第三章 函数的概念与性质 章节验收测评卷（解析版）
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第三章 函数的概念与性质 章节验收测评卷（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）函数的定义域为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据分式分母不为、偶次根式被开方数大于等于求解出定义域.【详解】因为，所以且，所以定义域为，故选：C.2．（2024高一·江苏·专题练习）下列各组函数表示相同函数的是（ ）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】根据函数的定义域及对应法则判断是否为同一函数即可.【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故A错误；对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故B错误；对于C，函数与的定义域和对应法则都相同，所以表示相同的函数, 故C正确；对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故D错误.故选：C.3．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数在上的值域为，则在上的值域为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据奇函数的性质即可求解.【详解】函数在上的值域为，令，所以在上的取值范围为，又是奇函数，所以在上的值域为，所以在上的值域为．故选:B．4．（23-24高一上·广东广州·期中）下图给出个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是（ ） A．①，②，③，④B．①，②，③，④C．①，②，③，④D．①，②，④，④【答案】A【分析】根据函数的解析式判断图像性质，即可判断图像.【详解】幂函数的定义域为，且为奇函数，在上单调递增，对应图像①；幂函数的定义域为，且为偶函数，在上单调递增，对应图像②；幂函数的定义域为，为非奇非偶函数，在上单调递增，对应图像③；幂函数的定义域为，且为奇函数，在上单调递减，对应图像④；故选：A.5．（2024·陕西渭南·二模）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合一次、二次函数单调性求解即得.【详解】由是上的增函数，得，解得，所以实数a的取值范围是.故选：B6．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，判断函数值的正负情况，由结合函数的性质列出不等式组，可求得答案.【详解】因为定义域为的偶函数在内单调递减，且，所以在上单调递增，且，所以当时，，当时，，所以由可得或或或，所以得或或，所以满足的的取值范围是．故选：B．7．（23-24高三下·湖南湘潭·阶段练习）已知是定义域为的偶函数，当时，，若有且仅有3个零点，则关于的不等式的解集为（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先利用偶函数的对称性求得的值，进而得到，再解不等式得到，结合偶函数的性质即可得解.【详解】因为为偶函数，有且仅有3个零点，所以，即，解得，此时当时，，所以的零点为，满足题意，又当时，，，由，得，即，解得，又为偶函数，所以的解集为，故选：A.8．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（ ）A． B．C．函数是偶函数 D．函数是减函数【答案】C【分析】首先利用赋值法求得的值，再赋值，求得的解析式，即可判断C，再根据函数的解析式，赋值判断BD.【详解】对于A，令、，则有，又，故，即，令、，则有，即，由，可得，又，故，故A正确；对于C，令，则有，则，故函数是奇函数，故C错误；对于D，有，即，则函数是减函数，故D正确；对于B，由，令，有，故B正确.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）下列各函数中，最小值为2的是（ ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由基本不等式及二次函数的性质逐项判断即可得解.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，，当时取最小值2，故B正确.对于C，当时，，故C错误；对于D，设，则，当且仅当，即时等号成立，故D正确；故选：BD.10．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（ ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据①②得到为奇函数且在定义域上单调递减，从而对四个选项一一作出判断.【详解】由①得为奇函数，由②得在定义域上单调递减，对于A，满足要求，A正确；对于B，，故为偶函数，B错误；对于C，满足要求，C正确；对于D，，故不是奇函数，D错误.故选：AC11．（23-24高二下·浙江温州·期中）定义在上的函数，满足，且当时，，则使得在上恒成立的可以是（ ）A．1 B．2 C． D．【答案】ABC【分析】根据题意，一步步转化到时，，则，作函数的图象，结合图象可求出的最大值.【详解】由题意可知，如图所示当时，，即；当时，，故；当时，，故；令，解得或，所以或，所以的最大值为.即.故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则 .【答案】【分析】利用换元法，结合已知函数解析式，即可求得.【详解】令，则，于是有，所以.故答案为：13．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的值域为，则实数的值为 ．