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北师大新版八年级上学期《第5章 二元一次方程组》2022年单元测试卷
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北师大新版八年级上学期《第5章 二元一次方程组》单元测试卷一．选择题（共16小题）1．下列各式中，是关于x，y的二元一次方程的是（ ）A．x﹣2y＝3 B．x+xy﹣3＝0 C．2x+y D．﹣y＝12．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）A．x﹣2y＝4z B．xy+1＝0 C．+4y＝6 D．+y＝13．在下列方程中，其中二元一次方程的个数是（ ）①4x+5＝1；②3x﹣2y＝1；③＝1；④xy+y＝14．A．1 B．2 C．3 D．44．下列各组数中，是二元一次方程5x﹣y＝2的一个解的是（ ）A． B． C． D．5．已知二元一次方程2x﹣y＝1，则用x的代数式表示y为（ ）A．y＝1﹣2x B．y＝2x﹣1 C．x＝ D．x＝6．下列方程中是二元一次方程组的是（ ）A． B． C． D．7．已知方程组的解满足x+y＝2，则k的算术平方根为（ ）A．4 B．﹣2 C．﹣4 D．28．已知：|2x+y﹣3|+（x﹣3y﹣5）2＝0，则yx的值为（ ）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣29．若|x﹣y﹣1|+3（x+y）2＝0，则x、y的值为（ ）A．x＝0.5，y＝0.5 B．x＝﹣0.5，y＝﹣0.5 C．x＝﹣0.5，y＝0.5 D．x＝0.5，y＝﹣0.510．已知方程组和有相同的解，则a，b的值为（ ）A． B． C． D．11．某人带了100元去市场买水果，他买了1千克的哈密瓜，2千克的青提葡萄，还剩30元．设哈密瓜每千克x元，青提葡萄每千克y元，得方程x+2y＝70．则下列说法中，正确的是（ ）A．1千克青提葡萄的价格可以是36元 B．若1千克哈密瓜的价格是12元，则1千克青提葡萄的价格是20元 C．若是方程x+2y＝70的解，则m，n都可以表示哈密瓜、青提葡萄的单价 D．若m，n分别表示哈密瓜、青提葡萄的单价，则m，n一定是方程x+2y＝70的解12．游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽是红色游泳帽的2倍，设男孩有x人，女孩有y人，则下列方程组正确的是（ ）A． B． C． D．13．王阿姨以每个m元的价格买进苹果100个，现以每个比进价多20%价格卖出70个后，再以每个比进价低n元的价格将剩下的30个卖出，则全部卖出100个苹果所得的金额是W元，下列方程正确的是（ ）A．70m+30（m﹣n）＝W B．70×（1+20%）m+30（m﹣n）＝W C．70×（1+20%）m+30n＝W D．100×（1+20%）m﹣30（m﹣n）＝W14．一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大9，则这样的两位数共有（ ）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个15．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？大意是说：九枚黄金与十一枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻13两．问：每枚黄金、白银的重量各为多少？设一枚黄金的重量为x两，一枚白银的重量为y两，则可列方程组为（ ）A． B． C． D．16．下列方程是二元一次方程的是（ ）A．2x+3y＝z B．+y＝5 C．+y＝0 D．y＝（x+8）二．填空题（共15小题）17．已知，方程xa﹣1﹣2y2+b+3＝0是关于x，y的二元一次方程，则a+b＝ ．18．若（m﹣2）xn+＝0是二元一次方程，则m+n的值 ．19．若关于x，y的方程（k﹣2）x|k|﹣1﹣7y＝8是二元一次方程，则k＝ ．20．已知是方程kx﹣y＝3的解，则k＝ ．21．把方程x﹣3y＝8写成用含y的代数式表示x的形式为 ．22．方程组是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值是 ．23．写出一个以为解的二元一次方程组 ．24．方程组：的解为 ．25．如果实数x、y满足方程组，那么x2﹣y2＝ ．26．已知方程组和方程组有相同的解，则m的值是 ．27．“今有50鹿进舍，小舍容4鹿，大舍容6鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，若每个圈舍都住满，求所需圈舍的间数．设需要大圈舍x间，小圈舍y间，则列二元一次方程为 ．28．方程术是《九章算术》最高的数学成就，其中“盈不足”一章中曾记载“今有大器五小器一容三斛（“斛”是古代的一种容量单位），大器一小器五容二斛，问大小器各容几何？”译文：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，问1个大桶和1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，依题意，可列二元一次方程组为 ．29．如图所示的各图表示由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n（n＞1）盆花，每个图案花盆的总数为s．按此规律推断，以s、n为未知数的二元一次方程为 ．30．小慧带着妈妈给的现金去蛋糕店买蛋糕，他若买5个巧克力蛋糕和3个桂圆蛋糕，则妈妈给的钱不够，还缺16元；若买3个巧克力蛋糕和5个桂圆蛋糕，则妈妈给的钱还有剩余，还多10元，若他只买8个桂圆蛋糕，则剩余的钱为 元．31．某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满．设大房间有x个，小房间有y个，则列出方程组为 ．三．解答题（共29小题）32．已知关于x，y的方程（m+2）x|m|﹣1+y2n+m＝5是二元一次方程，求m，n的值．33．若是二元一次方程ax﹣by＝5和ax+2by＝8的公共解，求b﹣2a的值．34．已知方程（2m﹣6）x|m﹣2|+（n﹣2）﹣3＝0是二元一次方程，求m，n的值．35．关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c是常数），b＝a+1，c＝b+1．（1）当时，求c的值．（2）当a＝时，求满足|x|＜5，|y|＜5的方程的整数解．（3）若a是正整数，求证：仅当a＝1时，该方程有正整数解．36．已知关于x、y的方程（k2﹣4）x2+（k+2）x+（k﹣6）y＝k+8，试问：①当k为何值时此方程为一元一次方程？②当k为何值时此方程为二元一次方程？37．对于有理数x，y，定义新运算：x#y＝ax+by，x⊕y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知1#1＝1，3⊕2＝8．（1）求a，b的值；（2）若关于x，y的方程组的解也满足方程x+y＝3，求m的值；（3）若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．38．规定：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c有无数组解，每组解记为M（x，y），称M（x，y）为“团结点”，将这些“团结点”连接得到一条直线，称这条直线是“团结点”的“合作线”，回答下列问题：（1）已知A（﹣1，3），B（4，﹣1），C（1，2），则是“合作线”2x+3y＝8的“团结点”的是 ；（2）设P（1，﹣1），Q（4，4）是“合作线”（m2+1）x+ny＝8的两个“团结点”，求关于x，y的二元一次方程的正整数解；（3）已知h，t是实数，且，若是“合作线”2x﹣4y＝s的一个“团结点”，求s的最大值与最小值的和．39．求方程7x+19y＝213的所有正整数解．40．已知方程组是二元一次方程组，求m的值．41．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为，乙看错了方程组中的b，得到的解为．（1）求正确的a，b的值；（2）求原方程组的解．42．．43．解方程组．44．已知关于x，y的方程组和有相同解，求（﹣a）b值．45．大型客车每辆能坐54人，中型客车每辆能坐36人，现有378人，问需要大、中型客车各几辆才能使每个人上车都有座位，且每辆车正好坐满？46．将含铁72%和含铁58%的两种矿石，混合后配成含铁64%的矿石70吨，若设需含铁72%的矿石x吨，含铁58%的矿石y吨，列出方程组．47．列方程组解应用题：甲乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后3小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出发后2.5小时相遇．甲、乙两人每小时各走多少千米？48．某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元，其中每支毛笔比钢笔贵4元．（1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？（2）①学校仍需要购买上面的两种笔共105支（每种笔的单价不变）．陈老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领2447元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么账肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的账算错了．②陈老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔．如果签字笔的单价为小于10元的整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为 元．49．根据题意列二元一次方程组：（1）两批货物，第一批360吨，用5节火车皮和12辆汽车正好装完；第二批500吨，用7节火车皮和16辆汽车正好装完．每节火车皮和每辆汽车平均各装货物多少吨？（2）某校课外小组的学生准备外出活动；若每组7人，则余下3人；若每组8人，则有一组只有3人；求这个课外小组分成几组？共有多少人？50．材料：对任意一个n位正整数M（n≥3），若M与它的十位数字的p倍的差能被整数q整除，则称这个数为“p阶q级数”，例如：712是“5阶7级数”，因为＝101；712也是“12阶10级数”，因为＝70．（1）若415是“5阶k级数”，且k＜300，求k的最大值；（2）若一个四位数M的百位数字比个位数字大2，十位数字为1，且M既是“4阶13级数”又是“6阶5级数”，求这个四位数M．51．一条船顺流航行，每小时行24km，逆流航行，每小时行18km．为了求轮船在静水中的速度x与水的速度y，你能列出方程组来吗？52．一项调查显示，全世界每天平均有13000人死于与吸烟有关的疾病，我国吸烟者约3.56亿人，占世界吸烟人数的四分之一，比较一年中死于与吸烟有关的疾病的人数占吸烟者总数的百分比，我国比世界其他国家约高0.1%．根据上述资料，试用二元一次方程组解决以下问题：我国及世界其他国家一年（按365天计算）中死于与吸烟有关的疾病的人数分别是多少？（只需设出未知数，列出方程组即可）53．为了保护环境，某市公交公司决定购买一批共10台全新的混合动力公交车，现有A、B两种型号，其中每台的价格，年省油量如表：经调查，购买一台A型车比购买一台B型车多20万元，购买2台A型车比购买3台B型车少60万元（1）请求出a和b的值；（2）若购买这批混合动力公交车每年能节省22.4万升汽油，求购买这批混合动力公交车需要多少万元？54．如图，直线y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A，直线y2＝﹣2x+6的图象与y轴交于点B，两者相交于点C．（1）方程组的解是 ；（2）当y1＞0与y2＞0同时成立时，x的取值范围为 ；（3）求△ABC的面积；（4）在直线y1＝2x﹣2的图象上存在异于点C的另一点P，使得△ABC与△ABP的面积相等，请求出点P的坐标．55．如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）．（1）求b的值；（2）不解关于x、y的方程组，请你直接写出它的解；（3）直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由．56．如图，一次函数y＝kx+b经过点（2，8），与一次函数y＝﹣x﹣交于点A（m，1）．（1）求函数y＝kx+b的表达式；（2）利用函数图象写出方程组的解 ．57．若正比例函数y1＝﹣x的图象与一次函数y2＝x+m的图象交于点A，且点A的横坐标为﹣1．（1）求该一次函数的表达式；（2）直接写出方程组的解；（3）在一次函数y2＝x+m的图象上是否存在点B，使△AOB的面积为2，若存在，求出点B坐标；若不存在，请说明理由．58．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣1时，y＝3；当x＝0时，y＝1，当x＝1时，y＝1，求这个等式中a、b、c的值．59．若方程组的解x、y的和为﹣5，求k的值，并解此方程组．60．一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？（2）为了节约运费，该市政府可以决定甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？（3）求出哪种方案的运费最省？最省是多少元． 北师大新版八年级上学期《第5章 二元一次方程组》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．下列各式中，是关于x，y的二元一次方程的是（ ）A．x﹣2y＝3 B．x+xy﹣3＝0 C．2x+y D．﹣y＝1【考点】二元一次方程的定义．菁优网版权所有【答案】A【分析】根据含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程可得答案．【解答】解：A、是关于x，y的二元一次方程，故此选项正确；B、不是关于x，y的二元一次方程，故此选项错误；C、不是关于x，y的二元一次方程，故此选项错误；D、不是关于x，y的二元一次方程，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了二元一次方程定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．2．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）A．x﹣2y＝4z B．xy+1＝0 C．+4y＝6 D．+y＝1【考点】二元一次方程的定义．菁优网版权所有【答案】D【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：A．是三元一次次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；B．是二元二次方程，故本选项不符合题意；C．分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；D．是二元一次方程，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了二元一次方程的定义，注意：含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫二元一次方程．3．在下列方程中，其中二元一次方程的个数是（ ）①4x+5＝1；②3x﹣2y＝1；③＝1；④xy+y＝14．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】二元一次方程的定义．菁优网版权所有【答案】A【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别．【解答】解：①4x+5＝1不是二元一次方程，因为只有一个未知数；②3x﹣2y＝1是二元一次方程；③＝1不是二元一次方程，因为不是整式方程；④xy+y＝14不是二元一次方程，因为未知数的最高项的次数为2．故选：A．【点评】二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．4．下列各组数中，是二元一次方程5x﹣y＝2的一个解的是（ ）A． B． C． D．【考点】二元一次方程的解．菁优网版权所有【答案】D【分析】把x与y的值代入方程检验即可．【解答】解：A、把代入方程得：左边＝15﹣1＝14，右边＝2，∵左边≠右边，∴不是方程的解；B、把代入方程得：左边＝﹣2，右边＝2，∵左边≠右边，∴不是方程的解；C、把代入方程得：左边＝﹣2，右边＝2，∵左边≠右边，∴不是方程的解；D、把代入方程得：左边＝5﹣3，右边＝2，∵左边＝右边，∴是方程的解，故选：D．【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．5．已知二元一次方程2x﹣y＝1，则用x的代数式表示y为（ ）A．y＝1﹣2x B．y＝2x﹣1 C．x＝ D．x＝【考点】解二元一次方程．菁优网版权所有【答案】B【分析】把方程2x﹣y＝1写成用含x的代数式表示y，需要进行移项．【解答】解：移项，得y＝2x﹣1．故选：B．【点评】本题考查的是方程的基本运算技能：移项、合并同类项、系数化为1等．6．下列方程中是二元一次方程组的是（ ）A． B． C． D．【考点】二元一次方程组的定义．菁优网版权所有【答案】C【分析】利用二元一次方程组的定义判断即可．【解答】解：是二元一次方程组，故选：C．【点评】此题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解本题的关键．7．已知方程组的解满足x+y＝2，则k的算术平方根为（ ）A．4 B．﹣2 C．﹣4 D．2【考点】二元一次方程组的解．菁优网版权所有【答案】D【分析】方程组中两方程相加表示出x+y，代入x+y＝2中计算即可求出k的值．【解答】解：，①+②得：3（x+y）＝k+2，解得：x+y＝，代入x+y＝2中得：k+2＝6，解得：k＝4，则4的算术平方根为2，故选：D．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．8．已知：|2x+y﹣3|+（x﹣3y﹣5）2＝0，则yx的值为（ ）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【考点】解二元一次方程组；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．