浙江省杭州市联谊学校2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题（Word版附解析）

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一、单选题（每小题4分，共计32分）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的定义求解即可．
【详解】因为，
则.
故选：B.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】利用全称命题的否定可得出结论.
【详解】由全称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”.
故选：C.
3. 已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图，则的值为（ ）
1
2
3
2
3
0
A. 3B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据的图像可知，，根据表格即可求得.
【详解】根据的图像可知，，根据表格可知，.
故选：B
4. 若，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据的取值情况判断各个选项的对错即可得到答案.
【详解】选项A，若，则结论错误，故选项A错误；
选项B，根据糖水不等式可知，，故选项B错误；
选项C，当时，，故选项C错误；
选项D，可知，，故选项D正确.
故选：D
5. 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分和两种情况，结合不等式恒成立求参数的取值范围.
【详解】当时，不等式为对一切实数都成立，符合题意，
当时，要使得不等式对一切实数都成立，
则，解得，
综上所述，的取值范围为.
故选：D．
6. 若函数的定义域为，值域为，则的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的性质结合条件即得.
【详解】∵，
∴对称轴为直线，当时，．
∵时，，
由二次函数的对称性可知另一个的对应的值为，
∴的取值范围是．
故选：．
7. 已知，其中，若，则正实数t取值范围（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，分段求解不等式即可.
【详解】令，解得，
当时，，，即，且，解得；
当时，，，即，且，解得，
当时，， ，而为正实数，则此种情况无解，
所以正实数的取值范围为或.
故选：A
8. 已知函数，若，对均有成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将问题转化为对都恒成立，结合二次函数以及一次的性质即可求解.
【详解】，对均有成立，
在上单调递增，，
依题意有对均有成立，
即在时恒成立，∴，解得，
∴实数的取值范围是．
故选：B．
二、多选题（每小题6分，共计18分）
9. 若是的必要不充分条件，则实数的值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】解方程，根据题意可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.
【详解】由，可得或.
对于方程，当时，方程无解，符合题意；
当时，解方程，可得.
由题意知，，
此时应有或，解得或.
综上可得，或.
故选：BC.
10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值为B. 有最小值为
C. 有最小值为D. 有最大值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】直接利用不等式即可求解AC，利用乘“1”法即可求解B，利用不等式成立的条件即可求解D.
【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A正确，
对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确，
对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确，
对于D：因为，
当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误，
故选：ABC．
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 若的定义域为，则的定义域为
B. 和表示同一个函数
C. 函数的值域为
D. 函数满足，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据抽象函数的定义域的求法求解可判断A；利用同一函数得定义判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用方程组法求解函数解析式判断D.
【详解】对于A，因为的定义域为，
对于函数，则，解得，即的定义域为，故A正确；
对于B，定义域为，定义域为，
所以和不是同一个函数，故B错误；
对于C，令，则，
所以，
因为，所以在上单调递减，所以，
所以函数的值域为，故C错误；
对于D，因为，所以，
两边同乘以2得，
两式相加得，解得，故D正确．
故选：AD．
三、填空题（每小题4分，共计12分）
12. 若，则______.
【答案】2
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系，集合元素的互异性求得正确答案.
【详解】依题意，
当时，，此时，不符合题意.
当时，（舍去）或，
当时，，符合题意.
综上所述，的值为.
故答案为：
13. 已知，，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据同向不等式相加不等号方向不变的性质求解即可.
【详解】因为，所以，
又，
由不等式的可加性得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
14. 已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】将化为，分，，三种情况讨论即可求.
【详解】由可得，
当时，不等式的解集为，不符合题意，舍，
当时，不等式的解集为，其正整数解至多有1个，不符合题意，舍，
当时，不等式的解集为，
因为有且仅有3个正整数解，故整数解为，
所以，.
综上，实数的取值范围是.
故答案：
四、解答题（共计58分）
15. 已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由，求得集合B，再与A，利用并集运算求解.
（2）将，转化为BA，再分和两种情况讨论求解.，
详解】（1）当时，集合，
又集合，
所以；
（2）因为，
所以BA，
当时， ，
解得 ，
当时， ，
解得 ，
综上：实数a取值范围
【点睛】本题主要考查集合的运算以及集合的关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
16. （1）已知，求函数的最大值；
（2）已知，且，求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）易知，由基本不等式计算可得的最小值为6，即可得解；
（2）依题意，利用基本不等式中“1”妙用计算可得答案.