【答案】13【分析】令，则，结合二次函数的性质即可求解.【详解】由题意可得可得，令，则，，∴当时取得最大值，但由于，故当即时，，解得．故答案为：13．14．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数，，，．对，都，使得成立，则的范围是 ．【答案】【分析】对，都，使得成立，等价于恒成立，对的取值进行分类讨论，利用单调性求出和，列出关于的不等式组求得答案.【详解】函数，在上单调递增，所以，当时，在区间上单调递增，，所以，解得，又因为，所以，解得；当时，在区间上单调递增，其最小值为，所以有，解得，当时，在区间上单调减，在上单调增，其最小值为，所以有，解得，当时，在区间上单调减，，此时，无解；所以的取值范围是，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数的图象关于原点对称，且当时，(1)试求在上的解析式；(2)写出的单调递减区间（无需证明）.【答案】(1)(2)单调递增区间为和，单调递减区间为【分析】（1）根据奇函数的性质，结合条件即可求解的解析式，（2）由的图象即可求解单调区间．【详解】（1）的图象关于原点对称，是奇函数，．又的定义域为，，解得．设，则，当时，，，，所以；（2）由（1）可得的图象如下所示：由图象可知的单调递增区间为和，单调递减区间为；16．（2024·上海·三模）已知，函数是定义在上的奇函数，且.(1)求的解析式；(2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.【答案】(1)(2)在区间上为严格增函数，证明见解析【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，求出的值，结合函数的解析式求出的值，计算可得答案；（2）根据题意，根据单调性的定义，结合作差法证明可得答案．【详解】（1）根据题意，是定义在上的奇函数，则有，解得，又由，解得，所以，定义域为，且，所以；（2）在区间上为严格增函数．证明如下：设任意，则，由，得，即，，，所以，即，故在区间上为严格增函数．17．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知函数，不等式的解集是.(1)求函数的解析式；(2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据不等式的解集，可得对应方程的解，进而可得参数值及函数解析式；（2）方法一：分离参数，根据函数单调性可得最值及参数范围；方法二：结合二次函数的最值情况分情况讨论可得参数范围.【详解】（1）因为的解集是，则的两根是和，由根于系数关系可得，解得，所以；（2）方法一：关于的不等式在上有解，等价于，使得，则，，因为函数在上单调递减，所以当时，取到最大值，，所以，故的取值范围是；方法二：由题知，即关于的不等式在上有解，令，等价于在区间上的最小值，图象的对称轴是，根据二次函数图象对称轴和区间位置关系可知，①当，即时，此时的最小值，则，解得；②当，即时，的最小值，此时恒成立，所以得；③当，即时，，则由，解得；综上所述，的取值范围是.18．（23-24高一下·北京·开学考试）定义在上的函数满足对于任意实数，都有，且当时，，．(1)判断的奇偶性并证明；(2)判断的单调性，并求当时，的最大值及最小值；(3)在的条件下解关于的不等式．【答案】(1)奇函数，证明见解析(2)在上是减函数，，；(3)【分析】（1）令，求出，再令，由奇偶性的定义，即可判断；（2）任取，则．由已知得，再由奇函数的定义和已知即可判断单调性，由，得到，，再由单调性即可得到最值；（3）将原不等式转化为，再由单调性，即得，即，再求出解集即可.【详解】（1）令，得，． 再令，得．．且定义域为，关于原点对称，为奇函数．（2）任取，则．由已知得，则，∴，∴在上是减函数．由于，则，，．由在上是减函数，得到当时，的最大值为，最小值为；（3）不等式，即为.即，即有，由于在上是减函数，则，即为，即有，令，解得或（）当时，，此时解集为.19．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”．(1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由：(2)若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值；(3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围．【答案】(1)不是，理由见解析；(2)1；(3).【分析】（1）根据给定的定义，取，判断 在没有实数解，即可得解.（2）根据给定的定义，当时，用表示并判断单调性，求出值域，借助集合的包含关系求解即得.（3）根据给定的定义，函数在区间,上的值域包含函数在区间,上的值域，再结合二次函数的性质，分类讨论即可求解．【详解】（1）假定函数是区间上的“2阶自伴函数”，取，，由，得，显然此方程无实数解，所以函数不是区间上的“2阶自伴函数”.（2）函数为区间上的“1阶自伴函数”， 则对任意，总存在唯一的，使得，即，整理得，显然函数在上单调递减，且当时，，当时，，因此对内的每一个，在内有唯一值与之对应，而，于是，则有，解得，即，所以的值是1.（3）由函数在上单调递减，得函数的值域为，由函数是在区间上的“2阶伴随函数”，得对任意的，总存在唯一的时，使得成立，于是，则在区间上的值域必定包含区间，且的值域在对应的自变量是唯一的，而函数图象开口向上，对称轴为，显然，，①当时，在上单调递增，则，即，解得；②当时，在上单调递减，则，即，解得；③当时，在上单调递减，在上单调递增，则，即，解得；④当时，在上单调递减，在上单调递增，则，即，解得，所以a的取值范围是.【点睛】思路点睛：本题首先要理解“m阶自伴函数”或“m阶伴随函数”的意义，然后根据每一小问函数的类型设计出解决问题的思路，对于第三问，存在对称轴问题，需要仔细分类讨论，特别是当时，要考虑对称轴在区间时，二次函数的图像的形状，以此来建立不等式求出a的范围.