菁优网版权所有【答案】A【分析】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可求出所求．【解答】解：∵|2x+y﹣3|+（x﹣3y﹣5）2＝0，∴，①×3+②得：7x＝14，解得：x＝2，把x＝2代入①得：y＝﹣1，则原式＝1．故选：A．【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键．9．若|x﹣y﹣1|+3（x+y）2＝0，则x、y的值为（ ）A．x＝0.5，y＝0.5 B．x＝﹣0.5，y＝﹣0.5 C．x＝﹣0.5，y＝0.5 D．x＝0.5，y＝﹣0.5【考点】解二元一次方程组；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．菁优网版权所有【答案】D【分析】本题可根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0．”，得到方程组，解出x、y的值即可．【解答】解：依题意得：，由（1）得：x＝y+1…（3），将（3）代入（2）中得：y+1+y＝2y+1＝0，y＝﹣0.5…（4）．将（4）代入（3）得：x＝0.5．故选：D．【点评】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．10．已知方程组和有相同的解，则a，b的值为（ ）A． B． C． D．【考点】同解方程组．菁优网版权所有【答案】A【分析】可以首先解方程组，求得方程组的解，再代入方程组，即可求得a，b的值．【解答】解：解方程组，得，代入方程组，得到，解得，故选：A．【点评】本题主要考查了方程组的解的定义，首先求出方程组的解是解决本题的关键．11．某人带了100元去市场买水果，他买了1千克的哈密瓜，2千克的青提葡萄，还剩30元．设哈密瓜每千克x元，青提葡萄每千克y元，得方程x+2y＝70．则下列说法中，正确的是（ ）A．1千克青提葡萄的价格可以是36元 B．若1千克哈密瓜的价格是12元，则1千克青提葡萄的价格是20元 C．若是方程x+2y＝70的解，则m，n都可以表示哈密瓜、青提葡萄的单价 D．若m，n分别表示哈密瓜、青提葡萄的单价，则m，n一定是方程x+2y＝70的解【考点】由实际问题抽象出二元一次方程；二元一次方程的解．菁优网版权所有【答案】D【分析】根据题意和题目中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵设哈密瓜每千克x元，青提葡萄每千克y元，得方程x+2y＝70，∴当y＝36时，x＝﹣2，此种情况不合实际，故选选项A不正确；当x＝12时，12+2y＝70，解得y＝29，故选项B不正确；若是方程x+2y＝70的解，则m，n不一定可以表示哈密瓜、青提葡萄的单价，如m＝﹣2，n＝36，故选项C不正确；若m，n分别表示哈密瓜、青提葡萄的单价，则m，n一定是方程x+2y＝70的解，故选项D正确；故选：D．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程、二元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用二元一次方程的知识解答．12．游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽是红色游泳帽的2倍，设男孩有x人，女孩有y人，则下列方程组正确的是（ ）A． B． C． D．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有【答案】C【分析】利用每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色游泳帽比红色的多1倍，进而分别得出等式即可．【解答】解：设男孩x人，女孩有y人，根据题意得出：，解得：，故选：C．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意利用已知得出正确等量关系是解题关键．13．王阿姨以每个m元的价格买进苹果100个，现以每个比进价多20%价格卖出70个后，再以每个比进价低n元的价格将剩下的30个卖出，则全部卖出100个苹果所得的金额是W元，下列方程正确的是（ ）A．70m+30（m﹣n）＝W B．70×（1+20%）m+30（m﹣n）＝W C．70×（1+20%）m+30n＝W D．100×（1+20%）m﹣30（m﹣n）＝W【考点】由实际问题抽象出二元一次方程．菁优网版权所有【答案】B【分析】王阿姨全部苹果共卖得金额＝先卖70个苹果的总价+剩下的30个苹果卖出的总价．根据等量关系直接列出方程即可．【解答】解：依题意得，先卖70个苹果的单价是m（1+20%）元，剩下的30个苹果卖出的单价是（m﹣n）元，∴全部苹果共卖得金额是：70×（1+20%）×m+30（m﹣n）元．∴70×（1+20%）m+30（m﹣n）＝W故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，正确理解文字语言中的关键词，从而明确其中的运算关系．注意多每个比进价多20%是原来的价钱m再加上20%m．14．一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大9，则这样的两位数共有（ ）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【考点】二元一次方程的应用．菁优网版权所有【答案】D【分析】先设原来的两位数为10a+b，根据交换其个位数与十位数的位置，所得新两位数比原两位数大9，列出方程，得出b＝a+1，因此a可取1到8个数，并且这8个数的特点都是个位数字比十位数字大1的两位数．【解答】解：设原来的两位数为10a+b，根据题意得：10a+b+9＝10b+a，解得：b＝a+1，因为a可取1到8个数，所以这两位数共有8个，它们分别，12，23，34，45，56，67，78，89，都是个位数字比十位数字大1的两位数．故选：D．【点评】此题考查了二元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，找合适的等量关系，列出方程，再求解，弄清两位数的表示是：10×十位上的数+个位上的数，注意不要漏数．15．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？大意是说：九枚黄金与十一枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻13两．问：每枚黄金、白银的重量各为多少？设一枚黄金的重量为x两，一枚白银的重量为y两，则可列方程组为（ ）A． B． C． D．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有【答案】D【分析】直接利用“黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，以及两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两”分别得出等式得出答案．【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得：．故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．16．下列方程是二元一次方程的是（ ）A．2x+3y＝z B．+y＝5 C．+y＝0 D．y＝（x+8）【考点】二元一次方程的定义．菁优网版权所有【答案】D【分析】根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程进行分析．【解答】解：A、是三元一次方程，故此选项错误；B、是分式方程，故此选项错误；C、是二元二次方程，故此选项错误；D、是二元一次方程，故此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．二．填空题（共15小题）17．已知，方程xa﹣1﹣2y2+b+3＝0是关于x，y的二元一次方程，则a+b＝ 1 ．【考点】二元一次方程的定义．菁优网版权所有【答案】1．【分析】利用二元一次方程的定义得出关于a，b的方程组，解方程并代入代数式即可．【解答】解：∵方程xa﹣1﹣2y2+b+3＝0是关于x，y的二元一次方程，∴a﹣1＝1，2+b＝1，解得a＝2，b＝﹣1，∴a+b＝2﹣1＝1．故答案为：1．【点评】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．18．若（m﹣2）xn+＝0是二元一次方程，则m+n的值 ﹣1 ．【考点】二元一次方程的定义．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】根据二元一次方程的定义得出m2﹣3＝1且m﹣2≠0且n＝1，求出m后代入，即可求出答案．【解答】解：∵（m﹣2）xn+＝0是二元一次方程，∴m2﹣3＝1且m﹣2≠0且n＝1，解得：m＝﹣2，n＝1，∴m+n＝﹣2+1＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了二元一次方程的定义，能根据二元一次方程的定义得出m2﹣3＝1、m﹣2≠0、n＝1是解此题的关键．19．若关于x，y的方程（k﹣2）x|k|﹣1﹣7y＝8是二元一次方程，则k＝ ﹣2 ．【考点】二元一次方程的定义；绝对值．菁优网版权所有【答案】﹣2．【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，据此解答即可．【解答】解：根据题意得：，解得k＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查二元一次方程的概念，解题的关键是熟悉掌握二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程．20．已知是方程kx﹣y＝3的解，则k＝ 2 ．【考点】二元一次方程的解．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数k的一元一次方程，从而可以求出k的值．【解答】解：把代入方程kx﹣y＝3，得2k﹣1＝3，解得k＝2．【点评】解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数k为未知数的方程．一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程的解的定义可以求方程中其他字母的值．21．把方程x﹣3y＝8写成用含y的代数式表示x的形式为 x＝3y+8 ．【考点】解二元一次方程．菁优网版权所有【答案】x＝3y+8．【分析】把y看作已知数表示出x即可．【解答】解：方程x﹣3y＝8，解得：x＝3y+8．故答案为：x＝3y+8．【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．22．方程组是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值是 ﹣1 ．【考点】二元一次方程组的定义．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】利用二元一次方程组的定义确定出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：由题意得：|a|＝1，b﹣5＝0，a﹣1≠0，解得：a＝﹣1，b＝5，则原式＝（﹣1）5＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解本题的关键．23．写出一个以为解的二元一次方程组 （答案不唯一） ．【考点】二元一次方程组的解．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】由2+1＝3，2﹣1＝1，列出方程组即可．【解答】解：根据题意得：．故答案为（答案不唯一）．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．24．方程组：的解为 ．【考点】解二元一次方程组．菁优网版权所有【答案】．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①+②得：3x＝15，解得：x＝5，把x＝5代入①得：5﹣y＝3，解得：y＝2，则方程组的解为．故答案为：．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．25．如果实数x、y满足方程组，那么x2﹣y2＝ 2 ．【考点】解二元一次方程组．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】由第一个方程求出x﹣y的值，所求式子利用平方差公式化简后，将x+y与x﹣y的值代入计算即可求出值．【解答】解：，由①得：x﹣y＝，则x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝4×＝2．故答案为：2【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：加减消元法与代入消元法．26．已知方程组和方程组有相同的解，则m的值是 5 ．【考点】同解方程组．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】既然两方程组有相同的解，那么将有一组x、y值同时适合题中四个方程，把题中已知的两个方程组成一个方程组，解出x、y后，代入x+y+m＝0中直接求解即可．【解答】解：解方程组，得，代入x+y+m＝0得，m＝5．【点评】当给出的未知数较多时，应选择只含有2个相同未知数的2个方程组成方程组求解．27．“今有50鹿进舍，小舍容4鹿，大舍容6鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，若每个圈舍都住满，求所需圈舍的间数．设需要大圈舍x间，小圈舍y间，则列二元一次方程为 6x+4y＝50 ．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程．菁优网版权所有【答案】6x+4y＝50．【分析】根据今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，可以列出相应的方程．【解答】解：由题意可得，6x+4y＝50，故答案为：6x+4y＝50．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．28．方程术是《九章算术》最高的数学成就，其中“盈不足”一章中曾记载“今有大器五小器一容三斛（“斛”是古代的一种容量单位），大器一小器五容二斛，问大小器各容几何？”译文：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，问1个大桶和1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，依题意，可列二元一次方程组为 ．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”列方程组即可．【解答】解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，依题意，可列二元一次方程组，故答案为：．【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．29．如图所示的各图表示由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n（n＞1）盆花，每个图案花盆的总数为s．按此规律推断，以s、n为未知数的二元一次方程为 s＝3n﹣3 ．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程；规律型：图形的变化类．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】由图可知：第一图：有花盆3个，每条边有花盆2个，那么s＝3×2﹣3；第二图：有花盆6个，每条边有花盆3个，那么s＝3×3﹣3；第三图：有花盆9个，每条边有花盆4个，那么s＝3×4﹣3；…由此可知以s，n为未知数的二元一次方程为s＝3n﹣3．【解答】解：根据图案组成的是三角形的形状，则其周长等于边长的3倍，但由于每个顶点重复了一次．所以s＝3n﹣3．故答案为：s＝3n﹣3．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程．要注意给出的图片中所包含的规律，然后根据规律列出方程．30．小慧带着妈妈给的现金去蛋糕店买蛋糕，他若买5个巧克力蛋糕和3个桂圆蛋糕，则妈妈给的钱不够，还缺16元；若买3个巧克力蛋糕和5个桂圆蛋糕，则妈妈给的钱还有剩余，还多10元，若他只买8个桂圆蛋糕，则剩余的钱为 49 元．【考点】二元一次方程的应用．菁优网版权所有【答案】49．【分析】设巧克力单价为x元，买1个桂圆蛋糕y元，根据妈妈给的钱不变列出方程5x+3y﹣16＝3x+5y+10，由此得到：x﹣y＝13；然后根据题意知，剩余的钱为：5x+3y﹣16﹣8y＝5（x﹣y）﹣16，整体代入求值．【解答】解：设巧克力单价为x元，买1个桂圆蛋糕y元，由题意可知：5x+3y﹣16＝3x+5y+10．整理，得x﹣y＝13．因为他只买8个桂圆蛋糕的钱是8y元，则他剩余的钱为：5x+3y﹣16﹣8y＝5（x﹣y）﹣16＝5×13﹣16＝49．故答案为：49．【点评】本题主要考查了二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．31．某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满．设大房间有x个，小房间有y个，则列出方程组为 ．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有【答案】．【分析】根据某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满．可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．【解答】解：设大房间有x个，小房间有y个，由某旅店一共70个房间，可得x+y＝70，由大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满，可得8x+6y＝480，故，故答案为：．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．