浙江省杭州市学军中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含解析

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浙江省杭州市学军中学2018-2019学年高一上学期期中考试

数学试题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.已知集合，，则（ ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

试题分析：由题意知，故选B.

【考点定位】本题考查集合的基本运算，属于容易题.

2.函数f（x）=ln（1-x2）的定义域为（　　）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．

【详解】由，得0≤x＜1．

∴函数f（x）ln（1﹣x2）的定义域为[0，1）．

故选：B．

【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．

3.已知函数f（x）=，则f[f（）]等于（　　）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】

【分析】

推导出f（），从而f[f（）]＝f（），由此能求出结果．

【详解】∵函数f（x），

∴f（），

f[f（）]＝f（）．

故选：D．

【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

4.使函数f（x）=xa的定义域为R且为奇函数的α的值可以是（　　）

A.     B.     C. 3    D. 以上都不对

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，结合幂函数的性质依次分析选项，综合即可得答案．

【详解】根据题意，依次分析选项：

对于A，α＝﹣1时，f（x）＝x﹣1，其定义域不是R，不符合题意；

对于B，α时，f（x），其定义域不是R，不符合题意；

对于C，α＝3时，f（x）＝x3，其定义域为R且为奇函数，符合题意；

对于D，错误，

故选：C．

【点睛】本题考查幂函数的性质，关键是掌握幂函数的性质，属于基础题．

5.已知集合M，N，P为全集U的子集，且满足M⊆P⊆N，则下列结论不正确的是(　　)

A. ∁UN⊆∁UP    B. ∁NP⊆∁NM    C. (∁UP)∩M＝∅    D. (∁UM)∩N＝∅

【答案】D

【解析】

因为P⊆N，所以∁UN⊆∁UP，故A正确；

因为M⊆P，所以∁NP⊆∁NM，故B正确；

因为M⊆P，所以(∁UP)∩M＝∅，故C正确；

因为M⊆ N，所以(∁UM)∩N∅.故D不正确.

故选D.

6.设函数f（x）=logax（a＞0，a≠1），若f（x1x2…x2018）=4，则f（x12）+f（x12）+…+f（x20182）的值等于（　　）

A. 4    B. 8    C. 16    D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由函数的解析式结合对数的运算性质即可得解.

【详解】∵函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1），f（x1x2…x2018）＝4，

∴f（x1x2…x2018）＝loga（x1x2…x2018）＝4，

∴f（x12）+f（x12）+…+f（x20182）

＝loga（x1x2…x2018）2

＝2loga（x1x2…x2018）

＝2×4＝8．

故选：B．

【点睛】本题考查函数值的求法，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

7.设A={x|2≤x≤4}，B={x|2a≤x≤a+3}，若B真包含于A，则实数a的取值范围是（　　）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由B真包含于A，讨论B＝∅与B≠∅时，求出a的取值范围．

【详解】∵A＝{x|2≤x≤4}，B＝{x|2a≤x≤a+3}，且B真包含于A；

当B＝∅时，2a＞a+3，解得a＞3；

当B≠∅时，解得a＝1；

此时A=B.

∴a的取值范围是{a|a＞3}

故选：C．

【点睛】本题考查了集合之间的基本运算，解题时容易忽略B＝∅的情况，是易错题．

8.函数f（x）=log2（-x2+ax+3）在（2，4）是单调递减的，则a的范围是（　　）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由复合函数的单调性可知内层函数在（2，4）上为减函数，则需要其对称轴小于等于2且当函数在x＝4时的函数值大于等于0，由此联立不等式组得答案．

【详解】令t＝﹣x2+ax+3，则原函数化为y＝log2t，

∵y＝log2t为增函数，

∴t＝﹣x2+ax+3在（2，4）是单调递减，

对称轴为x，

∴且﹣42+4a+3≥0，

解得：．

∴a的范围是[，4]．

故选：B．

【点睛】本题考查了复合函数的单调性，复合函数的单调性满足同增异减的原则，是中档题．

9.对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”．已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（　　）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】

