专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）(典型题型归类训练)-2025年高考数学二轮复习解答题解题技巧（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”中的问题根据实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）
(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc15854" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc15854 \h 1
\l "_Tc2100" 二、典型题型 PAGEREF _Tc2100 \h 1
\l "_Tc16340" 题型一：倒序相加法 PAGEREF _Tc16340 \h 1
\l "_Tc16969" 题型二：通项为型求和 PAGEREF _Tc16969 \h 3
\l "_Tc14555" 题型三：通项为型求和 PAGEREF _Tc14555 \h 5
\l "_Tc11656" 三、专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练 PAGEREF _Tc11656 \h 7
一、必备秘籍
1、倒序相加法，即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和.
2、分组求和法
2.1如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
2.2如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法.
二、典型题型
题型一：倒序相加法
1．（2023高一·全国·竞赛）已知，其中是上的奇函数，则数列的通项公式为（ ）．
A．B．C．D．
2．（2013高一·全国·竞赛）函数，则的值为（ ）．
A．2012B．C．2013D．
3．（2024高三·全国·专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律而生成．此方法也称为高斯算法．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是 ．
4．（23-24高三下·浙江·开学考试）已知函数满足为的导函数，.若，则数列的前2023项和为 .
5．（23-24高二下·全国·课前预习）已知函数.
(1)求证为定值；
(2)若数列的通项公式为（为正整数，，，，），求数列的前项和；
题型二：通项为型求和
1．（23-24高二下·安徽六安·阶段练习）已知数列是正项等比数列，其前n项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)求的前n项和为，并求满足的最小整数n．
2．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知数列的前n项和为，对于任意的，都有点在直线上．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项中的最大值为，最小值为，令，求数列的前20项和．
3．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）给定数列，称为的差数列（或一阶差数列），称数列的差数列为的二阶差数列，若.
(1)设的二阶差数列为，求的通项公式.
(2)在（1）的条件下，设，求的前n项和为
4．（2024·河北唐山·一模）已知数列是正项等比数列，其前n项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)记的前n项和为，求满足的最大整数n．
5．（23-24高二下·河南平顶山·阶段练习）已知数列是等比数列，数列是等差数列，且，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，数列的前n项和为，求满足的最小的正整数n的值．
6．（23-24高二下·山东·阶段练习）已知数列为等差数列，且．
(1)求；
(2)若，数列的前项和为，证明：．
题型三：通项为型求和
1．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）已知正项数列中，，点在抛物线，数列中，点在经过点，斜率的直线l上.
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，若表示的前n项和，求；
(3)若，问是否存在，使得成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知为等差数列的前项和，．
(1)求的通项公式;
(2)若数列满足，求的前2n项和．
3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知正项数列前n项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
4．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知数列满足.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知数列是各项均为正数的等差数列，为其前项和，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列数列的前项和为，求．
6．（2024·全国·模拟预测）数列满足，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
三、专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练
1．（2024高三·全国·专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．因此，此方法也称为高斯算法．现有函数，则的值为 .
2．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足（），则 ．
3．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知函数满足，数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
4．（2024高三·全国·专题练习）设函数，设，．
(1)计算的值．
(2)求数列的通项公式．
5．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知函数满足，若数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，（），数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.
6．（23-24高二·全国·课后作业）已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)令，求数列的前2020项和.
7．（2024·贵州毕节·一模）已知数列满足.
(1)设，证明：是等比数列；
(2)求数列的前项和.
8．（2024·广西贺州·一模）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
设是递增的等比数列，其前n项和为，且，__________．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
（注：若选择多个解答，按第一个解答计分）
9．（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求.
10．（2024高二下·全国·专题练习）已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列，求数列的前项和．
11．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知数列，______.在①数列的前n项和为，；②数列的前n项之积为，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选______”）
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.
12．（2024·福建莆田·二模）已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
13．（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知递增的等比数列满足，且成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设求数列的前项和.
14．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，且成等比数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前30项的和.
15．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列的前项和为，满足，数列满足，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)，求数列的前项和；