三．解答题（共29小题）32．已知关于x，y的方程（m+2）x|m|﹣1+y2n+m＝5是二元一次方程，求m，n的值．【考点】二元一次方程的定义；绝对值．菁优网版权所有【答案】m＝2，n＝．【分析】利用二元一次方程的定义进行解答即可．【解答】解：由题意得：，解得．【点评】此题主要考查了二元一次方程定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．33．若是二元一次方程ax﹣by＝5和ax+2by＝8的公共解，求b﹣2a的值．【考点】二元一次方程的解．菁优网版权所有【答案】﹣5．【分析】将分别代入ax﹣by＝5和ax+2by＝2，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，再代入所求式子计算即可．【解答】解：将分别代入ax﹣by＝5和ax+2by＝2得：，解得：，∴b﹣2a＝1﹣2×3＝﹣5．【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．34．已知方程（2m﹣6）x|m﹣2|+（n﹣2）﹣3＝0是二元一次方程，求m，n的值．【考点】二元一次方程的定义．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程可得2m﹣6≠0，|m﹣2|＝1；n﹣2≠0，n2﹣3＝1，再解即可．【解答】解：由题意得：2m﹣6≠0，|m﹣2|＝1，解得：m＝1，n﹣2≠0，n2﹣3＝1，解得：n＝﹣2．【点评】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．35．关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c是常数），b＝a+1，c＝b+1．（1）当时，求c的值．（2）当a＝时，求满足|x|＜5，|y|＜5的方程的整数解．（3）若a是正整数，求证：仅当a＝1时，该方程有正整数解．【考点】二元一次方程的解；绝对值．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】（1）由题意，得3a+a+1＝a+2，解得a＝，即可求得c＝；（2）当a＝时，方程为+y＝，即x+3y＝5，根据方程即可求得；（3）由题意，得a（x+y﹣1）＝2﹣y①，x、y均为正整数，则x+y﹣1是正整数，a是正整数，则2﹣y是正整数，从而求得y＝1，把y＝1代入①得，ax＝1，即可求得a＝1，此时方程的正整数解是．【解答】解：（1）∵b＝a+1，c＝b+1．∴c＝a+2，由题意，得3a+a+1＝a+2，解得a＝，∴c＝a+2＝；（2）当a＝时，+y＝，化简得，x+3y＝5，∴符合题意的整数解是：，，；（3）由题意，得ax+（a+1）y＝a+2，整理得，a（x+y﹣1）＝2﹣y①，∵x、y均为正整数，∴x+y﹣1是正整数，∵a是正整数，∴2﹣y是正整数，∴y＝1，把y＝1代入①得，ax＝1，∴a＝1，此时，a＝1，b＝2，c＝3，方程的正整数解是．【点评】本题考查了二元一次方程的解，绝对值的性质，熟知一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解是解答此题的关键．36．已知关于x、y的方程（k2﹣4）x2+（k+2）x+（k﹣6）y＝k+8，试问：①当k为何值时此方程为一元一次方程？②当k为何值时此方程为二元一次方程？【考点】二元一次方程的定义；一元一次方程的定义．菁优网版权所有【答案】（1）k＝﹣2；（2）k＝2．【分析】（1）若方程为关于x、y的一元一次方程，则二次项系数应为0，然后x或y的系数中有一个为0，另一个不为0即可．（2）若方程为关于x、y的二元一次方程，则二次项系数应为0且x或y的系数不为0．【解答】解：（1）因为方程为关于x、y的一元一次方程，所以：①，解得k＝﹣2；②，无解，所以k＝﹣2时，方程为一元一次方程．（2）根据二元一次方程的定义可知，解得k＝2，所以k＝2时，方程为二元一次方程．【点评】此题考查了一元一次方程与二元一次方程的定义，解答此题的关键是熟知一元一次方程与二元一次方程的定义．37．对于有理数x，y，定义新运算：x#y＝ax+by，x⊕y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知1#1＝1，3⊕2＝8．（1）求a，b的值；（2）若关于x，y的方程组的解也满足方程x+y＝3，求m的值；（3）若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．【考点】二元一次方程的解；有理数的混合运算．菁优网版权所有【答案】（1）；（2）m＝1；（3）或．【分析】（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可；（2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程x+y＝3求解即可；（3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可．【解答】解：（1）由题意得，解得；（2）依题意得，解得，∵x+y＝3，∴m+1+3m﹣2＝3，解得m＝1；（3）由题意得的解为，由组得，整理，得，即，解得或．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键．38．规定：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c有无数组解，每组解记为M（x，y），称M（x，y）为“团结点”，将这些“团结点”连接得到一条直线，称这条直线是“团结点”的“合作线”，回答下列问题：（1）已知A（﹣1，3），B（4，﹣1），C（1，2），则是“合作线”2x+3y＝8的“团结点”的是 C（1，2） ；（2）设P（1，﹣1），Q（4，4）是“合作线”（m2+1）x+ny＝8的两个“团结点”，求关于x，y的二元一次方程的正整数解；（3）已知h，t是实数，且，若是“合作线”2x﹣4y＝s的一个“团结点”，求s的最大值与最小值的和．【考点】二元一次方程的解．菁优网版权所有【答案】（1）C（1，2）；（2）；（3）0．【分析】（1）将A，B，C三点的坐标分别代入2x+3y＝8中，能使方程成立的是“团结点”；（2）利用“团结点”和“合作线”的定义，列出方程组求得m，n的值，然后将m，n的值代入二元一次方程求得正整数解；（3）利用“团结点”和“合作线”的定义，分别得出s与和s与|t|的关系式，利用非负数的意义得到s的最大值和最小值，则s的最大值与最小值的和可求．【解答】解：（1）将A，B，C三点坐标代入方程2x+3y＝8，只有是方程2x+3y＝8的解，∴“合作线”的团结点的是C（1，2）．故答案为：C（1，2）．（2）将代入P（1，﹣1），Q（4，4）方程（m2+1）x+ny＝8得：得：．解得：．代入方程得：5x+6y＝26．∴此方程的正整数解为：．（3）∵，∴＝6﹣2|t|，|t|＝．∵是“合作线”2x﹣4y＝s的一个“团结点”，∴s＝2﹣4|t|．∴s＝2（6﹣2|t|）﹣4|t|＝12﹣8|t|，或s＝2﹣4×＝4﹣12．∵≥0，|t|≥0，∴由s＝12﹣8|t|，可得s有最大值12．由s＝4﹣12，可得s有最小值﹣12．∴s的最大值与最小值的和为12﹣12＝0．【点评】本题主要考查了二元一次方程的解和解二元一次方程组，以及非负数的应用．本题是阅读型题目，准确理解题干中的定义和公式，并熟练运用是解题的关键．39．求方程7x+19y＝213的所有正整数解．【考点】解二元一次方程．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】首先把原方程中的y用含x的式子表示为，再根据解是整数分别讨论解的值．【解答】解：用方程7x+19y＝213①的最小系数7除方程①的各项，并移项得x＝＝30﹣2y+②因为x，y是整数，故也是整数，于是5y+7u＝3．则y＝③，令＝v，则2u+5v＝3．④由观察知u＝﹣1，v＝1是方程④的一组解．将u＝﹣1，v＝1代入③得y＝2．y＝2，代入②得x＝25．于是方程①有一组解x0＝25，y0＝2，所以它的一切解为，由于要求方程的正整数解，所以，解不等式得t只能取0，1，因此得原方程的正整数解为：和．【点评】本题考查了二元一次方程的解法，此题运用辗转法求解，难度比较大．40．已知方程组是二元一次方程组，求m的值．【考点】二元一次方程组的定义．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】根据二元一次方程组的定义得到|m﹣2|﹣2＝1且m﹣3≠0、m+1≠0．由此可以求得m的值．【解答】解：依题意，得|m﹣2|﹣2＝1且m﹣3≠0、m+1≠0，解得m＝5．故m的值是5．【点评】本题考查了二元一次方程组的定义．二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．41．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为，乙看错了方程组中的b，得到的解为．（1）求正确的a，b的值；（2）求原方程组的解．【考点】二元一次方程组的解．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】（1）把甲的结果代入第二个方程求出b的值，把乙的结果代入第一个方程求出a的值即可；（2）将a与b的值代入方程组，求出解即可．【解答】解：（1）由题意得：，解得：；（2）把代入方程组得：，解得：．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．42．．【考点】解二元一次方程组．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】由（2）﹣（1）即可求出x的值，然后把x的值代入方程即可求出y的值．【解答】解：由（2）﹣（1）得：x＝3，把它代入（1）得：y＝2，∴方程组的解为．【点评】本题主要考查用加减消元法解二元一次方程组．43．解方程组．【考点】解二元一次方程组．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①+②×3得：7x＝56，即x＝8，把x＝8代入①得：y＝2，则方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．44．已知关于x，y的方程组和有相同解，求（﹣a）b值．【考点】同解方程组．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值．【解答】解：因为两组方程组有相同的解，所以原方程组可化为，解方程组（1）得，代入（2）得，解得：．所以（﹣a）b＝（﹣2）3＝﹣8．【点评】此题比较复杂，考查了学生对方程组有公共解定义的理解能力及应用能力，是一道好题．45．大型客车每辆能坐54人，中型客车每辆能坐36人，现有378人，问需要大、中型客车各几辆才能使每个人上车都有座位，且每辆车正好坐满？【考点】由实际问题抽象出二元一次方程．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】首先根据题意表示出大型客车x辆可座54x人，中型客车y辆可座36y人，根据总人数为378可得方程54x+36y＝378．【解答】解：设需要大型客车x辆，中型客车y辆，由题意得：54x+36y＝378，则3x+2y＝21，当x＝1时，y＝9；当x＝2时，y＝（不合题意）；当x＝3时，y＝6；当x＝4时，y＝（不合题意）；当x＝5时，y＝3；当x＝6时，y＝（不合题意）；当x＝7时，y＝0；答：一共有x＝1，y＝9；x＝3，y＝6；x＝5，y＝3；x＝7，y＝0共计4种符合题意的方案．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．46．将含铁72%和含铁58%的两种矿石，混合后配成含铁64%的矿石70吨，若设需含铁72%的矿石x吨，含铁58%的矿石y吨，列出方程组．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】根据两种矿石总量为70吨，含铁量为70×64%，可得出方程组．【解答】解：设需含铁72%的矿石x吨，含铁58%的矿石y吨，由题意得，．【点评】本题考查了由实际问题抽象二元一次方程组的知识，关键是仔细审题，找到等量关系．47．列方程组解应用题：甲乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后3小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出发后2.5小时相遇．甲、乙两人每小时各走多少千米？【考点】由实际问题抽象出二元一次方程．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】设甲，乙速度分别为x，y千米/时，根据甲乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后3时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出发后2.5时相遇可列方程求解．【解答】解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，，解得：，甲的速度是3.6千米每小时，乙的速度是6千米每小时．【点评】本题考查理解题意的能力，关键是设出甲乙的速度，以路程作为等量关系列方程求解．48．某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元，其中每支毛笔比钢笔贵4元．（1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？（2）①学校仍需要购买上面的两种笔共105支（每种笔的单价不变）．陈老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领2447元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么账肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的账算错了．②陈老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔．如果签字笔的单价为小于10元的整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为 2或6 元．【考点】二元一次方程的应用；一元一次方程的应用．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+4）元．根据买钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元建立方程，求出其解即可；（2）①根据第一问的结论设单价为21元的钢笔为y支，所以单价为25元的毛笔则为（105﹣y）支，求出方程的解不是整数则说明算错了；②设单价为21元的钢笔为z支，单价为25元的毛笔则为（105﹣y）支，签字笔的单价为a元，根据条件建立方程求出其解就可以得出结论．【解答】解：（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+4）元．由题意得：30x+45（x+4）＝1755，解得：x＝21，∴毛笔的单价为：x+4＝25．答：钢笔的单价为21元，毛笔的单价为25元．（2）①设单价为21元的钢笔为y支，所以单价为25元的毛笔则为（105﹣y）支．根据题意，得21y+25（105﹣y）＝2447．解之得：y＝44.5 （不符合题意）．∴陈老师肯定搞错了．②设单价为21元的钢笔为z支，签字笔的单价为a元，则根据题意，得21z+25（105﹣z）＝2447﹣a．∴4z＝178+a，∵a、z都是整数，∴178+a应被4整除，∴a为偶数，又因为a为小于10元的整数，∴a可能为2、4、6、8．当a＝2时，4z＝180，z＝45，符合题意；当a＝4时，4z＝182，z＝45.5，不符合题意；当a＝6时，4z＝184，z＝46，符合题意；当a＝8时，4z＝186，z＝46.5，不符合题意．所以签字笔的单价可能2元或6元．故答案为：2元或6元．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次方程解实际问题的运用及二元一次不定方程的运用，在解答时根据题意等量关系建立方程是关键．49．根据题意列二元一次方程组：（1）两批货物，第一批360吨，用5节火车皮和12辆汽车正好装完；第二批500吨，用7节火车皮和16辆汽车正好装完．每节火车皮和每辆汽车平均各装货物多少吨？（2）某校课外小组的学生准备外出活动；若每组7人，则余下3人；若每组8人，则有一组只有3人；求这个课外小组分成几组？共有多少人？【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】本题的等量关系有：（1）用5节火车皮和12辆汽车正好装360吨，用7节火车皮和16辆汽车正好装500吨；（2）每组7人×组数+3人＝总人数，每组8人×（组数﹣1）+3人＝总人数．【解答】解：（1）设每节火车皮、每辆汽车分别装x吨、y吨，则；解得：，答：每节火车皮、每辆汽车分别装60吨、5吨；（2）设分成x组，共有y人，则．解得：，答：有8组，共有59人．【点评】根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组，找到两个等量关系是解决本题的关键．50．材料：对任意一个n位正整数M（n≥3），若M与它的十位数字的p倍的差能被整数q整除，则称这个数为“p阶q级数”，例如：712是“5阶7级数”，因为＝101；712也是“12阶10级数”，因为＝70．（1）若415是“5阶k级数”，且k＜300，求k的最大值；（2）若一个四位数M的百位数字比个位数字大2，十位数字为1，且M既是“4阶13级数”又是“6阶5级数”，求这个四位数M．【考点】二元一次方程的应用．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据材料中给出的“p阶q级数”的含义及k的取值范围即可得出答案．（2）先设未知数表示出M，然后根据M既是“4阶13级数”又是“6阶5级数”列出式子并结合整除规律即可解答．【解答】解：（1）∵415是“5阶k级数”，所以为整数，∵k＜300，∴k的最大值为205．（2）设M为千位数字为x，个位数字为y，则百位数字为y+2，∴M＝1000x+100（y+2）+10+y，（0≤y≤7）∵M既是“4阶13级数”又是“6阶5级数”，∴与均为整数，∴M﹣4是13的整数倍，M﹣6是5的整数倍，∴y＝6或1，当y＝1时，M﹣4＝1000x+307，＝＝77x+24﹣，∴x＝8，∴M＝8311．