高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题05数列求和(倒序相加法、分组求和法)(典型题型归类训练)(学生版+解析)

这是一份高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题05数列求和(倒序相加法、分组求和法)(典型题型归类训练)(学生版+解析)，共30页。

\l "_Tc5546" 二、典型题型 PAGEREF _Tc5546 \h 2
\l "_Tc17264" 题型一：倒序相加法 PAGEREF _Tc17264 \h 2
\l "_Tc30538" 题型二：通项为型求和 PAGEREF _Tc30538 \h 3
\l "_Tc20203" 题型三：通项为型求和 PAGEREF _Tc20203 \h 5
\l "_Tc11883" 三、专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练 PAGEREF _Tc11883 \h 7
一、必备秘籍
1、倒序相加法，即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和.
2、分组求和法
2.1如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
2.2如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法.
二、典型题型
题型一：倒序相加法
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求证：函数的图象关于点对称；
(2)求的值．
例题2．（2023秋·江苏·高二专题练习）设函数，设，．
(1)计算的值．
(2)求数列的通项公式．
例题3．（2023·全国·高二专题练习）设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为．
(1)求证：点的纵坐标为定值；
(2)若且求；
例题4．（2023秋·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期末）已知函数满足，若数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
例题5．（2023·全国·高二专题练习）已知为等比数列，且，若，求的值．
题型二：通项为型求和
例题1．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，等比数列的各项均为正数，且满足，，.
(1)求数列与的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和.
例题2．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考阶段练习）已知各项均为正数的等差数列的首项，，，成等比数列；
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
例题3．（2023春·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）已知等比数列中，，
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
例题4．（2023秋·江苏无锡·高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）已知等差数列，为其前n项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
例题5．（2023秋·山东济南·高三统考开学考试）等差数列满足，，正项等比数列满足，是和的等比中项．
(1)求和的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
题型三：通项为型求和
例题1．（2023·海南·统考模拟预测）在①成等比数列，且；②，数列是公差为1的等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知各项均是正数的数列的前项和为，且__________．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
例题2．（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）设数列的前项和为，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前的项和．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足 求数列的前n项和．
例题4．（2023·河南郑州·模拟预测）已知数列满足：，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
例题5．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的前n项和，且，数列为单调递增的等比数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求.
三、专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练
一、单选题
1．（2023秋·山东潍坊·高三山东省安丘市第一中学校考阶段练习）已知函数，数列为等比数列，，且，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，则（ ）
A．B．2017C．4034D．8068
2．（2023秋·江苏·高二专题练习）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（ ）
A．2022B．4044C．2023D．4046
二、填空题
3．（2023·全国·高三专题练习）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则 .
4．（2023·全国·高三专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．因此，此方法也称为高斯算法．现有函数，则的值为 .
三、解答题
5．（2023春·江西萍乡·高二统考期末）已知函数关于点对称，其中为实数.
(1)求实数的值；
(2)若数列的通项满足，其前项和为，求.
6．（2023秋·广东广州·高三广州市真光中学校考阶段练习）已知数列为非零数列，且满足
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
7．（2023春·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知等差数列，其前项和为.满足，且6是和的等比中项.
(1)求的通项公式；
(2)设的前项和为，求.
8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)定义，记，求数列的前20项和．
9．（2023秋·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考开学考试）各项都为正数的数列的前n项和为，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
13．（2023春·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考阶段练习）已知数列的各项均为正数，前项和为， ．
(1)求数列的通项公式；
(2)设 ，求数列的前项和．
专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc8563" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc8563 \h 1
\l "_Tc5546" 二、典型题型 PAGEREF _Tc5546 \h 1
\l "_Tc17264" 题型一：倒序相加法 PAGEREF _Tc17264 \h 1
\l "_Tc30538" 题型二：通项为型求和 PAGEREF _Tc30538 \h 4
\l "_Tc20203" 题型三：通项为型求和 PAGEREF _Tc20203 \h 7
\l "_Tc11883" 三、专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练 PAGEREF _Tc11883 \h 12
一、必备秘籍
1、倒序相加法，即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和.
2、分组求和法
2.1如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
2.2如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法.
二、典型题型
题型一：倒序相加法
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)求证：函数的图象关于点对称；
(2)求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，所以，
所以，即函数的图象关于点对称.
（2）由（1）知与首尾两端等距离的两项的和相等，使用倒序相加求和.
因为，
所以（倒序），
又由（1）得，
所以，所以.
例题2．（2023秋·江苏·高二专题练习）设函数，设，．
(1)计算的值．
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)2
(2)
【详解】（1）；
（2）由题知，当时，，
又，两式相加得
，
所以，
又不符合，
所以.
例题3．（2023·全国·高二专题练习）设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为．
(1)求证：点的纵坐标为定值；
(2)若且求；
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）证明：设，因为，故可得，
由知，故，
故.
故点的纵坐标为定值.
（2）由（1）知
，
两式相加得：
，
故.
例题4．（2023秋·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期末）已知函数满足，若数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)，；
【详解】（1）因为,
由①,
则②,
所以可得：，
故，.
例题5．（2023·全国·高二专题练习）已知为等比数列，且，若，求的值．
