼓励学生尽可能回忆以前学过的运算法则､运算律及计算公式等,用代数式表示出来,并让学生说明其中每个字母代表的含义.注意跟学生强调:一个代数式中可能会有多个字母,它们代表的量各不相同.
[设计意图]
通过例题使学生明确如何将实际背景中的数量关系转化成数学语言进行描述,再进一步列出代数式. 探究点2 列代数式表示实际情境中的数量关系
例2 ((教材P72例3)用代数式表示:
(1)购买2个单价为ɑ元的面包和3瓶单价为b元的饮料所需的钱数.
(2)把ɑ元钱存入银行,存期3年,年利率为2.75%,到期时的利息是多少元?
(3)某商品的进价为x元,先按进价的1.1倍标价,后又降价80元出售,现在的售价是多少元?
分析提问:想一想各小题中的数量关系是怎样的?试着填写下表:
解:(1)购买2个单价为ɑ元的面包和3瓶单价为b元的饮料所需的钱数为(2ɑ+3b)元.
(2)根据题意,得ɑ×2.75%×3=8.25%ɑ,因此到期时的利息为8.25%ɑ元.
(3)现在的售价为(1.1x-80)元.
从上面的例子可以看出,用字母表示数,字母可以和数一样参与运算,从而可以用代数式把数量或数量关系简明地表示出来,更具有一般性.
【对应训练】
教材P73练习第2,3,4题.[教学提示]
这一环节教学可采用板演,学生自己充当小教师检查学生理解､掌握情况,仿照例题学会分析数量关系,并规范作答.最后注意强调:1.同一个字母,在不同的问题背景中可以表示不同的量,如(1)(2)中的字母ɑ;2.某些代数式中有些部分可以适当化简,如(3)中2.75%与3相乘得到8.25%.
活动三:强化训练,巩固提升
[设计意图]
设计稍复杂的实际问题中的行程问题,以考查学生列代数式的能力,既强化了学生的应用能力,提高了学生对知识的掌握程度,也为后面学习方程､不等式等相关实际问题背景进行熟悉和预热.
活动四:随堂训练,课堂总结探究点3 代数式的意义
例3 (教材P72例4)甲､乙两地之间公路全长240km,汽车从甲地开往乙地,行驶速度为vkm/h.
(1)汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时?
(2)如果汽车的行驶速度增加3km/h,那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时?汽车加快速度后可以早到多少小时?
分析提问:(1)本题包含了几个量?它们之间有什么关系?
本题包含路程､速度和时间三个量.它们之间具有关系:时间=路程速度.
(2)早到的时间与原来需要行驶的时间和加快速度后需要行驶的时间有什么联系?
早到的时间=原来需要行驶的时间-加快速度后需要行驶的时间.
解:(1)汽车从甲地到乙地需要行驶240vh.
(2)如果汽车的行驶速度增加3km/h,那么汽车从甲地到乙地需要行驶240v+3h.汽车加快速度后可以早到(240v-240v)h.
【对应训练】
张华同学报名参加了某市越野赛10km体验组的比赛,计划以xkm/h的平均速度跑完全程,为了取得更好的成绩,实际比赛时他以计划平均速度的1.2倍跑完了全程.
(1)用代数式表示张华同学实际跑完全程所用的时间:101.2x h;
(2)王老师也报名参加了此次越野赛10km体验组的比赛,他计划一半路程以ɑkm/h的平均速度前进,而另一半路程以bkm/h(ɑ≠b)的平均速度前进,用代数式表示王老师跑完全程所用的时间.
解:一半路程以ɑkm/h的平均速度前进,用时5ɑh,另一半路程以bkm/h的平均速度前进,用时5bh,故王老师跑完全程所用的时间为(5ɑ+5b)h.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:
你能分析实际问题中的数量关系,并列出代数式吗?
【作业布置】
1.教材P75习题3.1第1,3,10,11题.
[教学提示]
例题和练习题都属于行程问题,解决这类问题必须掌握行程问题的公式,即时间､路程､速度之间的关系.需要注意跟学生强调,列出的代数式如果形式比较复杂,出现不止一个运算符号,只要不出现关系符号(如“=”“<”),无论用多少个运算符号连接都属于代数式的范畴;同时在相同的问题背景下,相同的字母表示相同的量,不同的量是用不同的字母来表示的.
【教学后记】
第3课时 反比例关系
【素养目标】
1.探索简单实例中的数量关系和变化规律,结合具体情境体会反比例关系.
2.初步了解反比例关系的表现形式,并能在实际问题中识别反比例关系,发展学生的抽象能力和应用意识.【教学重点】反比例关系的概念及识别.
【教学难点】在实际问题中识别反比例关系.