当y＝6时，M﹣4＝1000x+812＝＝77x+63﹣，∴x＝6，∴M＝6816．综上所述，满足要求的M为8311或6816．【点评】本题以新定义的形式考查了二元一次不定方程的应用、数的整除规律．读懂材料、正确理解“p阶q级数”的含义是解答本题的关键．51．一条船顺流航行，每小时行24km，逆流航行，每小时行18km．为了求轮船在静水中的速度x与水的速度y，你能列出方程组来吗？【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】根据：顺水速度＝静水速度+水流速度，逆水速度＝静水速度﹣水流速度，即可列出方程．【解答】解：由题意得：．【点评】该题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的问题；解题的关键是深刻把握题意，准确找出命题中隐含的等量关系，正确列出方程．52．一项调查显示，全世界每天平均有13000人死于与吸烟有关的疾病，我国吸烟者约3.56亿人，占世界吸烟人数的四分之一，比较一年中死于与吸烟有关的疾病的人数占吸烟者总数的百分比，我国比世界其他国家约高0.1%．根据上述资料，试用二元一次方程组解决以下问题：我国及世界其他国家一年（按365天计算）中死于与吸烟有关的疾病的人数分别是多少？（只需设出未知数，列出方程组即可）【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有【答案】．【分析】设我国一年（按365天计算）中死于与吸烟有关的疾病的人数为x人，世界其他国家一年（按365天计算）中死于与吸烟有关的疾病的人数为y人，根据一年中死于与吸烟有关的疾病的人数占吸烟者总数的百分比，我国比世界其他国家约高0.1%，列出方程组解答即可．【解答】解：设我国一年（按365天计算）中死于与吸烟有关的疾病的人数为x人，世界其他国家一年（按365天计算）中死于与吸烟有关的疾病的人数为y人，根据题意得：．【点评】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是根据题意得出等量关系解答．53．为了保护环境，某市公交公司决定购买一批共10台全新的混合动力公交车，现有A、B两种型号，其中每台的价格，年省油量如表：经调查，购买一台A型车比购买一台B型车多20万元，购买2台A型车比购买3台B型车少60万元（1）请求出a和b的值；（2）若购买这批混合动力公交车每年能节省22.4万升汽油，求购买这批混合动力公交车需要多少万元？【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据“购买一台A型车比购买一台B型车多20万元，购买2台A型车比购买3台B型车少60万元，“即可列出关于a、b的二元一次方程组，求解即可；（2）设购买A型车x台，B型车y台，根据购买的车辆总数为10和购买这批混合动力公交车每年能节省22.4万升汽油，列出方程组，解得x和y的值，再根据总费用＝120x+100y，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意得：解得：．（2）设购买A型车x台，B型车y台，根据题意得：解得：∴120×6+100×4＝1120（万元）答：购买这批混合动力公交车需要1120万元．【点评】本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，根据题意，正确列出方程组，是解题的关键．54．如图，直线y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A，直线y2＝﹣2x+6的图象与y轴交于点B，两者相交于点C．（1）方程组的解是 ；（2）当y1＞0与y2＞0同时成立时，x的取值范围为 1＜x＜3 ；（3）求△ABC的面积；（4）在直线y1＝2x﹣2的图象上存在异于点C的另一点P，使得△ABC与△ABP的面积相等，请求出点P的坐标．【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数的性质．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据题意画出图象，利用其交点坐标得出方程组的解；（2）利用函数图象得出在x轴上方时，对应x的取值范围；（3）利用已知图象结合三角形面积求法得出答案；（4）利用三角形面积求法得出P点横坐标，进而代入函数解析式得出P点坐标．【解答】解：（1）如图所示：方程组的解为：；故答案为：；（2）如图所示：当y1＞0与y2＞0同时成立时，x取何值范围是：1＜x＜3；故答案为：1＜x＜3；（3）∵令x＝0，则y1＝﹣2，y2＝6，∴A（0，﹣2），B（0，6）．∴AB＝8．∴S△ABC＝×8×2＝8；（4）令P（x0，2x0﹣2），则S△ABP＝×8×|x0|＝8，∴x0＝±2．∵点P异于点C，∴x0＝﹣2，2x0﹣2＝﹣6．∴P（﹣2，﹣6）．【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组以及一次函数与一元一次不等式和三角形面积求法等知识，正确利用数形结合分析是解题关键．55．如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）．（1）求b的值；（2）不解关于x、y的方程组，请你直接写出它的解；（3）直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由．【考点】一次函数与二元一次方程（组）．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】（1）直接把P（1，b）代入y＝x+1可求出b的值；（2）利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解；（3）根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断．【解答】解：（1）把P（1，b）代入y＝x+1得b＝1+1＝2；（2）由（1）得P（1，2），所以方程组的解为；（3）直线l3：y＝nx+m经过点P．理由如下：因为y＝mx+n经过点P（1，2），所以m+n＝2，所以直线y＝nx+m也经过P点．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．利用一次函数图象上点的坐标特征对（3）进行判断．56．如图，一次函数y＝kx+b经过点（2，8），与一次函数y＝﹣x﹣交于点A（m，1）．（1）求函数y＝kx+b的表达式；（2）利用函数图象写出方程组的解 ．【考点】一次函数与二元一次方程（组）；待定系数法求一次函数解析式．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】（1）由点A的纵坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；（2）根据图象，结合交点A的坐标即可求得．【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x﹣经过点A（m，1）．∴1＝﹣m﹣，解得：m＝﹣，∴点A的坐标为（﹣，1）．将A（﹣，1）、B（2，8）代入y＝kx+b，得，解得：，∴一次函数的解析式为y＝2x+4；（2）∵一次函数y＝kx+b与一次函数y＝﹣x﹣交于点A（﹣，1），∴方程组的解为，故答案为．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数与二元一次方程组以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；（2）根据两直线的交点与解析式构成方程组的关系求得．57．若正比例函数y1＝﹣x的图象与一次函数y2＝x+m的图象交于点A，且点A的横坐标为﹣1．（1）求该一次函数的表达式；（2）直接写出方程组的解；（3）在一次函数y2＝x+m的图象上是否存在点B，使△AOB的面积为2，若存在，求出点B坐标；若不存在，请说明理由．【考点】一次函数与二元一次方程（组）；待定系数法求一次函数解析式．菁优网版权所有【答案】（1）y＝x+2；（2）；（3）（1，3）或（﹣3，﹣1）．【分析】（1）先求出A点的纵坐标，把A点的坐标代入y＝x+m，求出m即可；（2）根据方程组的特点和A点的坐标得出答案即可；（3）设直线y＝x+2与y轴的交点为C，与x轴的交点为D，则C（0，2），D（﹣2，0），求出△AOC和△AOD的面积，分为两种情况：①当B点在第一象限时，则S△BOC＝1，②当B点在第三象限时，则S△BOD＝1，根据三角形的面积求出B点的纵坐标或横坐标，即可求出答案．【解答】解：（1）将x＝﹣1代入y＝﹣x，得y＝1，则点A坐标为（﹣1，1），将A（﹣1，1）代入y＝x+m，得﹣1+m＝1，解得：m＝2，所以一次函数的解析式为y＝x+2；（2）∵方程组的解为，∴方程组的解为；（3）设直线y＝x+2与y轴的交点为C，与x轴的交点为D，则C（0，2），D（﹣2，0），∵A（﹣1，1），∴，①当B点在第一象限时，则S△BOC＝1，设B的横坐标为n，∴S△BOC＝＝1，解得：n＝1，即点B的横坐标是1，把，x＝1代入y＝x+2得：y＝3，∴B（1，3）；②当B点在第三象限时，则S△BOD＝1，设B的纵坐标为n，∴，解得：n＝﹣1，即点B的纵坐标是﹣1，把y＝﹣1代入y＝x+2得：x＝﹣3，∴B（﹣3，﹣1），综上，点B的坐标为（1，3）或（﹣3，﹣1）．【点评】本题考查了一次函数与二次一次方程组，一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键，用了分类讨论思想．58．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣1时，y＝3；当x＝0时，y＝1，当x＝1时，y＝1，求这个等式中a、b、c的值．【考点】解三元一次方程组．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】根据题意列出三元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：由题意得，，解得，a＝1，b＝﹣1，c＝1．【点评】本题考查的是三元一次方程组的解法，解三元一次方程组的一般步骤：①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值，得到方程组的解．59．若方程组的解x、y的和为﹣5，求k的值，并解此方程组．【考点】解三元一次方程组．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】解关于x、y的方程组，x，y即可用k表示出来，再根据x、y的和为﹣5，即可得到关于k的方程，从而求得k的值．【解答】解：②×2﹣①，得7x+6y＝6，③又由题意，得x+y＝﹣5，④联立③④，得方程组解得代入①，得k＝13．【点评】本题主要考查了方程组解的定义，方程组的解就是能够使方程组中的方程同时成立的未知数的解．60．一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？（2）为了节约运费，该市政府可以决定甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？（3）求出哪种方案的运费最省？最省是多少元．【考点】三元一次方程组的应用；二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】（1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费8200元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可；（2）设甲车有x辆，乙车有y辆，则丙车有z辆，列出等式，再根据x、y、z均为正整数，求出x，y的值，从而得出答案．（3）根据两种方案得出运费解答即可．【解答】解：（1）设需甲车型x辆，乙车型y辆，得：解得答：需甲车型8辆，需车型10辆；（2）设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得：消去z得5x+2y＝40，x＝，因x，y是正整数，且不大于16，得y＝5，10，15，由z是正整数，解得，，有两种运送方案：①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆；（3）两种方案的运费分别是：①400×6+500×5+600×5＝7900；②400×4+500×10+600×2＝7800．答：甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆，最少运费是7800元．【点评】本题考查了三元一次方程组和三元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解．利用整体思想和未知数的实际意义通过筛选法可得到未知数的具体解，这种方法要掌握． 考点卡片1．绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值． ①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数． （2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）2．非负数的性质：绝对值在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．3．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．4．有理数的混合运算（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．5．规律型：图形的变化类图形的变化类的规律题首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．6．一元一次方程的定义（1）一元一次方程的定义只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．（2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法．7．一元一次方程的应用（一）一元一次方程解应用题的类型有：（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；（5）行程问题（路程＝速度×时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．列一元一次方程解应用题的五个步骤1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．3．列：根据等量关系列出方程．4．解：解方程，求得未知数的值．5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．8．二元一次方程的定义（1）二元一次方程的定义含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．9．二元一次方程的解（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．10．解二元一次方程二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．11．由实际问题抽象出二元一次方程（1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．（2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．（3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式．12．二元一次方程的应用二元一次方程的应用（1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．（4）根据未知数的实际意义求其整数解．13．二元一次方程组的定义（1）二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．（2）二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．14．二元一次方程组的解（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．15．解二元一次方程组（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．16．由实际问题抽象出二元一次方程组（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．17．二元一次方程组的应用（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．（二）设元的方法：直接设元与间接设元．当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．18．同解方程组同解方程组定义：如果两个方程组的解相同，那么这两个方程组就是同解方程组．关于两个方程组同解的问题，要知道两个方程组四个二元一次方程都有同一组公共解，即随便把其中两个方程联立成方程组，解仍然相同．19．解三元一次方程组（1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．（2）解三元一次方程组的一般步骤：①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可．20．三元一次方程组的应用在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．（1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础．（2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性．21．一次函数的性质一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．22．待定系数法求一次函数解析式待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．23．一次函数与二元一次方程（组）（1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．