2025年中考数学一轮复习题型分类练习专题08 一元二次方程及其应用【九大题型】（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc29485" 【题型1 一元二次方程的解法】 PAGEREF _Tc29485 \h 2
\l "_Tc5393" 【题型2 根据一元二次方程判断根的情况】 PAGEREF _Tc5393 \h 2
\l "_Tc16893" 【题型3 根据根的情况判断字母的取值或范围】 PAGEREF _Tc16893 \h 3
\l "_Tc30173" 【题型4 一元二次方程的应用之平均增长（下降）率问题】 PAGEREF _Tc30173 \h 4
\l "_Tc4870" 【题型5 一元二次方程的应用之几何图形的面积问题】 PAGEREF _Tc4870 \h 4
\l "_Tc5920" 【题型6 一元二次方程的应用之与涨价、降价有关的商品利润问题】 PAGEREF _Tc5920 \h 5
\l "_Tc9794" 【题型7 中考最热考法之以开放性试题的形式考查解一元二次方程】 PAGEREF _Tc9794 \h 6
\l "_Tc23551" 【题型8 中考最热考法之以开放性试题的形式考查一元二次方程根的判别式】 PAGEREF _Tc23551 \h 7
\l "_Tc12555" 【题型9 中考最热考法之以真实问题情境考查一元二次方程的实际应用】 PAGEREF _Tc12555 \h 7
【知识点 一元二次方程】
1.定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
2.一元二次方程的解法
(1)直接开方法。适用形式：x2=p.(x+n)2=p或(mx+n)2=p。
(2)配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：
①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；②移项——把常数项移项到等号的右边；③配方——两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式；④开方，即降次；⑤解一次方程。
(3)公式法。当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。
，
②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。
③b2-4ac＜0时，方程无实数根。
定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。
(4)因式分解法。主要用提公因式法.平方差公式.十字相乘法。
3.一元二次方程与实际问题
解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。
第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。
第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。
第6步：答。
【题型1 一元二次方程的解法】
【例1】（2023·黑龙江·统考中考真题）解方程：(2x+3)2=(3x+2)2
【变式1-1】（2023·青海·统考中考真题）解方程：xx-2=x-2．
【变式1-2】（2023·吉林·中考真题）解方程：x2-6x+9=(5-2x)2
【变式1-3】（2023·山东·中考真题）根据要求，解答下列问题．
（1）根据要求，解答下列问题．
①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________；
②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________；
③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________；
…… ……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________；
②关于x的方程________________________的解为x1＝1，x2＝n．
（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．
【题型2 根据一元二次方程判断根的情况】
【规律方法】判断一般形式为一元二次方程根的情况时，使用根的判别式“b2-4ac”判断，若方程形式为（mx+n）2=p,则可利用以下方法判断：
当p＞0，方程有两个不相等的实数根；
当p=0，方程有两个相等的实数根；
当p＜0，方程没有实数根.
【例2】（2023·河南·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【变式2-1】（2023·四川南充·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x-3m2+m=0
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
(2)若x1，x2是方程的两个实数根，且x2x1+x1x2=-52，求m的值．
【变式2-2】（2023·四川内江·统考中考真题）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b=b2-ab，例如3⊗2=22-3×2=-2，则关于x的方程(k-3) ⊗x=k-1的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
【变式2-3】（2023·四川广安·统考中考真题）已知a，b，c为常数，点P(a,c)在第四象限，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法判定
【题型3 根据根的情况判断字母的取值或范围】
【例3】（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程kx2-2k+4x+k-6=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k=1时，用配方法解方程．
【变式3-1】（2023·上海·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1=0没有实数根，那么a的取值范围是 ．
【变式3-2】（2023·甘肃兰州·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，则b2-21+2c=（ ）
A．－2B．2C．－4D．4
【变式3-3】（2023·辽宁锦州·统考中考真题）若关于x的一元二次方程kx2-2x+3=0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k0的方程的图解法是：如图1，以a2和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD=a2，则AD的长就是所求方程的正根．若关于x的一元二次方程x2+mx=16，按照图1，构造图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，连接CD，若S△BCDS△ACD=32，则m的值为（）
A．3B．4C．6D．8