【教学过程】
活动一:悬疑激趣,新课导入
[设计意图]
类比正比例关系,对实例进行演变,引发学生思考,为引入反比例关系的概念做铺垫.
【类比引入】
1.回忆:小学我们已经学过的成正比例的量的概念是什么?
如果两个变化的量的比值保持不变,或用符号表示为yx=k(k是一个确定的值,且k≠0),这时称这两个量y和x为成正比例的量.
2.复习:第1课时活动二中的问题1:
3.猜想
我们不难回答上面“猜想”中的特点,但该怎样进一步表述这两个量之间的关系呢?让我们赶快进入新的学习吧!
[教学提示]
进入本节课之前先引导学生回顾正比例关系,再通过对问题进行演变使学生对反比例关系有一个初步感知,重点在于类比正比例关系使学生发现新问题中量和量之间存在共性(乘积为定值).
活动二:交流合作,探究新知设计意图
通过实例引入反比例关系的概念,并与正比例关系进行比较,帮助学生更深刻地理解.探究点 反比例关系
问题 (教材P73问题)北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市.在冬季奥运会前,某赛场计划造雪260000m3.解答下列问题:
(1)根据每天造雪量,计算所需的造雪天数,填写下表.
(2)每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的?它们之间有什么关系?
(续表)
概念引入:
像这样,两个相关联的量,一个量变化,另一个量也随着变化,且这两个量的乘积一定,这两个量就叫作成反比例的量,它们之间的关系叫作反比例关系.
如果用字母x和y表示两个相关联的量,用k表示它们的积(k是一个确定的值,且k≠0),反比例关系可以用xy=k来表示.
想一想:正比例关系与反比例关系有什么区别和联系?
思考 生活中,成反比例关系的例子是很常见的.例如,在购买某种商品时,总价一定,购物的数量与商品的单价成反比例关系.你还能举出一些例子吗?
①泳池里水的体积一定,将水放完,排水的速度与所用时间成反比例关系;②路程一定,行驶速度与行完全程所需时间成反比例关系等.
【对应训练】
教材P75练习第1,2题.[教学提示]
这部分教学应采用启发式教学的方法,教师抛出问题,鼓励学生小组合作,共同探讨､交流,引导学生通过观察和对问题的探究,说出工作时间与工作效率的乘积为定值,再一次印证学生在活动一中已经得出的结论.教师提醒学生特别注意比例系数k在当前学情下虽不做过多探讨,但k≠0仍需明确知晓,必要时可适当解释不为0的原因.
[教学提示]
将反比例关系与正比例关系进行对比,分析它们的异同点,这点是很有必要的,学生能借助正比例关系的探究方法进行参照学习,有助于学生更好地理解反比例关系的实质.以后这样的类比学习会经常出现,学生初学会比较困难,教师可直接讲述.而后面的“思考”是为了帮助学生更进一步巩固对反比例关系的认识.
活动三:实际应用,巩固新知
[设计意图]
设计实际问题引导学生解决,进一步强化学生对于反比例关系的理解,并培养学生的应用能力和一定的计算能力.
例 (教材P74例5)如图,四个圆柱形容器内部的底面积分别为10cm2,20cm2,30cm2,60cm2.分别往这四个容器中注入300cm3的水.
(1)四个容器中水的高度分别是多少厘米?
(2)分别用x(单位:cm2)和y(单位:cm)表示容器内部的底面积与水的高度,用式子表示y与x的关系,y与x成什么比例关系?
分析:题中涉及圆柱的体积､底面积及高三个量,它们之间具有关系:圆柱的体积=底面积×高,高=圆柱的体积底面积.
解:(1)四个容器中水的高度分别为30010=30(cm),30020=15(cm),30030=10(cm),30060=5(cm).
(2)xy=300.y与x成反比例关系.
【对应训练】
1.给一间教室铺地砖,每块地砖的面积(单位:cm2)与所需地砖的数量(单位:块)如下表所示.
(1)这间教室的地面面积是多少平方米?
(2)所需地砖的数量是怎样随着每块地砖的面积的变化而变化的?
(3)若用n表示所需地砖的数量,m表示每块地砖的面积,用式子表示n与m的关系.n与m成什么比例关系?
解:(1)这间教室的地面面积是300×1600=480000(cm2)=48m2.
(2)由表可知所需地砖的数量随着每块地砖的面积的增大而减小,但它们的乘积一定,都为480000.
(3)mn=480000.n与m成反比例关系.
2.教材P75练习第3题.[教学提示]
这里涉及的运算要让学生自主动手进行,一方面是加强理解,另一方面也是为后面学习代数式求值进行预演.可倡导按照自己所想的方法进行求值(不必硬套公式),学力稍强的学生可能已经运用代值求解的方法去解决问题了,应对这种思维超前､灵活运用的学生予以认可,对于其他学生也应当鼓励,营造积极的学习氛围,使学生在自主学习中获得成就感.