（2）二元一次方程（组）与一次函数的关系（3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/10 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北师大新版八年级上学期《第5章 二元一次方程组》单元测试卷一．选择题（共16小题）1．下列各式中，是关于x，y的二元一次方程的是（ ）A．x﹣2y＝3 B．x+xy﹣3＝0 C．2x+y D．﹣y＝12．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）A．x﹣2y＝4z B．xy+1＝0 C．+4y＝6 D．+y＝13．在下列方程中，其中二元一次方程的个数是（ ）①4x+5＝1；②3x﹣2y＝1；③＝1；④xy+y＝14．A．1 B．2 C．3 D．44．下列各组数中，是二元一次方程5x﹣y＝2的一个解的是（ ）A． B． C． D．5．已知二元一次方程2x﹣y＝1，则用x的代数式表示y为（ ）A．y＝1﹣2x B．y＝2x﹣1 C．x＝ D．x＝6．下列方程中是二元一次方程组的是（ ）A． B． C． D．7．已知方程组的解满足x+y＝2，则k的算术平方根为（ ）A．4 B．﹣2 C．﹣4 D．28．已知：|2x+y﹣3|+（x﹣3y﹣5）2＝0，则yx的值为（ ）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣29．若|x﹣y﹣1|+3（x+y）2＝0，则x、y的值为（ ）A．x＝0.5，y＝0.5 B．x＝﹣0.5，y＝﹣0.5 C．x＝﹣0.5，y＝0.5 D．x＝0.5，y＝﹣0.510．已知方程组和有相同的解，则a，b的值为（ ）A． B． C． D．11．某人带了100元去市场买水果，他买了1千克的哈密瓜，2千克的青提葡萄，还剩30元．设哈密瓜每千克x元，青提葡萄每千克y元，得方程x+2y＝70．则下列说法中，正确的是（ ）A．1千克青提葡萄的价格可以是36元 B．若1千克哈密瓜的价格是12元，则1千克青提葡萄的价格是20元 C．若是方程x+2y＝70的解，则m，n都可以表示哈密瓜、青提葡萄的单价 D．若m，n分别表示哈密瓜、青提葡萄的单价，则m，n一定是方程x+2y＝70的解12．游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽是红色游泳帽的2倍，设男孩有x人，女孩有y人，则下列方程组正确的是（ ）A． B． C． D．13．王阿姨以每个m元的价格买进苹果100个，现以每个比进价多20%价格卖出70个后，再以每个比进价低n元的价格将剩下的30个卖出，则全部卖出100个苹果所得的金额是W元，下列方程正确的是（ ）A．70m+30（m﹣n）＝W B．70×（1+20%）m+30（m﹣n）＝W C．70×（1+20%）m+30n＝W D．100×（1+20%）m﹣30（m﹣n）＝W14．一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大9，则这样的两位数共有（ ）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个15．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？大意是说：九枚黄金与十一枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻13两．问：每枚黄金、白银的重量各为多少？设一枚黄金的重量为x两，一枚白银的重量为y两，则可列方程组为（ ）A． B． C． D．16．下列方程是二元一次方程的是（ ）A．2x+3y＝z B．+y＝5 C．+y＝0 D．y＝（x+8）二．填空题（共15小题）17．已知，方程xa﹣1﹣2y2+b+3＝0是关于x，y的二元一次方程，则a+b＝ ．18．若（m﹣2）xn+＝0是二元一次方程，则m+n的值 ．19．若关于x，y的方程（k﹣2）x|k|﹣1﹣7y＝8是二元一次方程，则k＝ ．20．已知是方程kx﹣y＝3的解，则k＝ ．21．把方程x﹣3y＝8写成用含y的代数式表示x的形式为 ．22．方程组是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值是 ．23．写出一个以为解的二元一次方程组 ．24．方程组：的解为 ．25．如果实数x、y满足方程组，那么x2﹣y2＝ ．26．已知方程组和方程组有相同的解，则m的值是 ．27．“今有50鹿进舍，小舍容4鹿，大舍容6鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，若每个圈舍都住满，求所需圈舍的间数．设需要大圈舍x间，小圈舍y间，则列二元一次方程为 ．28．方程术是《九章算术》最高的数学成就，其中“盈不足”一章中曾记载“今有大器五小器一容三斛（“斛”是古代的一种容量单位），大器一小器五容二斛，问大小器各容几何？”译文：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，问1个大桶和1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，依题意，可列二元一次方程组为 ．29．如图所示的各图表示由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n（n＞1）盆花，每个图案花盆的总数为s．按此规律推断，以s、n为未知数的二元一次方程为 ．30．小慧带着妈妈给的现金去蛋糕店买蛋糕，他若买5个巧克力蛋糕和3个桂圆蛋糕，则妈妈给的钱不够，还缺16元；若买3个巧克力蛋糕和5个桂圆蛋糕，则妈妈给的钱还有剩余，还多10元，若他只买8个桂圆蛋糕，则剩余的钱为 元．31．某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满．设大房间有x个，小房间有y个，则列出方程组为 ．三．解答题（共29小题）32．已知关于x，y的方程（m+2）x|m|﹣1+y2n+m＝5是二元一次方程，求m，n的值．33．若是二元一次方程ax﹣by＝5和ax+2by＝8的公共解，求b﹣2a的值．34．已知方程（2m﹣6）x|m﹣2|+（n﹣2）﹣3＝0是二元一次方程，求m，n的值．35．关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c是常数），b＝a+1，c＝b+1．（1）当时，求c的值．（2）当a＝时，求满足|x|＜5，|y|＜5的方程的整数解．（3）若a是正整数，求证：仅当a＝1时，该方程有正整数解．36．已知关于x、y的方程（k2﹣4）x2+（k+2）x+（k﹣6）y＝k+8，试问：①当k为何值时此方程为一元一次方程？②当k为何值时此方程为二元一次方程？37．对于有理数x，y，定义新运算：x#y＝ax+by，x⊕y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知1#1＝1，3⊕2＝8．（1）求a，b的值；（2）若关于x，y的方程组的解也满足方程x+y＝3，求m的值；（3）若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．38．规定：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c有无数组解，每组解记为M（x，y），称M（x，y）为“团结点”，将这些“团结点”连接得到一条直线，称这条直线是“团结点”的“合作线”，回答下列问题：（1）已知A（﹣1，3），B（4，﹣1），C（1，2），则是“合作线”2x+3y＝8的“团结点”的是 ；（2）设P（1，﹣1），Q（4，4）是“合作线”（m2+1）x+ny＝8的两个“团结点”，求关于x，y的二元一次方程的正整数解；（3）已知h，t是实数，且，若是“合作线”2x﹣4y＝s的一个“团结点”，求s的最大值与最小值的和．39．求方程7x+19y＝213的所有正整数解．40．已知方程组是二元一次方程组，求m的值．41．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为，乙看错了方程组中的b，得到的解为．（1）求正确的a，b的值；（2）求原方程组的解．42．．43．解方程组．44．已知关于x，y的方程组和有相同解，求（﹣a）b值．45．大型客车每辆能坐54人，中型客车每辆能坐36人，现有378人，问需要大、中型客车各几辆才能使每个人上车都有座位，且每辆车正好坐满？46．将含铁72%和含铁58%的两种矿石，混合后配成含铁64%的矿石70吨，若设需含铁72%的矿石x吨，含铁58%的矿石y吨，列出方程组．47．列方程组解应用题：甲乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后3小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出发后2.5小时相遇．甲、乙两人每小时各走多少千米？48．某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元，其中每支毛笔比钢笔贵4元．（1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？（2）①学校仍需要购买上面的两种笔共105支（每种笔的单价不变）．陈老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领2447元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么账肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的账算错了．②陈老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔．如果签字笔的单价为小于10元的整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为 元．49．根据题意列二元一次方程组：（1）两批货物，第一批360吨，用5节火车皮和12辆汽车正好装完；第二批500吨，用7节火车皮和16辆汽车正好装完．每节火车皮和每辆汽车平均各装货物多少吨？（2）某校课外小组的学生准备外出活动；若每组7人，则余下3人；若每组8人，则有一组只有3人；求这个课外小组分成几组？共有多少人？50．材料：对任意一个n位正整数M（n≥3），若M与它的十位数字的p倍的差能被整数q整除，则称这个数为“p阶q级数”，例如：712是“5阶7级数”，因为＝101；712也是“12阶10级数”，因为＝70．（1）若415是“5阶k级数”，且k＜300，求k的最大值；（2）若一个四位数M的百位数字比个位数字大2，十位数字为1，且M既是“4阶13级数”又是“6阶5级数”，求这个四位数M．51．一条船顺流航行，每小时行24km，逆流航行，每小时行18km．为了求轮船在静水中的速度x与水的速度y，你能列出方程组来吗？52．一项调查显示，全世界每天平均有13000人死于与吸烟有关的疾病，我国吸烟者约3.56亿人，占世界吸烟人数的四分之一，比较一年中死于与吸烟有关的疾病的人数占吸烟者总数的百分比，我国比世界其他国家约高0.1%．根据上述资料，试用二元一次方程组解决以下问题：我国及世界其他国家一年（按365天计算）中死于与吸烟有关的疾病的人数分别是多少？（只需设出未知数，列出方程组即可）53．为了保护环境，某市公交公司决定购买一批共10台全新的混合动力公交车，现有A、B两种型号，其中每台的价格，年省油量如表：经调查，购买一台A型车比购买一台B型车多20万元，购买2台A型车比购买3台B型车少60万元（1）请求出a和b的值；（2）若购买这批混合动力公交车每年能节省22.4万升汽油，求购买这批混合动力公交车需要多少万元？54．如图，直线y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A，直线y2＝﹣2x+6的图象与y轴交于点B，两者相交于点C．（1）方程组的解是 ；（2）当y1＞0与y2＞0同时成立时，x的取值范围为 ；（3）求△ABC的面积；（4）在直线y1＝2x﹣2的图象上存在异于点C的另一点P，使得△ABC与△ABP的面积相等，请求出点P的坐标．55．如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）．（1）求b的值；（2）不解关于x、y的方程组，请你直接写出它的解；（3）直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由．56．如图，一次函数y＝kx+b经过点（2，8），与一次函数y＝﹣x﹣交于点A（m，1）．（1）求函数y＝kx+b的表达式；（2）利用函数图象写出方程组的解 ．57．若正比例函数y1＝﹣x的图象与一次函数y2＝x+m的图象交于点A，且点A的横坐标为﹣1．（1）求该一次函数的表达式；（2）直接写出方程组的解；（3）在一次函数y2＝x+m的图象上是否存在点B，使△AOB的面积为2，若存在，求出点B坐标；若不存在，请说明理由．58．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣1时，y＝3；当x＝0时，y＝1，当x＝1时，y＝1，求这个等式中a、b、c的值．59．若方程组的解x、y的和为﹣5，求k的值，并解此方程组．60．一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？（2）为了节约运费，该市政府可以决定甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？（3）求出哪种方案的运费最省？最省是多少元． 北师大新版八年级上学期《第5章 二元一次方程组》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．下列各式中，是关于x，y的二元一次方程的是（ ）A．x﹣2y＝3 B．x+xy﹣3＝0 C．2x+y D．﹣y＝1【考点】二元一次方程的定义．菁优网版权所有【答案】A【分析】根据含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程可得答案．【解答】解：A、是关于x，y的二元一次方程，故此选项正确；B、不是关于x，y的二元一次方程，故此选项错误；C、不是关于x，y的二元一次方程，故此选项错误；D、不是关于x，y的二元一次方程，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了二元一次方程定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．2．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）A．x﹣2y＝4z B．xy+1＝0 C．+4y＝6 D．+y＝1【考点】二元一次方程的定义．菁优网版权所有【答案】D【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：A．是三元一次次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；B．是二元二次方程，故本选项不符合题意；C．分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；D．是二元一次方程，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了二元一次方程的定义，注意：含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫二元一次方程．3．在下列方程中，其中二元一次方程的个数是（ ）①4x+5＝1；②3x﹣2y＝1；③＝1；④xy+y＝14．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】二元一次方程的定义．菁优网版权所有【答案】A【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别．【解答】解：①4x+5＝1不是二元一次方程，因为只有一个未知数；②3x﹣2y＝1是二元一次方程；③＝1不是二元一次方程，因为不是整式方程；④xy+y＝14不是二元一次方程，因为未知数的最高项的次数为2．故选：A．【点评】二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．4．下列各组数中，是二元一次方程5x﹣y＝2的一个解的是（ ）A． B． C． D．【考点】二元一次方程的解．菁优网版权所有【答案】D【分析】把x与y的值代入方程检验即可．【解答】解：A、把代入方程得：左边＝15﹣1＝14，右边＝2，∵左边≠右边，∴不是方程的解；B、把代入方程得：左边＝﹣2，右边＝2，∵左边≠右边，∴不是方程的解；C、把代入方程得：左边＝﹣2，右边＝2，∵左边≠右边，∴不是方程的解；D、把代入方程得：左边＝5﹣3，右边＝2，∵左边＝右边，∴是方程的解，故选：D．【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．5．已知二元一次方程2x﹣y＝1，则用x的代数式表示y为（ ）A．y＝1﹣2x B．y＝2x﹣1 C．x＝ D．x＝【考点】解二元一次方程．菁优网版权所有【答案】B【分析】把方程2x﹣y＝1写成用含x的代数式表示y，需要进行移项．【解答】解：移项，得y＝2x﹣1．故选：B．【点评】本题考查的是方程的基本运算技能：移项、合并同类项、系数化为1等．6．下列方程中是二元一次方程组的是（ ）A． B． C． D．【考点】二元一次方程组的定义．菁优网版权所有【答案】C【分析】利用二元一次方程组的定义判断即可．【解答】解：是二元一次方程组，故选：C．【点评】此题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解本题的关键．7．已知方程组的解满足x+y＝2，则k的算术平方根为（ ）A．4 B．﹣2 C．﹣4 D．2【考点】二元一次方程组的解．菁优网版权所有【答案】D【分析】方程组中两方程相加表示出x+y，代入x+y＝2中计算即可求出k的值．【解答】解：，①+②得：3（x+y）＝k+2，解得：x+y＝，代入x+y＝2中得：k+2＝6，解得：k＝4，则4的算术平方根为2，故选：D．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．8．已知：|2x+y﹣3|+（x﹣3y﹣5）2＝0，则yx的值为（ ）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【考点】解二元一次方程组；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．