【分析】

因对任意实数a、b、c，都存在以f（a）、f（b）、f（c）为三边长的三角形，则f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，将f（x）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由t﹣1的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为f（a）+f（b）的最小值与f（c）的最大值的不等式，进而求出实数k 的取值范围．

【详解】由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，

由于f（x）1，

①当t﹣1＝0，f（x）＝1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，

满足条件．

②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1＝t，

同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，故f（a）+f（b）＞2．

再由f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可得 2≥t，结合大前提t﹣1＞0，解得1＜t≤2．

③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，

同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，

由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2t≥1，解得1＞t．

综上可得，t≤2，

故选：A．

【点睛】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．

10.设函数，其中表示中的最小者.下列说法错误的（   ）

A. 函数为偶函数    B. 若时，有

C. 若时，    D. 若时，

【答案】D

【解析】

【分析】

先根据定义作的图像，然后依据图像逐个检验即可．

【详解】在同一坐标系中画出的图像（如图所示），

故的图像为图所示．

的图像关于轴对称，故为偶函数，故A正确．

由图可知时，有，故B成立．

从图像上看，当时，有成立，令，则，故，故C成立．

取，则，，，故D不成立．

综上，选D．

【点睛】一般地，若（其中表示中的较小者），则的图像是由这两个函数的图像的较低部分构成的．

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11.若，则          ．

【答案】10

【解析】

试题分析：

若，则

考点：对数与对数函数

12.已知,则________．

【答案】

【解析】

【分析】

利用配凑法求函数的解析式.

【详解】（配凑法）　(1)，又∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，

∴．

故答案为：

【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

13.已知f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围是______．

【答案】[-1，0]

【解析】

【分析】

把f（x）的定义域为R转化为0对任意x∈R恒成立，即x2+2ax﹣a≥0对任意x∈R恒成立，再由判别式小于等于0求解．

【详解】∵f（x）的定义域为R，

∴0对任意x∈R恒成立，

即恒成立，

即x2+2ax﹣a≥0对任意x∈R恒成立，

∴△＝4a2+4a≤0，则﹣1≤a≤0．

故答案为：[﹣1，0]．

【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题．

14.设max{a，b}表示a，b两数中的最大值，若f（x）=max{|x|，|x-t|}关于x=1对称，则t=______．

【答案】2

【解析】

【分析】

利用函数y＝|x|的图象和函数y＝|x﹣t|的图象关于直线x对称，从而得出结论．

【详解】f（x）＝max{|x|，|x﹣t|}，

由函数y＝|x|的图象关于x＝0对称，函数y＝|x﹣t|的图象关于x＝t对称，

即有函数f（x）的图象关于x对称，

f（x）＝max{|x|，|x﹣t|}关于x＝1对称，

即有1，求得t＝2，

故答案为：2．

【点睛】本题主要考查分段函数的应用，考查函数的对称性，属于基础题．

15.设方程x2-mx+2=0的两根α，β，其中α∈（1，2），则实数m的取值范围是______．

【答案】（2，4）

【解析】

【分析】

由题意利用韦达定理，不等式的性质，求出实数m的取值范围．

【详解】∵方程x2﹣mx+2＝0的两根α，β，∴△＝m2﹣8≥0，求得m≥2，或 m≤﹣2①．

由α•β＝2，则，

则,则    ②．

由①②可得，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查韦达定理，不等式的性质，属于基础题．

16.已知lg2≈0.3010，则22018是______位数．

【答案】608

【解析】

【分析】

设x＝22018，可得lgx＝2018lg2≈607.418，即可得出．

【详解】设x＝22018，则lgx＝2018lg2≈2018×0.3010＝607.418，

∴22018是608位数．

故答案为：608．

【点睛】本题考查了对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

17.已知函数f（x）满足对任意的m，n都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，设g（x）=f（x）+（a＞0，a≠1），g（ln2018）=-2015，则g（ln）=______．

【答案】2018

【解析】

【分析】

由已知中函数f（x）满足对任意实数m，n，都有f（m+n）＝f（m）+f（n）﹣1，可得f（0）＝1，进而f（x）+f（﹣x）＝2，g（x）+g（﹣x）＝3，结合g（ln2018）＝﹣2015，由对数的运算性质计算可得所求值．

