专题03 数列求通项（构造法、倒数法）(典型题型归类训练)-2025年高考数学二轮复习解答题解题技巧（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”中的问题根据实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题03 数列求通项（构造法、倒数法）(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc25464" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc25464 \h 1
\l "_Tc218" 二、典型题型 PAGEREF _Tc218 \h 2
\l "_Tc2744" 题型一：构造法 PAGEREF _Tc2744 \h 2
\l "_Tc28991" 题型二：倒数法 PAGEREF _Tc28991 \h 4
\l "_Tc29364" 三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练 PAGEREF _Tc29364 \h 7
一、必备秘籍
1.构造法
类型1： 用“待定系数法”构造等比数列
形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.
标准模型：（为常数，）或（为常数，）
类型2：用“同除法”构造等差数列
（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.
（2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式.
（3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.
2.倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.
类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.）
二、典型题型
题型一：构造法
1．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
【答案】(1)；
【分析】（1）构造等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求得结果；
【详解】（1）因为，所以又，
所以，
所以是以9为首项，3为公比的等比数列，
所以，所以.
2．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】
（1）变形得到是以2为首项，2为公比的等比数列，得到通项公式；
【详解】（1）由两边同时除以，可得，
所以，
故数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，即.
3．（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)；
【分析】（1）由已知条件构造等比数列，根据等比数列的通项公式，即可求得结果；
【详解】（1）由已知，所以，又，
所以数列是首项为，公比的等比数列，
所以，即 .
4．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知是公差不为0的等差数列，，且成等比数列，数列，数列的前项和.
(1)求
【答案】(1)
【分析】（1）由题意列方程，求出数列的首项和公差，求出，可得，变形后构造等比数列，即可求得答案；
【详解】（1）因为成等比数列，所以，
设等差数列的公差为，，所以，
解得，
，
，
对上式两边同时除以得:，即
，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，
故，即；
5．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据题意等比数列的定义和通项公式运算求解；
【详解】（1）由，即，
可得，且，故，
可知是首项为2，公比为的等比数列，
则，即，
所以数列的通项公式为.
题型二：倒数法
1．（2023高三·全国·专题练习）已知数列满足：求通项.
【答案】
【分析】取倒数后得到是等差数列，求出，得到通项公式.
【详解】取倒数：，故是等差数列，首项为，公差为2，
，
∴.
2．（2023高二·全国·专题练习）已知数列满足，，.若，求数列的通项公式.
【答案】
【分析】将代入已知可得，进而推得，即可得出数列是等差数列，写出通项即可得出答案.
【详解】将代入已知可得.
因为，所以，
所以有，所以.
又，
所以，数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，，
所以，.
3．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知数列有递推关系
(1)记若数列的递推式形如且，也即分子中不再含有常数项，求实数的值；
(2)求的通项公式.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据题意整理可得，即，运算求解即可；
（2）取，可得，利用构造法结合等比数列求通项公式.
【详解】（1）因为，且，
所以，
则，解得或；
（2）由（1）可得：当时，则，且，
可得，
则，且，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴，则，
故.
4．（23-24高三上·山西·阶段练习）已知数列中，，
（1）证明：数列是等比数列
【答案】（1）证明见解析 ；
【解析】（1）由可得，然后可得答案；
【详解】（1）证明：由，知
又，∴是以为首项，3为公比的等比数列
5．（2024高三·全国·专题练习）在数列中，．求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
【答案】证明见解析；
【分析】根据等差数列的定义证明，然后利用等差数列的通项公式求解．
【详解】
，
且所以，数列是等差数列，且首项为1，公差为1，
．
三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练
1．（23-24高二上·重庆·期末）已知数列满足，则数列的前8项和 ．
【答案】502
【分析】根据取倒数构造等比数列，结合等比数列求和公式即可得到答案.
【详解】由，取倒数得，
所以，
因为，所以，所以，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，则，
所以数列的前8项和.
故答案为：502
2．（23-24高二下·全国·单元测试）已知数列满足，，，则 .
【答案】
【分析】将变形可得数列为等差数列，再借助等差数列求解即得.
【详解】数列中，，，显然，取倒数得，
即，则数列是首项为1，公差为4的等差数列，
因此，所以.
故答案为：.
3．（23-24高二上·全国·单元测试）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【详解】
在等式两边取到数，推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式.
【分析】因为数列满足，且，则，
，，
以此类推可知，对任意的，，
在等式两边取倒数可得，则，
所以数列是首项为，公差为的等差数列.
所以，，所以，.
故答案为：.
4．（23-24高二下·河南·期中）数列中，若，，则 ．
【答案】19
【分析】取倒数可得，即可得数列的通项公式，计算即可得.
【详解】∵，则，
∴，∴故数列为等差数列，公差等于2，
又，故，
∴.
故答案为：19．
5．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项即得.
【详解】数列中，，，显然，
则有，即，而，
因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，即．
故答案为：
6．（23-24高二上·湖北黄石·阶段练习）已知数列满足，则的通项公式为 .
【答案】
【分析】对取倒数，然后结合等比数列求和公式利用累加法求解即可.
【详解】对两边取倒数得，即，
当时，，，，，，
将以上各式累加得，又，
所以，所以，当时，也满足，所以.
故答案为：
7．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，求数列的通项公式.
【答案】
【分析】根据题意先证数列为等比数列，再结合等比数列的通项公式分析求解.
【详解】因为，且，可知，
则，可得，
且，
可知数列是首项为2，公比为4的等比数列，
可得，所以.
8．（23-24高二上·河北张家口·期末）已知满足.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)已知数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）将递推式变形为，然后令，利用待定系数法求出，进而可得，根据数列通项公式可得结论；
（2）利用错位相减法求出，然后观察可得结论.
【详解】（1），两边同时乘以得，
令，
，变形得，
又，
，
，
，明显有，
数列为等比数列；
（2）由（1）得，
则，
所以，
两式相减得：
，
，明显，
.
9．（23-24高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）设数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）推导出数列为等比数列，确定该数列的公比和第二项的值，即可求得数列的通项公式；
【详解】（1）解：因为数列满足，，则，
且，所以，数列是等比数列，且该数列的第二项为，公比为，
所以，，则.
10．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由得，得数列以为首项以3为公比的等比数列，由等比数列求通项即可.
【详解】（1）当时，，得，
当时，
，
所以，变形得，即，
数列以为首项以3为公比的等比数列，
所以，即
11．（2023·陕西安康·模拟预测）在数列中，已知．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由可得，由等比数列定义可得是首项为2，公比为2的等比数列，即可得的通项公式，即可得；
【详解】（1）因为，
所以，又，
所以是首项为2，公比为2的等比数列．
所以，即；
12．（23-24高二上·福建莆田·期末）设数列的前项和为，已知，且
(1)求数列的通项公式;
【答案】(1)
【分析】（1）计算，根据得到，变换，确定是首项为，公比为的等比数列，计算得到答案.
【详解】（1），则，故，
当时，，，
两式相减得到，即，则，
，故是首项为，公比为的等比数列，
，故，
时满足，故.