【答案】2021
【详解】因为为等比数列，，所以，
因为，所以，
同理可得，
所以
题型二：通项为型求和
例题1．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，等比数列的各项均为正数，且满足，，.
(1)求数列与的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）记等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
则由题可得，，
解得，
又等比数列的各项均为正数，所以，所以，
所以，.
（2）由（1）可得，，
所以
例题2．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考阶段练习）已知各项均为正数的等差数列的首项，，，成等比数列；
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，
又因为，，成等比数列，
所以，即，
整理得：，
又因为，
解得或(舍)
则有，
所以数列的通项公式为；
（2）解：因为，
所以，
所以
.
所以.
例题3．（2023春·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）已知等比数列中，，
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设公比是，则，，因此，
所以；
（2）由（1），
．
例题4．（2023秋·江苏无锡·高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）已知等差数列，为其前n项和，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，解得，
所以.
（2），
数列是首项为，公比为的等比数列，
所以数列的前n项和为.
例题5．（2023秋·山东济南·高三统考开学考试）等差数列满足，，正项等比数列满足，是和的等比中项．
(1)求和的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
【答案】(1)，；
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由题意可得：，
解得，，
所以，；
又且，，
所以，
所以．
（2）因为，
所以
.
题型三：通项为型求和
例题1．（2023·海南·统考模拟预测）在①成等比数列，且；②，数列是公差为1的等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知各项均是正数的数列的前项和为，且__________．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若选择条件①：
根据题意，由，得
当时，．
两式相减得，，
化简得或（舍），
所以当时，数列是公差为2的等差数列，
则．
又由，得，解得，
所以．
当时，，解得，满足上式，
故
若选择条件②：
由题设知，
则当时，．
，
由，得，
解得，
故当时，，
当时，也满足上式，
故．
（2），
当为偶数时，，
当为奇数时，，
故
例题2．（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）设数列的前项和为，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前的项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，得，两式相减得．
令数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
（2）由题意可得，
,
①，
则②，
①②得：,
∴,
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足 求数列的前n项和．
【答案】
【详解】当n为奇数时，
．
当n为偶数时，
．
综上所述，
例题4．（2023·河南郑州·模拟预测）已知数列满足：，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)且
【详解】（1），
当时
，检验知：当时上式也成立，
故．
（2）．
当为偶数时，；
当为奇数时，且，
又时满足上式，此时；
且.
例题5．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的前n项和，且，数列为单调递增的等比数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由可知，
则
化简可得：
，即，
数列是以2为公差的等差数列，
，
由可知，
，
又由为递增的等比数列，且，即，
解得，.
（2）依题意可知，
因此
,
当为偶数时，原式，
当为奇数时，原式，
综上，.
三、专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练
一、单选题
1．（2023秋·山东潍坊·高三山东省安丘市第一中学校考阶段练习）已知函数，数列为等比数列，，且，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，则（ ）
A．B．2017C．4034D．8068
【答案】C
【详解】用倒序相加法：令①
则也有②
由，
，即有，
可得：，
于是由①②两式相加得，所以．
故选：D
2．（2023秋·江苏·高二专题练习）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（ ）
A．2022B．4044C．2023D．4046
【答案】D
【详解】因为正数数列是公比不等于1的等比数列，且，
所以，
又∵函数，
∴，
令，则，
∴，
∴.
故选：D.
二、填空题
3．（2023·全国·高三专题练习）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则 .
【答案】4038
【详解】正数数列是公比不等于1的等比数列，，则，
由，当时，，
于是，令，
则
因此，
所以.
故答案为：4038
4．（2023·全国·高三专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．因此，此方法也称为高斯算法．现有函数，则的值为 .
【答案】1009
【详解】由函数，得，
令，
则，
两式相加得，解得，
所以所求值为1009.
故答案为：1009
三、解答题
5．（2023春·江西萍乡·高二统考期末）已知函数关于点对称，其中为实数.
(1)求实数的值；
(2)若数列的通项满足，其前项和为，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题知，即，
整理得，解得 ；
（2）由题知，，且，
则，
又，
故，
即.
6．（2023秋·广东广州·高三广州市真光中学校考阶段练习）已知数列为非零数列，且满足
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，解得，
当时，由，
得，
两式相除得：，即，当时，也满足，
所以．
（2）由（1）可知，，所以，
所以
，
.
7．（2023春·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知等差数列，其前项和为.满足，且6是和的等比中项.
(1)求的通项公式；
(2)设的前项和为，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，可得，
又因为6是和的等比中项，则，可得，
则，解得，
所以的通项公式为.
（2）由（1）可得：，
则
，
所以.
8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)定义，记，求数列的前20项和．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为，当时，，解得；
当时，，所以，即，
所以，即是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以，
，则．
（2）因为，即数列为递增数列，
，即数列单调递减．
，
，
所以当时，，当时，，
所以
所以
．
9．（2023秋·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考开学考试）各项都为正数的数列的前n项和为，已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，，数列满足，数列的前n项和为，当n为偶数时，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，即,解得或（负值舍去），
当时，，，
两式相减得：，因为，
所以，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列.
所以.
（2）因为，，
所以数列是以2为首项，2为公比的等差数列，所以，
当n为偶数时，
.
10．（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）已知在正项数列中，，当时，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足，为数列的前项和，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）解：由，
得，
的各项都为正数，，
故是首项为，公比为的等比数列，
.
（2）证明：由，
，
，
因为，所以，
所以，
所以.
11．（2023春·浙江·高三校联考阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且满足，数列满足：，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设数列的通项，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设数列的公比为q，
因为，即，得，解得或，
当时，，不合题意，舍去，所以，
由，解得，所以，
对于，因为①，
当时，，则，
当时，②，
由①－②得，即，
又，也适合上式，故，，
采用累乘法求通项得，
所以．
（2）由（1）可得：，则，
则数列的前n项和，
①当为偶数，时，
采用分组求和：
，
，
所以；
②当为奇数，且时，为偶数，由（1）中结论得，
此时，
当时，，也适合上式，
所以.
综上所述，．
12．（2023·全国·高二专题练习）已知数列中，且点在函数的图像上．
(1)求数列的通项公式；
在中令解得
所以
（2）
令数列的前项和为
当为偶数时，

当为奇数时，为偶数，
即
所以