菁优网版权所有【答案】A【分析】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可求出所求．【解答】解：∵|2x+y﹣3|+（x﹣3y﹣5）2＝0，∴，①×3+②得：7x＝14，解得：x＝2，把x＝2代入①得：y＝﹣1，则原式＝1．故选：A．【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键．9．若|x﹣y﹣1|+3（x+y）2＝0，则x、y的值为（ ）A．x＝0.5，y＝0.5 B．x＝﹣0.5，y＝﹣0.5 C．x＝﹣0.5，y＝0.5 D．x＝0.5，y＝﹣0.5【考点】解二元一次方程组；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．菁优网版权所有【答案】D【分析】本题可根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0．”，得到方程组，解出x、y的值即可．【解答】解：依题意得：，由（1）得：x＝y+1…（3），将（3）代入（2）中得：y+1+y＝2y+1＝0，y＝﹣0.5…（4）．将（4）代入（3）得：x＝0.5．故选：D．【点评】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．10．已知方程组和有相同的解，则a，b的值为（ ）A． B． C． D．【考点】同解方程组．菁优网版权所有【答案】A【分析】可以首先解方程组，求得方程组的解，再代入方程组，即可求得a，b的值．【解答】解：解方程组，得，代入方程组，得到，解得，故选：A．【点评】本题主要考查了方程组的解的定义，首先求出方程组的解是解决本题的关键．11．某人带了100元去市场买水果，他买了1千克的哈密瓜，2千克的青提葡萄，还剩30元．设哈密瓜每千克x元，青提葡萄每千克y元，得方程x+2y＝70．则下列说法中，正确的是（ ）A．1千克青提葡萄的价格可以是36元 B．若1千克哈密瓜的价格是12元，则1千克青提葡萄的价格是20元 C．若是方程x+2y＝70的解，则m，n都可以表示哈密瓜、青提葡萄的单价 D．若m，n分别表示哈密瓜、青提葡萄的单价，则m，n一定是方程x+2y＝70的解【考点】由实际问题抽象出二元一次方程；二元一次方程的解．菁优网版权所有【答案】D【分析】根据题意和题目中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵设哈密瓜每千克x元，青提葡萄每千克y元，得方程x+2y＝70，∴当y＝36时，x＝﹣2，此种情况不合实际，故选选项A不正确；当x＝12时，12+2y＝70，解得y＝29，故选项B不正确；若是方程x+2y＝70的解，则m，n不一定可以表示哈密瓜、青提葡萄的单价，如m＝﹣2，n＝36，故选项C不正确；若m，n分别表示哈密瓜、青提葡萄的单价，则m，n一定是方程x+2y＝70的解，故选项D正确；故选：D．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程、二元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用二元一次方程的知识解答．12．游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽是红色游泳帽的2倍，设男孩有x人，女孩有y人，则下列方程组正确的是（ ）A． B． C． D．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有【答案】C【分析】利用每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色游泳帽比红色的多1倍，进而分别得出等式即可．【解答】解：设男孩x人，女孩有y人，根据题意得出：，解得：，故选：C．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意利用已知得出正确等量关系是解题关键．13．王阿姨以每个m元的价格买进苹果100个，现以每个比进价多20%价格卖出70个后，再以每个比进价低n元的价格将剩下的30个卖出，则全部卖出100个苹果所得的金额是W元，下列方程正确的是（ ）A．70m+30（m﹣n）＝W B．70×（1+20%）m+30（m﹣n）＝W C．70×（1+20%）m+30n＝W D．100×（1+20%）m﹣30（m﹣n）＝W【考点】由实际问题抽象出二元一次方程．菁优网版权所有【答案】B【分析】王阿姨全部苹果共卖得金额＝先卖70个苹果的总价+剩下的30个苹果卖出的总价．根据等量关系直接列出方程即可．【解答】解：依题意得，先卖70个苹果的单价是m（1+20%）元，剩下的30个苹果卖出的单价是（m﹣n）元，∴全部苹果共卖得金额是：70×（1+20%）×m+30（m﹣n）元．∴70×（1+20%）m+30（m﹣n）＝W故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，正确理解文字语言中的关键词，从而明确其中的运算关系．注意多每个比进价多20%是原来的价钱m再加上20%m．14．一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大9，则这样的两位数共有（ ）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【考点】二元一次方程的应用．菁优网版权所有【答案】D【分析】先设原来的两位数为10a+b，根据交换其个位数与十位数的位置，所得新两位数比原两位数大9，列出方程，得出b＝a+1，因此a可取1到8个数，并且这8个数的特点都是个位数字比十位数字大1的两位数．【解答】解：设原来的两位数为10a+b，根据题意得：10a+b+9＝10b+a，解得：b＝a+1，因为a可取1到8个数，所以这两位数共有8个，它们分别，12，23，34，45，56，67，78，89，都是个位数字比十位数字大1的两位数．故选：D．【点评】此题考查了二元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，找合适的等量关系，列出方程，再求解，弄清两位数的表示是：10×十位上的数+个位上的数，注意不要漏数．15．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？大意是说：九枚黄金与十一枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻13两．问：每枚黄金、白银的重量各为多少？设一枚黄金的重量为x两，一枚白银的重量为y两，则可列方程组为（ ）A． B． C． D．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有【答案】D【分析】直接利用“黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，以及两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两”分别得出等式得出答案．【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得：．故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．16．下列方程是二元一次方程的是（ ）A．2x+3y＝z B．+y＝5 C．+y＝0 D．y＝（x+8）【考点】二元一次方程的定义．菁优网版权所有【答案】D【分析】根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程进行分析．【解答】解：A、是三元一次方程，故此选项错误；B、是分式方程，故此选项错误；C、是二元二次方程，故此选项错误；D、是二元一次方程，故此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．二．填空题（共15小题）17．已知，方程xa﹣1﹣2y2+b+3＝0是关于x，y的二元一次方程，则a+b＝ 1 ．【考点】二元一次方程的定义．菁优网版权所有【答案】1．【分析】利用二元一次方程的定义得出关于a，b的方程组，解方程并代入代数式即可．【解答】解：∵方程xa﹣1﹣2y2+b+3＝0是关于x，y的二元一次方程，∴a﹣1＝1，2+b＝1，解得a＝2，b＝﹣1，∴a+b＝2﹣1＝1．故答案为：1．【点评】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．18．若（m﹣2）xn+＝0是二元一次方程，则m+n的值 ﹣1 ．【考点】二元一次方程的定义．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】根据二元一次方程的定义得出m2﹣3＝1且m﹣2≠0且n＝1，求出m后代入，即可求出答案．【解答】解：∵（m﹣2）xn+＝0是二元一次方程，∴m2﹣3＝1且m﹣2≠0且n＝1，解得：m＝﹣2，n＝1，∴m+n＝﹣2+1＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了二元一次方程的定义，能根据二元一次方程的定义得出m2﹣3＝1、m﹣2≠0、n＝1是解此题的关键．19．若关于x，y的方程（k﹣2）x|k|﹣1﹣7y＝8是二元一次方程，则k＝ ﹣2 ．【考点】二元一次方程的定义；绝对值．菁优网版权所有【答案】﹣2．【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，据此解答即可．【解答】解：根据题意得：，解得k＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查二元一次方程的概念，解题的关键是熟悉掌握二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程．20．已知是方程kx﹣y＝3的解，则k＝ 2 ．【考点】二元一次方程的解．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数k的一元一次方程，从而可以求出k的值．【解答】解：把代入方程kx﹣y＝3，得2k﹣1＝3，解得k＝2．【点评】解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数k为未知数的方程．一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程的解的定义可以求方程中其他字母的值．21．把方程x﹣3y＝8写成用含y的代数式表示x的形式为 x＝3y+8 ．【考点】解二元一次方程．菁优网版权所有【答案】x＝3y+8．【分析】把y看作已知数表示出x即可．【解答】解：方程x﹣3y＝8，解得：x＝3y+8．故答案为：x＝3y+8．【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．22．方程组是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值是 ﹣1 ．【考点】二元一次方程组的定义．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】利用二元一次方程组的定义确定出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：由题意得：|a|＝1，b﹣5＝0，a﹣1≠0，解得：a＝﹣1，b＝5，则原式＝（﹣1）5＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解本题的关键．23．写出一个以为解的二元一次方程组 （答案不唯一） ．【考点】二元一次方程组的解．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】由2+1＝3，2﹣1＝1，列出方程组即可．【解答】解：根据题意得：．故答案为（答案不唯一）．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．24．方程组：的解为 ．【考点】解二元一次方程组．菁优网版权所有【答案】．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①+②得：3x＝15，解得：x＝5，把x＝5代入①得：5﹣y＝3，解得：y＝2，则方程组的解为．故答案为：．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．25．如果实数x、y满足方程组，那么x2﹣y2＝ 2 ．【考点】解二元一次方程组．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】由第一个方程求出x﹣y的值，所求式子利用平方差公式化简后，将x+y与x﹣y的值代入计算即可求出值．【解答】解：，由①得：x﹣y＝，则x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝4×＝2．故答案为：2【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：加减消元法与代入消元法．26．已知方程组和方程组有相同的解，则m的值是 5 ．【考点】同解方程组．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】既然两方程组有相同的解，那么将有一组x、y值同时适合题中四个方程，把题中已知的两个方程组成一个方程组，解出x、y后，代入x+y+m＝0中直接求解即可．【解答】解：解方程组，得，代入x+y+m＝0得，m＝5．【点评】当给出的未知数较多时，应选择只含有2个相同未知数的2个方程组成方程组求解．27．“今有50鹿进舍，小舍容4鹿，大舍容6鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，若每个圈舍都住满，求所需圈舍的间数．设需要大圈舍x间，小圈舍y间，则列二元一次方程为 6x+4y＝50 ．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程．菁优网版权所有【答案】6x+4y＝50．【分析】根据今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，可以列出相应的方程．【解答】解：由题意可得，6x+4y＝50，故答案为：6x+4y＝50．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．28．方程术是《九章算术》最高的数学成就，其中“盈不足”一章中曾记载“今有大器五小器一容三斛（“斛”是古代的一种容量单位），大器一小器五容二斛，问大小器各容几何？”译文：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，问1个大桶和1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，依题意，可列二元一次方程组为 ．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”列方程组即可．【解答】解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，依题意，可列二元一次方程组，故答案为：．【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．29．如图所示的各图表示由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n（n＞1）盆花，每个图案花盆的总数为s．按此规律推断，以s、n为未知数的二元一次方程为 s＝3n﹣3 ．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程；规律型：图形的变化类．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】由图可知：第一图：有花盆3个，每条边有花盆2个，那么s＝3×2﹣3；第二图：有花盆6个，每条边有花盆3个，那么s＝3×3﹣3；第三图：有花盆9个，每条边有花盆4个，那么s＝3×4﹣3；…由此可知以s，n为未知数的二元一次方程为s＝3n﹣3．【解答】解：根据图案组成的是三角形的形状，则其周长等于边长的3倍，但由于每个顶点重复了一次．所以s＝3n﹣3．故答案为：s＝3n﹣3．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程．要注意给出的图片中所包含的规律，然后根据规律列出方程．30．小慧带着妈妈给的现金去蛋糕店买蛋糕，他若买5个巧克力蛋糕和3个桂圆蛋糕，则妈妈给的钱不够，还缺16元；若买3个巧克力蛋糕和5个桂圆蛋糕，则妈妈给的钱还有剩余，还多10元，若他只买8个桂圆蛋糕，则剩余的钱为 49 元．【考点】二元一次方程的应用．菁优网版权所有【答案】49．【分析】设巧克力单价为x元，买1个桂圆蛋糕y元，根据妈妈给的钱不变列出方程5x+3y﹣16＝3x+5y+10，由此得到：x﹣y＝13；然后根据题意知，剩余的钱为：5x+3y﹣16﹣8y＝5（x﹣y）﹣16，整体代入求值．【解答】解：设巧克力单价为x元，买1个桂圆蛋糕y元，由题意可知：5x+3y﹣16＝3x+5y+10．整理，得x﹣y＝13．因为他只买8个桂圆蛋糕的钱是8y元，则他剩余的钱为：5x+3y﹣16﹣8y＝5（x﹣y）﹣16＝5×13﹣16＝49．故答案为：49．【点评】本题主要考查了二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．31．某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满．设大房间有x个，小房间有y个，则列出方程组为 ．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有【答案】．【分析】根据某旅店一共70个房间，大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满．可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．【解答】解：设大房间有x个，小房间有y个，由某旅店一共70个房间，可得x+y＝70，由大房间每间住8个人，小房间每间住6个人，一共480个学生刚好住满，可得8x+6y＝480，故，故答案为：．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．三．解答题（共29小题）32．已知关于x，y的方程（m+2）x|m|﹣1+y2n+m＝5是二元一次方程，求m，n的值．