浙江省杭州市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

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本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分，考试时间120分钟。
选择题部分（共58分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据交集的定义计算可得.
【详解】因为，又，
所以.
故选：C
2．若函数的定义域是，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意得函数的定义域是，则，故定义域为
故选：A
3．不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意得，为的两个根，
故，即，
开口向下，对称轴为，与轴交点纵坐标为
故选：B
4.已知是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】由，列出方程，求出的值，再检验定义域是否关于原点对称即可.
【详解】由得：，
解得，.
当时，，定义域为关于原点对称，
故符合题意，
故选：B.
5．已知命题p：，，则（ ）
A．命题p的否定为，，且p是真命题
B．命题p的否定为，，且p是真命题
C．命题p的否定为，，且p是假命题
D．命题p的否定为，，且p是假命题
【答案】C
【详解】，则.
由，得，即，解得，
所以命题为假命题.
故选：C
6.已知函数是R上的增函数，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
因为函数是上的增函数，所以.
故选：D
7．已知为正数，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：，当且仅当时取等号
8．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：，易证为R上的单调递增函数且为奇函数，故，即
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.设，若，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
答案：BC
10．某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（ ）
A．三项比赛都参加的有2人B．只参加100米比赛的有3人
C．只参加400米比赛的有3人D．只参加1500米比赛的有3人
【答案】AB
【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}，
{是参加400米的同学}，
{是参加1500米的同学}，
则
且
则，
所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人，
只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人.
故选：AB
11．设，表示不超过的最大整数，如，记.则下列说法正确的有（ ）
A. ，都有
B.,都有
C.,都有
D.若存在实数，使得同时成立，则正整数的最大值为4.
答案：ACD
解析：对于D，，，，，
当时，，，
因为，所以，即
当时，，，，
因为，所以，
当时，，，，，
因为，所以，所以若则，此时，，故不存在满足，， ，，同时成立.
正整数的最大值为4.
非选择题部分（共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．设集合，则中元素的个数为
答案：4个
【解析】(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),共4个.
13.如果，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用函数的最值求出，通过函数的值域，求出的取值范围
【详解】，，则.
故答案为：
14．函数的定义域为D，若对于任意,当时，有，则称函数在D上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：
①②；③.则
答案： 解析：由题意得
即.
由函数在上为非减函数得，
因为，
因为，
故，所以又，
即，因此
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为A．
(1)求集合A；
(2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【分析】（1）由题意可知有解，利用其判别式大于等于0即可求得答案；
（2）结合题意推出且，讨论B是否为空集，列出相应不等式（组），求得答案.
【详解】（1）因为为真命题，所以方程有解，即，
所以，即；
（2）因为是的必要不充分条件，所以且，
i）当时，，解得；
ii）当时，，且等号不会同时取得，
解得，
综上，.
16.(本题满分15分)已知函数
（1）当时，根据定义证明函数在上单调递增.
（2）若有最小值4，求的值.
【解析】（1）,且,则
故的单调递增区间为.
（2）当时，在R上单调递增，无最小值；
当时，，当且仅当时取等到，故，即.
17．(本题满分15分)某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1 m的小路，中间A、B、C三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中B、C区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为 m，鲜花种植的总面积为.
(1)用含有的代数式表示（如图所示），并写出的取值范围；
(2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？
【解析】（1）设矩形花园的长为，
矩形花园的总面积为，
，可得，
又阴影部分是宽度为的小路，
可得，可得，
即关于的关系式为.
（2）由（1）知，，
则
，
当且仅当时，即时，等号成立，
当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为.
18. (本题满分17分) 设函数，其中．
（1）若，
(i)当时，求的最大值和最小值;
(ii)对任意的，都有，求实数的取值范围；
（2）若对任意的，都有，求实数的取值范围．
【分析】（1）(i) ;
(ii)先求出，根据函数的对称性知时，，故分类为和，分别得到，再根据可得；
（2）“对任意的，，都有”等价于最大值与最小值之差不大于8，根据二次函数的性质对进行分类计算最大值最小值，即可.
【详解】（1）(i) ;
(ii)因为，
所以在区间上单调减，在区间上单调增，
且对任意的，都有，
若，则，
在区间上单调递减，在区间上单调递增．
“对任意的，都有”等价于“在区间上，”．
①当，即时，，
，得，所以；
②当，即时，，恒成立，故．
综上所述，，实数的取值范围为区间．
（2）设函数在区间0,4上的最大值为，最小值为，
所以“对任意的，，都有”等价于“”．
①当时，，，
由，得，又，无解；
②当时，，，
由，得，因此；
③当时，，，
由，得，因此；
④当时，，，
由，得，无解，
综上所述，实数的取值范围为区间．
19. (本题满分17分)
定义在R上的奇函数，当时，.
（1）求的解析式；
（2）当的定义域为（）时，的值域为，求的取值.
（3）是否存在实数，使得当的定义域为时，的值域为，如果存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）时，，则
所以
所以的解析式为
（2）当时，
所以
当时，单调递增，此时解得不合题意
当时，在单调递增，在单调递减，则符合题意；
当时，在单调递减，则解得不合题意.
综上可知，.
（3）由于可得
①当时，由于时，，故，则，
所以在区间上单调递减，
所以
即为方程的根，观察到方程有一个根为2，从而解出.
②同理时，由于时，，故，则
故在区间上单调递减，
所以
解得.
综上可得，或.