【详解】∵函数f（x）满足对任意实数m，n，都有f（m+n）＝f（m）+f（n）﹣1，

令m＝n＝0，则f（0）＝2f（0）﹣1，

解得f（0）＝1，

令m＝x，n＝﹣x，则f（0）＝f（x）+f（﹣x）﹣1，

即f（x）+f（﹣x）＝2，

∵g（x）＝f（x）（a＞0，a≠0），

∴g（﹣x）＝f（﹣x）f（﹣x），

故g（x）+g（﹣x）＝f（x）+f（﹣x）+1＝3，

∴g（ln2018）+g（ln）＝﹣2015+g（﹣ln2018）＝3，

即g（ln）＝2018，

故答案为：2018．

【点睛】本题主要考查抽象函数的应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，属于中档题．

三、解答题（本大题共5小题，共62.0分）

18.已知集合U=R，集合A={x|x2-（a-2）x-2a≥0}，B={x|1≤x≤2}．

（1）当a=1时，求A∩B；

（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．

【答案】（1）{x|1≤x≤2}； （2）{a|a≤1}.

【解析】

【分析】

（1）代入a的值，求出集合A，从而求出A∩B；

（2）由A与B的并集为A，得到B为A的子集，表示出A的中不等式的解集，根据数轴确定出满足题意a的范围即可．

【详解】（1）a=1时，A={x|x≥1或x≤-2}，

故A∩B={x|1≤x≤2}；

（2）∵A∪B=A，

∴B⊆A，

由x2-（a-2）x-2a≥0，得（x+2）（x-a）≥0，

当a＜-2时，如数轴表示，符合题意；

同理，当-2≤a≤1，也合题意；

但当a＞1时，不合题意，

综上可知{a|a≤1}．

【点睛】本题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．

19.设函数f（x）=++．

（1）设t=+，求t的取值范围；

（2）求f（x）的最大值．

【答案】（1）[，2]； （2）3.

【解析】

【分析】

（1）将t，﹣1≤x≤1，两边平方，结合二次函数的最值，即可得到所求范围；

（2）由（1）可得g（t）＝f（x）（t+1）2，考虑对称轴t＝﹣1与区间[，2]的关系，即可得到所求最大值．

【详解】（1）t=+，-1≤x≤1，

可得t2=2+2，

由0≤1-x2≤1，可得t2∈[2，4]，

由t≥0可得t的取值范围是[，2]；

（2）由（1）可得g（t）=f（x）=t+

=（t+1）2-，

由[，2]在对称轴t=-1的右边，为增区间，

即有t=2，即x=0，g（t）取得最大值，且为3，

即f（x）的最大值为3．

【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用换元法和二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．

20.已知函数f（x）=x+（a＞0）．

（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）判断函数f（x）在（，+∞）上的单调性，并用定义证明．

【答案】（1）见解析； （2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）求出函数的定义域，得到f（﹣x）＝﹣f（x），判断函数的奇偶性即可；

（2）根据单调性的定义证明即可．

【详解】（1）f（x）的定义域是{x|x≠0}，

f（-x）=-x-=-（x+）=-f（x），

故函数f（x）是奇函数；

（2）函数在（，+∞）递增，

令＜m＜n，

则f（m）-f（n）=m+-n-=（m-n）+a•

=（m-n）（1-），

∵＜m＜n，∴m-n＜0，1-＞0，

故f（m）-f（n）＜0，

故f（x）在（，+∞）上递增．

【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性问题，考查转化思想，是一道基础题．

21.已知函数f（x）=2x，g（x）=-x2+2x+b．

（1）若f（x）++1≥0对任意的x∈[1，3]恒成立，求m的取值范围；

（2）若x1，x2∈[1，3]，对任意的x1，总存在x2，使得f（x1）=g（x2），求b的取值范围．

【答案】（1）[-6，-∞）； （2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据h（x）＝f（x）1，结合勾函数的性质对任意的x∈[1，3]恒成立，即可求解m的取值范围；

（2）根据对任意的x1，总存在x2，使得f（x1）＝g（x2），可得f（x）的值域是g（x）的值域的子集，即可求解b的范围；

【详解】（1）函数f（x）=2x，令h（x）=f（x）++1=；

①当m=0时，可得h（x）=2x+1在x∈[1，3]恒成立；

②当m＜0时，可知f（x）=2x是递增函数，y=在x∈[1，3]也是递增函数，

∴h（x）在x∈[1，3]是递增函数，此时h（x）min=h（1）=≥0，

可得：-6≤m＜0；

③当m＞0时，，所以函数h（x）=，满足题意.