【考点】二元一次方程的定义；绝对值．菁优网版权所有【答案】m＝2，n＝．【分析】利用二元一次方程的定义进行解答即可．【解答】解：由题意得：，解得．【点评】此题主要考查了二元一次方程定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．33．若是二元一次方程ax﹣by＝5和ax+2by＝8的公共解，求b﹣2a的值．【考点】二元一次方程的解．菁优网版权所有【答案】﹣5．【分析】将分别代入ax﹣by＝5和ax+2by＝2，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，再代入所求式子计算即可．【解答】解：将分别代入ax﹣by＝5和ax+2by＝2得：，解得：，∴b﹣2a＝1﹣2×3＝﹣5．【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．34．已知方程（2m﹣6）x|m﹣2|+（n﹣2）﹣3＝0是二元一次方程，求m，n的值．【考点】二元一次方程的定义．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程可得2m﹣6≠0，|m﹣2|＝1；n﹣2≠0，n2﹣3＝1，再解即可．【解答】解：由题意得：2m﹣6≠0，|m﹣2|＝1，解得：m＝1，n﹣2≠0，n2﹣3＝1，解得：n＝﹣2．【点评】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．35．关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c是常数），b＝a+1，c＝b+1．（1）当时，求c的值．（2）当a＝时，求满足|x|＜5，|y|＜5的方程的整数解．（3）若a是正整数，求证：仅当a＝1时，该方程有正整数解．【考点】二元一次方程的解；绝对值．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】（1）由题意，得3a+a+1＝a+2，解得a＝，即可求得c＝；（2）当a＝时，方程为+y＝，即x+3y＝5，根据方程即可求得；（3）由题意，得a（x+y﹣1）＝2﹣y①，x、y均为正整数，则x+y﹣1是正整数，a是正整数，则2﹣y是正整数，从而求得y＝1，把y＝1代入①得，ax＝1，即可求得a＝1，此时方程的正整数解是．【解答】解：（1）∵b＝a+1，c＝b+1．∴c＝a+2，由题意，得3a+a+1＝a+2，解得a＝，∴c＝a+2＝；（2）当a＝时，+y＝，化简得，x+3y＝5，∴符合题意的整数解是：，，；（3）由题意，得ax+（a+1）y＝a+2，整理得，a（x+y﹣1）＝2﹣y①，∵x、y均为正整数，∴x+y﹣1是正整数，∵a是正整数，∴2﹣y是正整数，∴y＝1，把y＝1代入①得，ax＝1，∴a＝1，此时，a＝1，b＝2，c＝3，方程的正整数解是．【点评】本题考查了二元一次方程的解，绝对值的性质，熟知一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解是解答此题的关键．36．已知关于x、y的方程（k2﹣4）x2+（k+2）x+（k﹣6）y＝k+8，试问：①当k为何值时此方程为一元一次方程？②当k为何值时此方程为二元一次方程？【考点】二元一次方程的定义；一元一次方程的定义．菁优网版权所有【答案】（1）k＝﹣2；（2）k＝2．【分析】（1）若方程为关于x、y的一元一次方程，则二次项系数应为0，然后x或y的系数中有一个为0，另一个不为0即可．（2）若方程为关于x、y的二元一次方程，则二次项系数应为0且x或y的系数不为0．【解答】解：（1）因为方程为关于x、y的一元一次方程，所以：①，解得k＝﹣2；②，无解，所以k＝﹣2时，方程为一元一次方程．（2）根据二元一次方程的定义可知，解得k＝2，所以k＝2时，方程为二元一次方程．【点评】此题考查了一元一次方程与二元一次方程的定义，解答此题的关键是熟知一元一次方程与二元一次方程的定义．37．对于有理数x，y，定义新运算：x#y＝ax+by，x⊕y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知1#1＝1，3⊕2＝8．（1）求a，b的值；（2）若关于x，y的方程组的解也满足方程x+y＝3，求m的值；（3）若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．【考点】二元一次方程的解；有理数的混合运算．菁优网版权所有【答案】（1）；（2）m＝1；（3）或．【分析】（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可；（2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程x+y＝3求解即可；（3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可．【解答】解：（1）由题意得，解得；（2）依题意得，解得，∵x+y＝3，∴m+1+3m﹣2＝3，解得m＝1；（3）由题意得的解为，由组得，整理，得，即，解得或．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键．38．规定：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c有无数组解，每组解记为M（x，y），称M（x，y）为“团结点”，将这些“团结点”连接得到一条直线，称这条直线是“团结点”的“合作线”，回答下列问题：（1）已知A（﹣1，3），B（4，﹣1），C（1，2），则是“合作线”2x+3y＝8的“团结点”的是 C（1，2） ；（2）设P（1，﹣1），Q（4，4）是“合作线”（m2+1）x+ny＝8的两个“团结点”，求关于x，y的二元一次方程的正整数解；（3）已知h，t是实数，且，若是“合作线”2x﹣4y＝s的一个“团结点”，求s的最大值与最小值的和．【考点】二元一次方程的解．菁优网版权所有【答案】（1）C（1，2）；（2）；（3）0．【分析】（1）将A，B，C三点的坐标分别代入2x+3y＝8中，能使方程成立的是“团结点”；（2）利用“团结点”和“合作线”的定义，列出方程组求得m，n的值，然后将m，n的值代入二元一次方程求得正整数解；（3）利用“团结点”和“合作线”的定义，分别得出s与和s与|t|的关系式，利用非负数的意义得到s的最大值和最小值，则s的最大值与最小值的和可求．【解答】解：（1）将A，B，C三点坐标代入方程2x+3y＝8，只有是方程2x+3y＝8的解，∴“合作线”的团结点的是C（1，2）．故答案为：C（1，2）．（2）将代入P（1，﹣1），Q（4，4）方程（m2+1）x+ny＝8得：得：．解得：．代入方程得：5x+6y＝26．∴此方程的正整数解为：．（3）∵，∴＝6﹣2|t|，|t|＝．∵是“合作线”2x﹣4y＝s的一个“团结点”，∴s＝2﹣4|t|．∴s＝2（6﹣2|t|）﹣4|t|＝12﹣8|t|，或s＝2﹣4×＝4﹣12．∵≥0，|t|≥0，∴由s＝12﹣8|t|，可得s有最大值12．由s＝4﹣12，可得s有最小值﹣12．∴s的最大值与最小值的和为12﹣12＝0．【点评】本题主要考查了二元一次方程的解和解二元一次方程组，以及非负数的应用．本题是阅读型题目，准确理解题干中的定义和公式，并熟练运用是解题的关键．39．求方程7x+19y＝213的所有正整数解．【考点】解二元一次方程．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】首先把原方程中的y用含x的式子表示为，再根据解是整数分别讨论解的值．【解答】解：用方程7x+19y＝213①的最小系数7除方程①的各项，并移项得x＝＝30﹣2y+②因为x，y是整数，故也是整数，于是5y+7u＝3．则y＝③，令＝v，则2u+5v＝3．④由观察知u＝﹣1，v＝1是方程④的一组解．将u＝﹣1，v＝1代入③得y＝2．y＝2，代入②得x＝25．于是方程①有一组解x0＝25，y0＝2，所以它的一切解为，由于要求方程的正整数解，所以，解不等式得t只能取0，1，因此得原方程的正整数解为：和．【点评】本题考查了二元一次方程的解法，此题运用辗转法求解，难度比较大．40．已知方程组是二元一次方程组，求m的值．【考点】二元一次方程组的定义．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】根据二元一次方程组的定义得到|m﹣2|﹣2＝1且m﹣3≠0、m+1≠0．由此可以求得m的值．【解答】解：依题意，得|m﹣2|﹣2＝1且m﹣3≠0、m+1≠0，解得m＝5．故m的值是5．【点评】本题考查了二元一次方程组的定义．二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．41．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为，乙看错了方程组中的b，得到的解为．（1）求正确的a，b的值；（2）求原方程组的解．【考点】二元一次方程组的解．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】（1）把甲的结果代入第二个方程求出b的值，把乙的结果代入第一个方程求出a的值即可；（2）将a与b的值代入方程组，求出解即可．【解答】解：（1）由题意得：，解得：；（2）把代入方程组得：，解得：．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．42．．【考点】解二元一次方程组．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】由（2）﹣（1）即可求出x的值，然后把x的值代入方程即可求出y的值．【解答】解：由（2）﹣（1）得：x＝3，把它代入（1）得：y＝2，∴方程组的解为．【点评】本题主要考查用加减消元法解二元一次方程组．43．解方程组．【考点】解二元一次方程组．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①+②×3得：7x＝56，即x＝8，把x＝8代入①得：y＝2，则方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．44．已知关于x，y的方程组和有相同解，求（﹣a）b值．【考点】同解方程组．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值．【解答】解：因为两组方程组有相同的解，所以原方程组可化为，解方程组（1）得，代入（2）得，解得：．所以（﹣a）b＝（﹣2）3＝﹣8．【点评】此题比较复杂，考查了学生对方程组有公共解定义的理解能力及应用能力，是一道好题．45．大型客车每辆能坐54人，中型客车每辆能坐36人，现有378人，问需要大、中型客车各几辆才能使每个人上车都有座位，且每辆车正好坐满？【考点】由实际问题抽象出二元一次方程．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】首先根据题意表示出大型客车x辆可座54x人，中型客车y辆可座36y人，根据总人数为378可得方程54x+36y＝378．【解答】解：设需要大型客车x辆，中型客车y辆，由题意得：54x+36y＝378，则3x+2y＝21，当x＝1时，y＝9；当x＝2时，y＝（不合题意）；当x＝3时，y＝6；当x＝4时，y＝（不合题意）；当x＝5时，y＝3；当x＝6时，y＝（不合题意）；当x＝7时，y＝0；答：一共有x＝1，y＝9；x＝3，y＝6；x＝5，y＝3；x＝7，y＝0共计4种符合题意的方案．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．46．将含铁72%和含铁58%的两种矿石，混合后配成含铁64%的矿石70吨，若设需含铁72%的矿石x吨，含铁58%的矿石y吨，列出方程组．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】根据两种矿石总量为70吨，含铁量为70×64%，可得出方程组．【解答】解：设需含铁72%的矿石x吨，含铁58%的矿石y吨，由题意得，．【点评】本题考查了由实际问题抽象二元一次方程组的知识，关键是仔细审题，找到等量关系．47．列方程组解应用题：甲乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后3小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出发后2.5小时相遇．甲、乙两人每小时各走多少千米？【考点】由实际问题抽象出二元一次方程．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】设甲，乙速度分别为x，y千米/时，根据甲乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后3时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出发后2.5时相遇可列方程求解．【解答】解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，，解得：，甲的速度是3.6千米每小时，乙的速度是6千米每小时．【点评】本题考查理解题意的能力，关键是设出甲乙的速度，以路程作为等量关系列方程求解．48．某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元，其中每支毛笔比钢笔贵4元．（1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？（2）①学校仍需要购买上面的两种笔共105支（每种笔的单价不变）．陈老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领2447元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么账肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的账算错了．②陈老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔．如果签字笔的单价为小于10元的整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为 2或6 元．【考点】二元一次方程的应用；一元一次方程的应用．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+4）元．根据买钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元建立方程，求出其解即可；（2）①根据第一问的结论设单价为21元的钢笔为y支，所以单价为25元的毛笔则为（105﹣y）支，求出方程的解不是整数则说明算错了；②设单价为21元的钢笔为z支，单价为25元的毛笔则为（105﹣y）支，签字笔的单价为a元，根据条件建立方程求出其解就可以得出结论．【解答】解：（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+4）元．由题意得：30x+45（x+4）＝1755，解得：x＝21，∴毛笔的单价为：x+4＝25．答：钢笔的单价为21元，毛笔的单价为25元．（2）①设单价为21元的钢笔为y支，所以单价为25元的毛笔则为（105﹣y）支．根据题意，得21y+25（105﹣y）＝2447．解之得：y＝44.5 （不符合题意）．∴陈老师肯定搞错了．②设单价为21元的钢笔为z支，签字笔的单价为a元，则根据题意，得21z+25（105﹣z）＝2447﹣a．∴4z＝178+a，∵a、z都是整数，∴178+a应被4整除，∴a为偶数，又因为a为小于10元的整数，∴a可能为2、4、6、8．当a＝2时，4z＝180，z＝45，符合题意；当a＝4时，4z＝182，z＝45.5，不符合题意；当a＝6时，4z＝184，z＝46，符合题意；当a＝8时，4z＝186，z＝46.5，不符合题意．所以签字笔的单价可能2元或6元．故答案为：2元或6元．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次方程解实际问题的运用及二元一次不定方程的运用，在解答时根据题意等量关系建立方程是关键．49．根据题意列二元一次方程组：（1）两批货物，第一批360吨，用5节火车皮和12辆汽车正好装完；第二批500吨，用7节火车皮和16辆汽车正好装完．每节火车皮和每辆汽车平均各装货物多少吨？（2）某校课外小组的学生准备外出活动；若每组7人，则余下3人；若每组8人，则有一组只有3人；求这个课外小组分成几组？共有多少人？【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】本题的等量关系有：（1）用5节火车皮和12辆汽车正好装360吨，用7节火车皮和16辆汽车正好装500吨；（2）每组7人×组数+3人＝总人数，每组8人×（组数﹣1）+3人＝总人数．【解答】解：（1）设每节火车皮、每辆汽车分别装x吨、y吨，则；解得：，答：每节火车皮、每辆汽车分别装60吨、5吨；（2）设分成x组，共有y人，则．解得：，答：有8组，共有59人．【点评】根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组，找到两个等量关系是解决本题的关键．50．材料：对任意一个n位正整数M（n≥3），若M与它的十位数字的p倍的差能被整数q整除，则称这个数为“p阶q级数”，例如：712是“5阶7级数”，因为＝101；712也是“12阶10级数”，因为＝70．（1）若415是“5阶k级数”，且k＜300，求k的最大值；（2）若一个四位数M的百位数字比个位数字大2，十位数字为1，且M既是“4阶13级数”又是“6阶5级数”，求这个四位数M．【考点】二元一次方程的应用．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据材料中给出的“p阶q级数”的含义及k的取值范围即可得出答案．（2）先设未知数表示出M，然后根据M既是“4阶13级数”又是“6阶5级数”列出式子并结合整除规律即可解答．【解答】解：（1）∵415是“5阶k级数”，所以为整数，∵k＜300，∴k的最大值为205．（2）设M为千位数字为x，个位数字为y，则百位数字为y+2，∴M＝1000x+100（y+2）+10+y，（0≤y≤7）∵M既是“4阶13级数”又是“6阶5级数”，∴与均为整数，∴M﹣4是13的整数倍，M﹣6是5的整数倍，∴y＝6或1，当y＝1时，M﹣4＝1000x+307，＝＝77x+24﹣，∴x＝8，∴M＝8311．当y＝6时，M﹣4＝1000x+812＝＝77x+63﹣，∴x＝6，∴M＝6816．