详解】（1）由可得，
所以，
当且仅当即时取等号；
所以函数的最大值为.
（2）根据题意，且，
则
，
当且仅当，时取等号，
所以的最小值为．
17. 某公司带来了高端智能家属产品参展，供购商洽谈采购，并决定大量投放中国市场已知该产品年固定研发成本50万元，每生产一台需另投入60元.设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万合的销售收入为G(x)万元，.
（1）求年利润s(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式；(利润=销售收入-成本)
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1）；
（2）当年产量为29万台时，该公司获得的最大利润万元.
【解析】
【分析】(1)根据题意，每万台的销售收入是一个分段函数，分和两种情况讨论，根据生产产品的数量求出对应的解析式即可求解；
(2)分段讨论函数的最值，最后比较大小得出结果.
【小问1详解】
当时，；
当时，，
所以函数解析式为.
【小问2详解】
当时，因为，
又因为函数在上单调递增，
所以当时，取最大值，；
当时，
(当且仅当，即时等号成立)
因为，所以时，的最大值为万元.
所以当年产量为29万台时，该公司获得的最大利润万元.
18. 已知函数.
（1）若f（x）＜k的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}，求实数k的值；
（2）若∀x1∈[2，4]，都∃x2∈[2，4]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由f（x）＜k，整理得：kx2﹣x+6k＞0，然后，利用韦达定理进行求解
（2）把题目的成立条件转化为f（x）最小值≥g（x）最小值，进而分别求出，函数f（x）在区间[2，4]上的最小值和函数g（x）在区间[2，4]上的最小值即可
【详解】（1）证明：由f（x）＜k得：k，整理得：kx2﹣x+6k＞0，因为解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}，所以 k＜0，所以方程kx2﹣x+6k＝0的根是﹣3，﹣2，∴2+（﹣3），∴k；
所以实数k的值是；
（2）由题意可得，f（x）最小值≥g（x）最小值，
∀x1∈[2，4]，f（x）在区间[2，]为增函数，[，4]为减函数，f（2），f（4），
所以函数f（x）在区间[2，4]上的最小值是f（4）；
函数g（x）开口向上，且对称轴x＝﹣m，
①当﹣m≤2，即m≥﹣2，g（x）最小值＝g（2）＝4+4m⇒m，解得：﹣2；
②当2＜﹣m＜4，即﹣4＜m＜﹣2，g（x）最小值＝g（﹣m）＝m2﹣2m2⇒m≤﹣1或m≥1，所以﹣4＜m＜﹣2；
③﹣m≥4，即m≤﹣4，g（x）最小值＝g（4）＝16+8m，解得：m，所以m≤﹣4；
综上所述，m的取值范围：（﹣∞，].
【点睛】关键点睛：本题解题的关键有两点：分别在于：1.把题目的成立条件转化为f（x）最小值≥g（x）最小值，2.通过对进行分类讨论，求出函数g（x）在区间[2，4]上的最小值
19. 已知二次函数的图象过点（1，13），且函数对称轴方程为.
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，求在区间上的最小值
【答案】(1) ,(2)
【解析】
【分析】（1）由f（x）的对称轴方程以及图象过点（1，13），求出b、c的值，从而写出f（x）的解析式；
（2）化函数g（x）为分段函数，画出函数的图象，结合图象，求出g（x）在区间[t，2]上的最小值H（t）．
【详解】（1）∵f（x）＝x2+bx+c的对称轴方程为，
∴b＝1；
又f（x）＝x2+bx+c的图象过点（1，13），
∴1+b+c＝13，∴c＝11；
∴f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+11．
（2）∵函数g（x）＝[f（x）﹣x2﹣13]•|x|
＝[（x2+x+11）﹣x2﹣13]•|x|
＝（x﹣2）•|x|
，
画出函数图象，如图：

令，解得或（舍）
∴当1≤t＜2时，g（x）min＝t2﹣2t；
当时，g（x）min＝﹣1；
当时，．
∴综上，H（t）．
【点睛】本题考查了求函数的解析式以及求函数在某一区间上的最值情况，解题时应结合函数的图象与性质来解答，是易错题．