2025年中考数学二轮培优重难点题型分类练习专题04 二次函数的恒成立问题压轴题专题（2份，原卷版+解析版）

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通用的解题思路：
第一步：先分析是求函数的最大值还是求函数的最小值：①如果恒成立，则求函数的最小值Min；②如果恒成立，则求函数的最大值Max。
第二步：再将所求的最大值或最小值代入不等式，得或者，再解不等式求出参数m的范围。
1.（2017•长沙中考）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接、、、，延长交轴于点．
（1）若为等腰直角三角形，求的值；
（2）若对任意，、两点总关于原点对称，求点的坐标（用含的式子表示）；
（3）当点运动到某一位置时，恰好使得，且点为线段的中点，此时对于该抛物线上任意一点，总有成立，求实数的最小值．
【解答】解：（1）令，则，，
，即，又，当为等腰直角三角形时，，
即，；
（2）由（1）可知点，对任意，、两点总关于原点对称，
必有，设直线的解析式为，将，代入，可得
，解得，直线的解析式为，点为直线与抛物线的交点，
解方程组，可得或（点舍去），即点的坐标为；
（3）当，时，，，
，又点为线段的中点，，又，
，，把代入抛物线，可得，解得，抛物线的解析式为，
即，点，为抛物线上任意一点，，
令，
则当时，，
若要使成立，则，，
实数的最小值为．
2．（开福区一模）如图，抛物线y＝mx2﹣4mx+3m（m＞0）与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点坐标为D．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）若△OAC∽△OCB，求m的值；
（3）若△ABD为正三角形，对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+﹣4成立，求实数n的最小值．
【解答】解：（1）把y＝0代入y＝mx2﹣4mx+3m得：mx2﹣4mx+3m＝0，∵m＞0，∴x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，∵点A在点B的左侧，∴A（1，0），B（3，0）；
（2）把x＝0代入y＝mx2﹣4mx+3m得：y＝3m，∴点C（0，3m），∴OC＝3m，∵△OAC∽△OCB，
∴＝，即＝，解得：m＝或m＝﹣（舍去），∴m＝；
（3）过点D作DE⊥x轴于点E，如图所示：
∵△ABD是等边三角形，AB＝3﹣1＝2，∴EA＝EB＝AB＝1，∠EAD＝60°，∵y＝mx2﹣4mx+3m
＝m（x﹣2）2﹣m，∴D点坐标为（2，﹣m），∴tan∠EAD＝tan60°＝＝，∴＝，即m＝，
∴y≥﹣，∵对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+﹣4成立，
∴n+≥﹣y﹣3﹣4（y0≥﹣），令w＝﹣y﹣3﹣4（y0≥﹣），
对称轴为y0＝﹣＝﹣，∵﹣＜﹣，∴当y0≥﹣时，w随y0的增大而减小，
∴当y0＝﹣时，w取最大值，最大值为﹣（﹣）2﹣3×（﹣）﹣4＝2，
∵n+﹣4在y0≥﹣时恒成立，∴n+≥2，解得：n≥，
∴实数n的最小值为．
3．（中雅）点为反比例函数（k为常数，且）的图象上一点，若点P的横、纵坐标满足关系：，则称点P所在的反比例函数（k为常数，且）为“Q函数”，点P为该“Q函数”图象上的“Q点”．
（1）“Q函数”图象上的“Q点”坐标为__________；
（2）反比例函数是否为“Q函数”？若是，请求出该函数图象上的“Q点”；若不是，请说明理由．
（3）已知反比例函数（k为常数，且）为“Q函数”，令，若对于整数m，恒成立，求整数m的最小值．
【解答】解：(1)；
(2)已知，变形得：，将该式代入，得，得方程；计算得，∴不是Q函数；
(3)已知，变形得：，将该式代入，得，得方程；计算得，∴，当时，，即，∴，又m为整数，∴m最小值是.
