【专项复习】高考数学专题03 数列求通项（构造法、倒数法）（题型训练）.zip

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc12629" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc12629 \h 1
\l "_Tc15772" 二、典型题型 PAGEREF _Tc15772 \h 2
\l "_Tc20829" 题型一：构造法 PAGEREF _Tc20829 \h 2
\l "_Tc22156" 题型二：倒数法 PAGEREF _Tc22156 \h 5
\l "_Tc1818" 三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练 PAGEREF _Tc1818 \h 8
一、必备秘籍
1.构造法
类型1： 用“待定系数法”构造等比数列
形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.
标准模型：（为常数，）或（为常数，）
类型2：用“同除法”构造等差数列
（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.
（2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式.
（3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.
2.倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.
类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.）
二、典型题型
题型一：构造法
例题1．（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）已知正项数列中，，则数列的通项（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解法一：在递推公式的两边同时除以，得①，
令，则①式变为，即，
所以数列是等比数列，其首项为，公比为，
所以，即，
所以，
所以，
解法二：设，则，
与比较可得，
所以，
所以数列是首项为，公比为2的等比数列，
所以，所以，
故选：D
例题2．（多选）（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）已知数列的前n项和为，且满足，，则（ ）
A．B．C．数列为等差数列D．为等比数列
【答案】ABC
【详解】由得，两式相减得，
，
又当时，，则，故为首项是1，公差为的等差数列，
即.
显然A、C正确；
，故B正确；
由通项公式易得，，，三者不成等比数列，故D错误．
故选：ABC．
例题3．（2023春·山东淄博·高二校考期中）已知数列满足，，则数列的通项公式为
【答案】
【详解】由得，
故为等差数列，公差为1，首项为1，
所以
所以.
故答案为：
例题4．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，则数列的前项和为 ．
【答案】
【详解】解：因为，
所以，即，即，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以，则，
令数列的前项和为，
则
故答案为：
例题5．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，且，求.
【答案】
【详解】由，得，
所以数列是以首项为，公比为的等比数列.
所以，即.
当时，，此式也满足，
故.
例题6．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设数列的前n项和为，．
(1)求证数列为等比数列，并求数列的通项公式．
【答案】(1)证明见解析，
【详解】（1）因为，所以当时，，解得．
当时，，则，
整理得，故，，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以．所以
例题7．（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）记数列的前项和为，且.
(1)求证：数列是等比数列；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）由于，故，，
∴，
∴，，
∴，，
，可得，
所以数列是一个首项为1，公比为2的一个等比数列；
例题8．（2023春·江苏盐城·高二盐城市第一中学校联考期中）已知正项数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）数列中，，由，可得
又，则数列是首项为1公差为1的等差数列，则，
则数列的通项公式为
题型二：倒数法
例题1．（多选）（2023春·云南玉溪·高二统考期末）已知数列满足，则（ ）
A．为等比数列
B．的通项公式为
C．为单调递减数列
D．的前n项和
【答案】BCD
【详解】因为，所以是以1为首项，3为公差的等差数列，故选项A错误；
，即，故选项B正确；
根据函数在上单调递增，且，则函数在上单调递减，
又因为，，则数列为单调递减数列，故选项C正确；
的前项和，故选项D正确,
故选：BCD.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则 ．
【答案】
【详解】设，令得：，解得：；
，化简得，，
所以，从而，
故，
又，所以是首项和公差均为的等差数列，
从而，故．
故答案为：
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式．
【答案】
【详解】令．先求出数列的不动点，解得．
将不动点代入递推公式，得，
整理得，，
∴．
令，则，．
∴数列是以为首项，以1为公差的等差数列．
∴的通项公式为．
将代入，得．
∴．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，求的通项公式．
【答案】．
【详解】由题意，
，
所以，则，而，
故是以为首项，3为公比的等比数列．
于是．
例题5．（2023春·辽宁锦州·高二校考期中）已知数列的首项，，.
(1)设，求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为，，
所以，
取倒得，
所以，
因为，
所以，
所以是，的等比数列，
所以．
例题6．（2023·全国·高三专题练习）若，，.
(1)求证：；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）证明：假设，因，，则，解得或，
于是得或，与题设且矛盾，故假设不成立，所以成立.
7．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等比数列：
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）证明：由，可得，
又
故数列为等比数列.
三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练
一、单选题
1．（2023春·河南许昌·高二校考阶段练习）已知数列满足，则的通项公式（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由得，而，
故是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，即.
故选：D
二、填空题
2．（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知数列满足，，则满足的最小正整数 ．
【答案】5
【详解】由，解得，
又，所以．
另一方面由，可得，
所以是首项为，公比为3的等比数列，
所以，易知是递增数列，
又，，
所以满足的最小正整数．
故答案为：5．
3．（2023·全国·高三对口高考）数列中，，，则 ．
【答案】
【详解】由，，可得，
所以，即(定值)，
故数列以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以，所以．
故答案为：．
4．（2023春·江西南昌·高二南昌二中校考阶段练习）数列中，，，则此数列的通项公式 .
【答案】
【详解】因为，所以，又，
所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则.
故答案为：
5．（2023·全国·高二专题练习）数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为 .
【答案】．
【详解】∵，所以，即，
∴是等差数列，而，
所以，
所以．
故答案为：．
6．（2023·全国·高二专题练习）设为数列的前项和，已知，，则
【答案】
【详解】，
令，
则，
∴又，，
∴；
故答案为：；
三、解答题
7．（2023秋·江苏·高二专题练习）已知数列满足：求通项.
【答案】
【详解】取倒数：，故是等差数列，首项为，公差为2，
，
∴.
8．（2023秋·江苏·高二专题练习）已知：，时，，求的通项公式．
【答案】
【详解】设，所以，
∴ ，解得：，
又 ，∴ 是以3为首项， 为公比的等比数列，
∴ ，∴ ．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，.若，求数列的通项公式.
【答案】
【详解】将代入已知可得.
因为，所以，
所以有，所以.
又，
所以，数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，，
所以，.
10．（2023·全国·高二专题练习）已知数列中，，求数列的通项公式；
【答案】．
【详解】解：由，
得：，
∴，
即数列是首项为1，公差为2的等差数列，
∴，
得．
11．（2023秋·江苏·高二专题练习）设是数列的前n项和，且，．
(1)求；
【答案】(1)
【详解】（1）因为，，
所以，
两边同除以得，
因为，所以，
因此数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，所以.
12．（2023·浙江·模拟预测）已知数列的前项和为
(1)试求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由题意，两边同时除以，将其变形为，即，
由等差数列的定义可知是以首项为、公差为的等差数列，
所以，即.
13．（2023春·海南儋州·高二校考阶段练习）已知数列的首项，，.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为，所以，
所以，
所以数列是以为公比，为首项的等比数列，
所以，得，
所以，
14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列，，．
(1)求证：数列是等差数列．
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）∵，∴，
∵，∴，∴，
∴
，
∴是首项为，公差为的等差数列；
15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，.求数列的通项公式；
【答案】
【详解】由两边取倒数，得，所以，
又，所以是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，即，
所以.
16．（2023春·河南许昌·高二校考阶段练习）已知数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】（1）因为，令，则，又，所以.
对两边同时除以，得，
又因为，所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，故；
四、双空题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，若，，则 ；若，，则 .
【答案】 85
【详解】解：因为，当，时，所以，，；
当，时，则，又，所以，即
故答案为：；；