活动四:随堂训练,课堂总结
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:
什么是反比例关系?两个相关联的量何时满足反比例关系,你能举例说明吗?
【作业布置】
1.教材P76习题3.1第4,5,9题.
【教学后记】
3.2 代数式的值
第1课时：求代数式的值
【素养目标】
1.了解代数式的值的概念,会把具体数代入代数式进行计算.
2.感受代数式求值是一个转换过程或某种算法,锻炼学生的计算能力和解题能力.
【教学重点】求代数式的值.
【教学难点】较复杂的代数式求值,理解代数式的值与字母的取值间的对应关系.
【教学过程】
活动一:创设情境,新课导入
[设计意图]
设计实例引出代数求值的需求,为进入新课做铺垫.
【情境引入】
谁说数学学不好?这不,先前数学成绩很差的刘伟,经过不断努力,不但成绩直线上升,而且现在还能设计程序计算呢!如图就是刘伟设计的一个程序.当输入x的值为3时,你能求出输出的y的值吗?
y的值为-3.
像上面这样,我们在列出代数式的情况后,往往还需要求出所需的数值.怎么求呢?这就是本课时需要解决的问题.[教学提示]
学生独立完成说出答案,让其在按照程序探索求值的过程中感受代数式求值的必要性.
活动二:交流合作,探究新知
[设计意图]
通过实际问题引入代数式的值的概念,并通过例题引导学生学会求代数式的值,并归纳求代数式的值的步骤.探究点 求代数式的值
问题 为了开展体育活动,学校要购置一批排球,每班配5个,学校另外留20个.学校总共需要购置多少个排球?
记全校的班级数是n,则需要购置的排球总数是5n+20.
提问 (1)如果班级数是15,怎么根据上面求得的代数式得到具体结果呢?
如果班级数是15,用15代替字母n,那么需要购置的排球总数是5n+20=5×15+20=95.
(2)如果班级数是20呢?
同上,如果班级数是20,用20代替字母n,那么需要购置的排球总数是5n+20=5×20+20=120.
概念引入:
归纳总结:
求代数式的值的步骤:
(1)代入,即用具体数值代替代数式中的字母;
(2)计算,即按照代数式指明的运算顺序计算得出结果.
【对应训练】
教材P80练习第1,2题.[教学提示]
求代数式的值的注意事项:
(1)代数式中的运算符号和具体数字都不能改变,代入数值以后原来省略的乘号一定要还原,如例1;
(2)字母在代数式中所处的位置必须搞清楚;
(3)若字母取值是分数,做乘方运算时必须加上括号,若字母取值是负数也必须加上括号;
(4)代数式若有现实背景,也不可取不符合实际意义的值,如李明买了n个足球,这里的n就不能取正整数以外的值.
活动三:实际应用,巩固新知
[设计意图]
通过解决实际问题提高学生对代数式求值的掌握程度. 例3 科技改变生活.刘伟是一名摄影爱好者,他最近新入手了一台如图所示的无人机进行航拍,刘伟将这台无人机放在距离地面1.5m的台子上,以ɑm/s的速度匀速上升40s后进行拍照,然后以(b-2)m/s的速度匀速下降25s后进行第二次拍照.
(1)用代数式表示无人机两次拍照时距地面的高度;
(2)当ɑ=12,b=10时,求无人机第二次拍照时距地面的高度.
解:(1)第一次拍照时距地面的高度是(1.5+40ɑ)m,第二次拍照时距地面的高度是[(1.5+40ɑ)-25(b-2)]m.
(2)当ɑ=12,b=10时,(1.5+40ɑ)-25(b-2)=(1.5+40×12)-25×(10-2)=281.5.
因此,无人机第二次拍照时距地面的高度为281.5m.
【对应训练】
教材P80练习第3题.[教学提示]
教师鼓励学生独立完成,潜移默化地提高学生观察､分析､解决问题的能力,并在这一过程中将列代数式与求代数式的值融会贯通,提高应用能力,体验克服困难的过程,树立学习数学的信心.
活动四:随堂训练,课堂总结
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:
1.什么是代数式的值?你会把具体数代入某个代数式进行求值吗?
2.代数式求值时要注意运算符号和运算顺序,你能举例说明吗?
3.字母的取值和代数式的值之间有何联系?你能对特定问题下某个字母的值和对应代数式的值的实际意义进行解释吗?
【作业布置】
1.教材P82习题3.2第1,2,3,4,7,8题.
【教学后记】
第2课时：几何中的代数式求值
【素养目标】
1.能运用公式列出几何图形问题中的代数式,并把具体数代入求值.