综上所述，满足要求的M为8311或6816．【点评】本题以新定义的形式考查了二元一次不定方程的应用、数的整除规律．读懂材料、正确理解“p阶q级数”的含义是解答本题的关键．51．一条船顺流航行，每小时行24km，逆流航行，每小时行18km．为了求轮船在静水中的速度x与水的速度y，你能列出方程组来吗？【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】根据：顺水速度＝静水速度+水流速度，逆水速度＝静水速度﹣水流速度，即可列出方程．【解答】解：由题意得：．【点评】该题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的问题；解题的关键是深刻把握题意，准确找出命题中隐含的等量关系，正确列出方程．52．一项调查显示，全世界每天平均有13000人死于与吸烟有关的疾病，我国吸烟者约3.56亿人，占世界吸烟人数的四分之一，比较一年中死于与吸烟有关的疾病的人数占吸烟者总数的百分比，我国比世界其他国家约高0.1%．根据上述资料，试用二元一次方程组解决以下问题：我国及世界其他国家一年（按365天计算）中死于与吸烟有关的疾病的人数分别是多少？（只需设出未知数，列出方程组即可）【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有【答案】．【分析】设我国一年（按365天计算）中死于与吸烟有关的疾病的人数为x人，世界其他国家一年（按365天计算）中死于与吸烟有关的疾病的人数为y人，根据一年中死于与吸烟有关的疾病的人数占吸烟者总数的百分比，我国比世界其他国家约高0.1%，列出方程组解答即可．【解答】解：设我国一年（按365天计算）中死于与吸烟有关的疾病的人数为x人，世界其他国家一年（按365天计算）中死于与吸烟有关的疾病的人数为y人，根据题意得：．【点评】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是根据题意得出等量关系解答．53．为了保护环境，某市公交公司决定购买一批共10台全新的混合动力公交车，现有A、B两种型号，其中每台的价格，年省油量如表：经调查，购买一台A型车比购买一台B型车多20万元，购买2台A型车比购买3台B型车少60万元（1）请求出a和b的值；（2）若购买这批混合动力公交车每年能节省22.4万升汽油，求购买这批混合动力公交车需要多少万元？【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据“购买一台A型车比购买一台B型车多20万元，购买2台A型车比购买3台B型车少60万元，“即可列出关于a、b的二元一次方程组，求解即可；（2）设购买A型车x台，B型车y台，根据购买的车辆总数为10和购买这批混合动力公交车每年能节省22.4万升汽油，列出方程组，解得x和y的值，再根据总费用＝120x+100y，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意得：解得：．（2）设购买A型车x台，B型车y台，根据题意得：解得：∴120×6+100×4＝1120（万元）答：购买这批混合动力公交车需要1120万元．【点评】本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，根据题意，正确列出方程组，是解题的关键．54．如图，直线y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A，直线y2＝﹣2x+6的图象与y轴交于点B，两者相交于点C．（1）方程组的解是 ；（2）当y1＞0与y2＞0同时成立时，x的取值范围为 1＜x＜3 ；（3）求△ABC的面积；（4）在直线y1＝2x﹣2的图象上存在异于点C的另一点P，使得△ABC与△ABP的面积相等，请求出点P的坐标．【考点】一次函数与二元一次方程（组）；一次函数的性质．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据题意画出图象，利用其交点坐标得出方程组的解；（2）利用函数图象得出在x轴上方时，对应x的取值范围；（3）利用已知图象结合三角形面积求法得出答案；（4）利用三角形面积求法得出P点横坐标，进而代入函数解析式得出P点坐标．【解答】解：（1）如图所示：方程组的解为：；故答案为：；（2）如图所示：当y1＞0与y2＞0同时成立时，x取何值范围是：1＜x＜3；故答案为：1＜x＜3；（3）∵令x＝0，则y1＝﹣2，y2＝6，∴A（0，﹣2），B（0，6）．∴AB＝8．∴S△ABC＝×8×2＝8；（4）令P（x0，2x0﹣2），则S△ABP＝×8×|x0|＝8，∴x0＝±2．∵点P异于点C，∴x0＝﹣2，2x0﹣2＝﹣6．∴P（﹣2，﹣6）．【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组以及一次函数与一元一次不等式和三角形面积求法等知识，正确利用数形结合分析是解题关键．55．如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b）．（1）求b的值；（2）不解关于x、y的方程组，请你直接写出它的解；（3）直线l3：y＝nx+m是否也经过点P？请说明理由．【考点】一次函数与二元一次方程（组）．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】（1）直接把P（1，b）代入y＝x+1可求出b的值；（2）利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解；（3）根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断．【解答】解：（1）把P（1，b）代入y＝x+1得b＝1+1＝2；（2）由（1）得P（1，2），所以方程组的解为；（3）直线l3：y＝nx+m经过点P．理由如下：因为y＝mx+n经过点P（1，2），所以m+n＝2，所以直线y＝nx+m也经过P点．【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．利用一次函数图象上点的坐标特征对（3）进行判断．56．如图，一次函数y＝kx+b经过点（2，8），与一次函数y＝﹣x﹣交于点A（m，1）．（1）求函数y＝kx+b的表达式；（2）利用函数图象写出方程组的解 ．【考点】一次函数与二元一次方程（组）；待定系数法求一次函数解析式．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】（1）由点A的纵坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；（2）根据图象，结合交点A的坐标即可求得．【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x﹣经过点A（m，1）．∴1＝﹣m﹣，解得：m＝﹣，∴点A的坐标为（﹣，1）．将A（﹣，1）、B（2，8）代入y＝kx+b，得，解得：，∴一次函数的解析式为y＝2x+4；（2）∵一次函数y＝kx+b与一次函数y＝﹣x﹣交于点A（﹣，1），∴方程组的解为，故答案为．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数与二元一次方程组以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；（2）根据两直线的交点与解析式构成方程组的关系求得．57．若正比例函数y1＝﹣x的图象与一次函数y2＝x+m的图象交于点A，且点A的横坐标为﹣1．（1）求该一次函数的表达式；（2）直接写出方程组的解；（3）在一次函数y2＝x+m的图象上是否存在点B，使△AOB的面积为2，若存在，求出点B坐标；若不存在，请说明理由．【考点】一次函数与二元一次方程（组）；待定系数法求一次函数解析式．菁优网版权所有【答案】（1）y＝x+2；（2）；（3）（1，3）或（﹣3，﹣1）．【分析】（1）先求出A点的纵坐标，把A点的坐标代入y＝x+m，求出m即可；（2）根据方程组的特点和A点的坐标得出答案即可；（3）设直线y＝x+2与y轴的交点为C，与x轴的交点为D，则C（0，2），D（﹣2，0），求出△AOC和△AOD的面积，分为两种情况：①当B点在第一象限时，则S△BOC＝1，②当B点在第三象限时，则S△BOD＝1，根据三角形的面积求出B点的纵坐标或横坐标，即可求出答案．【解答】解：（1）将x＝﹣1代入y＝﹣x，得y＝1，则点A坐标为（﹣1，1），将A（﹣1，1）代入y＝x+m，得﹣1+m＝1，解得：m＝2，所以一次函数的解析式为y＝x+2；（2）∵方程组的解为，∴方程组的解为；（3）设直线y＝x+2与y轴的交点为C，与x轴的交点为D，则C（0，2），D（﹣2，0），∵A（﹣1，1），∴，①当B点在第一象限时，则S△BOC＝1，设B的横坐标为n，∴S△BOC＝＝1，解得：n＝1，即点B的横坐标是1，把，x＝1代入y＝x+2得：y＝3，∴B（1，3）；②当B点在第三象限时，则S△BOD＝1，设B的纵坐标为n，∴，解得：n＝﹣1，即点B的纵坐标是﹣1，把y＝﹣1代入y＝x+2得：x＝﹣3，∴B（﹣3，﹣1），综上，点B的坐标为（1，3）或（﹣3，﹣1）．【点评】本题考查了一次函数与二次一次方程组，一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键，用了分类讨论思想．58．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣1时，y＝3；当x＝0时，y＝1，当x＝1时，y＝1，求这个等式中a、b、c的值．【考点】解三元一次方程组．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】根据题意列出三元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：由题意得，，解得，a＝1，b＝﹣1，c＝1．【点评】本题考查的是三元一次方程组的解法，解三元一次方程组的一般步骤：①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值，得到方程组的解．59．若方程组的解x、y的和为﹣5，求k的值，并解此方程组．【考点】解三元一次方程组．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】解关于x、y的方程组，x，y即可用k表示出来，再根据x、y的和为﹣5，即可得到关于k的方程，从而求得k的值．【解答】解：②×2﹣①，得7x+6y＝6，③又由题意，得x+y＝﹣5，④联立③④，得方程组解得代入①，得k＝13．【点评】本题主要考查了方程组解的定义，方程组的解就是能够使方程组中的方程同时成立的未知数的解．60．一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？（2）为了节约运费，该市政府可以决定甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？（3）求出哪种方案的运费最省？最省是多少元．【考点】三元一次方程组的应用；二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．菁优网版权所有【答案】见试题解答内容【分析】（1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费8200元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可；（2）设甲车有x辆，乙车有y辆，则丙车有z辆，列出等式，再根据x、y、z均为正整数，求出x，y的值，从而得出答案．（3）根据两种方案得出运费解答即可．【解答】解：（1）设需甲车型x辆，乙车型y辆，得：解得答：需甲车型8辆，需车型10辆；（2）设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得：消去z得5x+2y＝40，x＝，因x，y是正整数，且不大于16，得y＝5，10，15，由z是正整数，解得，，有两种运送方案：①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆；（3）两种方案的运费分别是：①400×6+500×5+600×5＝7900；②400×4+500×10+600×2＝7800．答：甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆，最少运费是7800元．【点评】本题考查了三元一次方程组和三元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解．利用整体思想和未知数的实际意义通过筛选法可得到未知数的具体解，这种方法要掌握． 考点卡片1．绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值． ①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数． （2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）2．非负数的性质：绝对值在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．3．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．4．有理数的混合运算（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．5．规律型：图形的变化类图形的变化类的规律题首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．6．一元一次方程的定义（1）一元一次方程的定义只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．（2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法．7．一元一次方程的应用（一）一元一次方程解应用题的类型有：（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；（5）行程问题（路程＝速度×时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．列一元一次方程解应用题的五个步骤1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．3．列：根据等量关系列出方程．4．解：解方程，求得未知数的值．5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．8．二元一次方程的定义（1）二元一次方程的定义含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．9．二元一次方程的解（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．10．解二元一次方程二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．11．由实际问题抽象出二元一次方程（1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．（2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．（3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式．12．二元一次方程的应用二元一次方程的应用（1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．（4）根据未知数的实际意义求其整数解．13．二元一次方程组的定义（1）二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．（2）二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．14．二元一次方程组的解（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．15．解二元一次方程组（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．16．由实际问题抽象出二元一次方程组（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．17．二元一次方程组的应用（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．（二）设元的方法：直接设元与间接设元．当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．18．同解方程组同解方程组定义：如果两个方程组的解相同，那么这两个方程组就是同解方程组．关于两个方程组同解的问题，要知道两个方程组四个二元一次方程都有同一组公共解，即随便把其中两个方程联立成方程组，解仍然相同．19．解三元一次方程组（1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．（2）解三元一次方程组的一般步骤：①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可．20．三元一次方程组的应用在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．（1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础．（2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性．21．一次函数的性质一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．22．待定系数法求一次函数解析式待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．23．一次函数与二元一次方程（组）（1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．（2）二元一次方程（组）与一次函数的关系（3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/10 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