综上所述：f（x）++1≥0对任意的x∈[1，3]恒成立，可得m的取值范围是[-6，-∞）；

（2）由函数f（x）=2x，x∈[1，3]，

可得：2≤f（x）≤8；

由g（x）=-x2+2x+b．其对称x=1，开口向下．

∵x∈[1，3]，

∴g（x）在x∈[1，3]上单调递减．

g（x）max=g（1）=1+b；

g（x）min=g（3）=-3+b；

∵对任意的x1，总存在x2，使得f（x1）=g（x2），

∴f（x）的值域是g（x）的值域的子集；

即，

解得：无解．

故x1，x2∈[1，3]，对任意的x1，总存在x2，使得f（x1）=g（x2），此是b的取值范围是空集．

【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数的最值以及单调性的应用，属于中档题.

22.已知a∈R，f（x）=log2（1+ax）．

（1）求f（x2）的值域；

（2）若关于x的方程f（x）-log2[（a-4）x2+（2a-5）x]=0的解集恰有一个元素，求实数a的取值范围；

（3）当a＞0时，对任意的t∈（，+∞），f（x2）在[t，t+1]的最大值与最小值的差不超过4，求a的取值范围．

【答案】（1）当a≥0时，值域为[0，+∞），当a＜0时，值域为（-∞，0）； （2）1＜a≤2，或a＞4；

（3）（0，+∞）.

【解析】

【分析】

（1）讨论a≥0时，a＜0时，由对数函数的单调性可得值域；

（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a的取值范围进行求解即可；

（3）根据条件得到g（x）＝log2（1+ax2），a＞0，函数g（x）在区间[t，t+1]上单调递增，g（t+1）﹣g（t）≤4，运用对数函数的单调性和参数分离进行求解即可．

【详解】（1）f（x）=log2（1+ax），可得f（x2）=log2（1+ax2），

当a≥0时，1+ax2≥1，即有log2（1+ax2）≥0；

当a＜0时，0＜1+ax21，即有log2（1+ax2）0；

即有当a≥0时，f（x）的值域为[0，+∞）；

当a＜0时，f（x）的值域为（-∞，0]；

（2）由f（x）-log2[（a-4）x2+（2a-5）x]=0得log2（1+ax）=log2[（a-4）x2+（2a-5）x]，

即1+ax=（a-4）x2+（2a-5）x＞0，①

则（a-4）x2+（a-5）x-1=0，

即（x+1）[（a-4）x-1]=0，②，

当a=4时，方程②的解为x=-1，代入①，不成立；

当a=3时，方程②的解为x=-1，代入①，不成立；

当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=-1或x=，

若x=-1是方程①的解，则1-a=-a+1＞0，即a＜1，

若x=是方程①的解，则1+=＞0，即a＞4或a＜2，

则要使方程①有且仅有一个解，则a＞4或1≤a＜2．

综上，若方程f（x）-log2[（a-4）x2+（2a-5）x]=0的解集中恰好有一个元素，

则a的取值范围是1＜a≤2，或a＞4；

（3）当a＞0时，对任意的t∈（，+∞），

f（x2）=log2（1+ax2），

设g（x）=log2（1+ax2），a＞0，

函数g（x）在区间[t，t+1]上单调递增，

由题意得g（t+1）-g（t）≤4，

即log2（1+at2+2at+a）-log2（1+at2）≤4，

即1+at2+2at+a≤16（1+at2），

即有a（15t2-2t-1）+15=a（3t-1）（5t+1）+15＞0恒成立，

综上可得a的范围是（0，+∞）．

【点睛】本题考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，考查对数函数的单调性，属于中档题．