2.掌握代数式在几何问题中的运用,发展学生的几何直观感知能力与计算能力.
【教学重点】几何中的代数式求值.
【教学难点】几何中的代数式求值.
【教学过程】
活动一:复习旧知,新课导入
[设计意图]
通过回忆小学时学过的几何问题中的一些公式,并说明将利用这些公式进行代数式求值的探究,从而衔接新课的学习.【问题引入】
这节课我们将继续代数式求值的探究,这次要探究的是利用几何公式进行代数式求值.[教学提示]
教师跟学生说明这节课是上节课的延续,在上节课已经涉及一些实际问题(如行程问题)中的公式,由此进行过渡,启发学生回忆小学时学过的几何问题中的一些公式,学生自然联想到类比行程问题公式,运用几何公式来进行代数式求值这一数学活动,从而将教学气氛调动起来.
活动二 交流合作,探究新知
[设计意图]
通过例题使学生学会运用公式进行几何中的代数式求值.探究点 几何中的代数式求值
我们刚刚在活动一中回忆了一些几何相关公式,在解决有关问题时,经常用这些公式进行计算.我们来看下面两个例题:
例1(教材P80例3)如图,某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成,其中直道的长为ɑ,半圆形弯道的直径为b.
(1)用代数式表示这条跑道的周长;
(2)当ɑ=67.3m,b=52.6m时,求这条跑道的周长(π取3.14,结果取整数).
引导提问:①跑道的周长是由哪些部分组成的?
跑道的周长是两段直道和两段弯道的长度组成的.
②如何求出两段弯道的长度和?
两段弯道的长度和即为圆的周长,由圆的周长公式即可求得结果.
解:(1)两段直道的长为2ɑ;两段弯道组成一个圆,它的直径为b,周长为πb.因此,这条跑道的周长为2ɑ+πb.
(2)当ɑ=67.3m,b=52.6m时,2ɑ+πb=2×67.3+3.14×52.6≈300(m).
因此,这条跑道的周长约为300m.
例2(教材P81例4)一个三角尺的形状和尺寸如图所示,用代数式表示这个三角尺的面积S.当ɑ=10cm,b=17.3cm,r=2cm时,求这个三角尺的面积(π取3.14).
引导提问:三角尺的面积可以根据哪两个规则图形的面积差得到?
三角尺的面积=三角形的面积-圆的面积.
【对应训练】
教材P81练习.[教学提示]
学生分组进行合作探讨,动手完成本部分的探究过程.本部分的重点在于学会分析方法,将几何图形拆解成学过的常见几何图形,再利用熟悉的公式列出代数式,最后代值求解.通过例题中的实际背景,能使学生感受到数学来源于生活,有助于帮助学生理解几何图形与代数式之间的联系,而不是只会生搬硬套公式.在教学过程中教师要及时给予学生反馈,注意引导和帮助.
活动三 强化应用,巩固新知
[设计意图]
通过稍复杂几何问题中的代数式求值强化学生对于新知的理解及应用能力.例3 如图是某居民小区的一块宽为2ɑ,长为b的长方形空地,为了美化环境,准备在这块长方形空地的四角处各修建一个半径为ɑ的四分之一圆形花坛,然后在花坛内种花,其余部分种草.
(1)请用代数式表示种草的面积;
(2)当ɑ=10m,b=35m时,求种草的面积(π取3.14).
图示分析:
解:(1)由题意得种草的面积(单位:m2)为2ɑ·b-π×ɑ2=2ɑb-πɑ2.
(2)当ɑ=10m,b=35m时,
2ɑb-πɑ2=2×10×35-3.14×102=386(m2).
因此,种草的面积为386m2.
【对应训练】
如图,一块正方形纸板剪去四个相同的三角形后留下了阴影部分的图形.已知正方形的边长为ɑ,三角形的高为h.
(1)用代数式表示阴影部分的面积;
(2)当|ɑ-4|和|h-1|的值互为相反数时,求阴影部分的面积.
[教学提示]
用代数式计算不规则图形的面积,应先将待求图形的面积表示为规则图形面积的和(差),再将所给的字母的值代入,即可求出具体的面积.如例3中4个半径为ɑm的1/4圆,拼在一起恰好是一个整圆,于是用长方形的面积减去整圆的面积即为所求的面积.
这部分的教学依然采用小组讨论,教师指正的方法进行,建议仿照活动二中的解题方法,先思考如何将图形分解,再列式,这样条理会更加清晰.
活动四 随堂训练,课堂总结
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题:
你熟悉与几何相关的公式吗?能解答几何中的代数式求值问题吗?
【作业布置】
1.教材P82习题3.2第5,6题.
【教学后记】
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