4．（雅礼）2022年10月16日，习近平总书记在中共二十大会议开幕式上作报告发言，在阐述第四个要点“加快构建新发展格局，着力推动高质量发展”时，提出了两个“高水平”，即“构建高水平社会主义市场经济体制”和“推进高水平对外开放”在数学上，我们不妨约定：若函数图象上存在不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1≠x2），满足纵坐标相等，即y1＝y2，则称点A、B为这个函数的一对“高水平点”，称这个函数为“高水平函数”．
（1）若点P（2022，p）和点Q（q，2023）为“高水平函数”y＝|x+1|图象上的一对“高水平点”，求p+q的值；
（2）关于x的函数y＝kx+b（k、b为常数）是“高水平函数”吗？如果是，指出它有多少对“高水平点”，如果不是，请说明理由；
（3）若点M（1，m）、N（3，n）、P（x0，y0）都在关于x的“高水平函数”y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a＞0）的图象上，点M、P为该函数的一对“高水平点”，且满足m＜n＜c，若存在常数w，使得式子：w+＞﹣x02﹣x0+2恒成立，求w的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可知，yP＝yq，即p＝2023，将点Q（q，2023）代入函数y＝|x+1|，
∴2023＝|q+1|（q≠2022），解得q＝﹣2024，∴p+q＝2023+（﹣2024）＝﹣1；
（2）①当k＝0时，函数y＝kx+b是“高水平函数”，有无数组“高水平点“；
②当k≠0时，不是“高水平函数”，若存在“高水平点“，设一组高水平点为A（x1，kx1+b）、B（x2，kx2+b），
∴kx 1+b＝kx2+b（k≠0），∴kx1＝kx2（k≠0），∴x1＝x2，这与A（x1，kx1+b）、B（x2，kx2+b）是两个不同的点矛盾，∴当k≠0时，y＝kx+b不是“高水平函数”；
（3）∵m＝a+b+c，n＝9a+3b+c，m＜n＜c，∴a+b+c＜9a+3b+c＜c（a＞0），
解得，即，∵点M、P为该函数的一组“高水平点”，纵坐标相等，
由抛物线对称性，得：2＜x0＜3，∵恒成立，
设＝﹣（x+2）2+3，∴﹣＜h＜﹣1，∴w+≥﹣1，∴w≥﹣．
5．（青竹湖）若y是x的函数，h为常数（h > 0），若对于该函数图象上的任意两点、
，当，（其中a、b为常数，a < b时，总有，就称此函数在时为有界函数，其中满足条件的所有常数h的最小值，称为该函数在a≤x≤b时的界高。
（1）函数：④，②，③在时为有界函数的是 ：（填序号）
（2）若一次函数（），当a≤x≤b时为有界函数，且在此范围内的界高为，请求出此一次函效解析式；
（3）已知函数（），当时为有界函数，且此范围内的界高不大于4，求实效a的取值范围.
【解答】解：（1）①当x＝﹣1时，y＝﹣2，当x＝1时，y＝2，∴|y1﹣y2|≤|2﹣（﹣2）|＝4，故y＝2x在﹣1≤x≤1时是有界函数；
②∵的x不等于0，∴函数在﹣1≤x≤1时没有最大值和最小值，∴函数在﹣1≤x≤1时不是有界函数；
③当x＝﹣1或x＝1时，y＝1，当x＝0时，y＝0，∴|y1﹣y2|≤|1﹣0|＝1，故y＝x2在﹣1≤x≤1时是有界函数；故答案为：①③；
（2）由函数y＝kx+2在a≤x≤b时为有界函数，且此时的界高为b﹣a，∴y最大值﹣y最小值＝b﹣a，
当k＞0时，y随x的增大而增大，∴x＝a时，y最小值＝ka+2，x＝b时，y最大值＝kb+2，
∴kb+2﹣（ka+2）＝b﹣a，∴k＝1，∴y＝x+2；
当k＜0时，y随x的增大而减小，∴x＝a时，y最大值＝ka+2，x＝b时，y最小值＝kb+2，∴ka+2﹣（kb+2）＝b﹣a，∴k＝﹣1，∴y＝﹣x+2，
综上所述，一次函数的解析式为y＝x+2或y＝﹣x+2．
（3）∵y＝x2﹣2ax+5＝（x﹣a）2+5﹣a2，a＞1，
∴当1≤x＜a时，y随x的增大而减小，当a＜x≤a+1时，y随x的增大而增大，
∵当1≤x≤a+1时为有界函数，且此范围内的界高不大于4，∴y最大值﹣y最小值≤4，
当a≤，即1＜a≤2时，a+1离a的距离比1离a的距离远或一样远，
∴x＝a时，y最小值＝5﹣a2，x＝a+1时，y最大值＝（a+1）2﹣2a（a+1）+5＝﹣a2+6，∴﹣a2+6﹣（5﹣a2）≤4，化简得：1≤4，∴1＜a≤2，
当a＞，即a＞2时，a+1离a的距离比1离a的距离近，∴x＝a时，y最小值＝5﹣a2，x＝1时，y最大值＝1﹣2a+5＝﹣2a+6，∴﹣2a+6﹣（5﹣a2）≤4，解得：1＜a≤3，∴2＜a≤3，
综上所述，a的取值范围为1＜a≤3．
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6．（青竹湖）在平面直角坐标系中，设直线l的解析式为：y＝kx+b（k、b为常数且k≠0），当直线l与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线l与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”．
（1）求直线l：y＝﹣x+4与双曲线y＝的切点坐标；
（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）经过两点（﹣3，0）和（1，0），若直线l：y＝6x﹣7与抛物线相切，求a的值；
（3）已知直线l：y1＝kx+m（k、m为常数）与抛物线y2＝x2+相切于点（1，），设二次函数M：y3＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0，c为整数），对一切实数x恒有y1≤y3≤y2，求二次函数M的解析式．
【解答】解：（1）联立，得：x2﹣4x+4＝0，解得x＝2，∴切点的坐标为（2，2）；
（2）由题意知，抛物线解析式可表示为y＝a（x﹣1）（x+3）＝ax2+2ax﹣3a，
联立，得：ax2+（2a﹣6）x﹣3a+7＝0，由抛物线和直线相切知a≠0且Δ＝0，
∴Δ＝（2a﹣6）2﹣4a（7﹣3a）＝16a2﹣52a+36＝0，解得：a1＝、a2＝1，∴a的值为或1；
（3）由题意知直线y1＝kx+m和抛物线M：y3＝ax2+bx+c都经过（1，），∴＝k+m，＝a+b+c①，
∴m＝﹣k，联立得x2﹣kx﹣1+k＝0，∴Δ＝k2﹣4×1×（k﹣1）＝0，解得k＝2，
∴m＝﹣，∴直线l1的解析式为y1＝2x﹣，∵对于一切实数x恒有y1≤y3≤y2，
∴对于一切实数x恒有2x﹣≤ax2+bx+c≤x2+，当x＝0时，有﹣＜c＜，而c为整数，
∴c＝0 ②，联立，得：ax2+（b﹣2）x+c+＝0，∴Δ＝（b﹣2）2﹣4a×（c+）＝0，∴b2﹣4b+4﹣4ac﹣2a＝0 ③，联立①②③得a＝，b＝1、c＝0，
故二次函数M的解析式为y3＝x2+x．
7.已知抛物线C：y1=a(x−ℎ)²−1，直线l：y2=kx−kℎ−1．
（1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；
（2）当a=−1，m≤x≤2时，y1≥x−3恒成立，求m的最小值；
（3）当00时，若在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数的点，求k的取值范围．
【解答】解：(1)抛物线C的顶点坐标为(ℎ,−1)，当x=ℎ时，y2=kℎ−kℎ−1=−1，
所以直线l恒过抛物线C的顶点；
(2)当a=−1时，抛物线C解析式为y1=−(x−ℎ)2−1，不妨令y3=x−3
如图1所示：抛物线C的顶点在直线y=−1上移动，
当m≤x≤2时，y1≥x−3恒成立，则可知抛物线C的顶点为(2,−1)，设抛物线C与直线y3=x−3除顶点外的另一交点为M，此时点M的横坐标即为m的最小值，
由y=−x−22−1y=x−3，解得：x=1，x=2，所以m的最小值为1．
(3)如图2所示：由(1)可知：抛物线C与直线l都过点A(ℎ,−1)．
当00，在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数点，即当x=ℎ+2时，y2>y1恒成立．所以k(ℎ+2)−kℎ−1>a(ℎ+2−ℎ)2−1，整理得：k>2a．又因为04或b0，不成立，ii：−2−b2≤05−b≥0，b≤2，又∵b>4或b