2025亳州一中高二上学期10月月考数学试题含解析

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数学
注意事项：
1．满分分值：150分；考试时间：150分钟．
2．考试范围：选择性必修一第一章，第二章，第三章3.1椭圆．
3．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、班级等信息认真填写在答题卡上．
4．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
5．考试结束后，只需上交答题卡．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知直线经过点，且法向量，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线的法向量求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】由题意知直线 的法向量是，可得其斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
故选：C
2. 在下列命题中：
①若向量共线，则向量所在的直线平行；
②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
③若三个向量两两共面，则向量共面；
④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量共线，共面的性质逐一分析每个选项.
【详解】对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行，也可能共线，故①错误；
对于②，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故②错误；
对于③，任意两个向量自然是两两共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系轴所在的向量两两共面，但是显然轴不共面，故③错误；
对于④，若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立，故④错误.
于是四个选项都是错的.
故选：A
3. 如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（ ）

A. B. C. 4D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由二面角的平面角的定义知，
∴，
由，得，又，
∴
，
所以，即.
故选：C.
4. a=-1是直线与直线(垂直的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】按照直线的斜率是否为零和是否存在对分类讨论，利用两条直线相互垂直的直线的充要条件计算分析即可得出．
【详解】当a=-1时，两条直线分别化为：，，此时两条直线相互垂直；
当时，两条直线分别化为：，，此时两条直线不垂直；
当、时，两条直线的斜率分别：，，
∵两条直线相互垂直，∴，解得．
综上可得：a=-1是直线与直线(垂直的充分不必要条件．
故选A．
5. 直线与圆交于E，F两点，则△EOF（O是原点）面积为
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】分析：由题意分别求得三角形的底边和高，然后计算面积即可.
详解：由题意可知原点、圆心到直线的距离分别为：，
直线被圆截得的弦长为：，
则的面积为.
本题选择D选项.
点睛：圆的弦长的常用求法：
(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：.
6. 设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A. 或B. 或
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据斜率的公式，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】如图所示：

依题意，，
要想直线l过点且与线段AB相交，
则或，
故选：A
7. 直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设直线的倾斜角为.由已知，可推得.分两种情况时以及时，结合正切函数的性质求解即可得到结果.
【详解】设直线的倾斜角为.
因为，，，所以，.
又，则.
当时，单调递增，解，可得；
当时，单调递增，解，可得.
综上所述，.
故选：B.
8. 正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，又，再求出的最值即可求解
【详解】分别取BC，AD的中点E，F，则，
所以，
故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，，
又，
所以，，
所以的取值范围为．
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（ ）
A. B.
C. 的长为D.
【答案】BD
【解析】
【分析】AB选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C选项，在B选项的基础上，平方后计算出，从而求出；D选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算.
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A选项，，A错误，
对于B选项，，B正确：
对于C选项，，则，
则，C错误：
对于，则，D正确.
故选：BD.
10. 已知点在圆上，点、，则（ ）
A. 点到直线的距离小于
B. 点到直线的距离大于
C. 当最小时，
D. 当最大时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.
11. 曲线被称为“幸运四叶草曲线”（如图所示）．给出下列四个结论，正确的有（ ）
A. 曲线C关于直线交于不同于原点的Ax1,y1,Bx2,y2两点，则
B. 存在一个以原点为中心、边长为1的正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界）；
C. 存在一个以原点为中心、半径为1的圆，使得曲线C在此圆面内（含边界）；
D. 曲线C上存在一个点M，使得点M到两坐标轴的距离之积大于.
【答案】AC
【解析】
【分析】由对称性判断A，利用基本不等式求得曲线上的点到原点距离的最大值后可判断BCD．
【详解】因为由可得，所以曲线关于原点对称，
又直线过原点，所以Ax1,y1与Bx2,y2两点关于原点对称，
所以，所以A正确；
由，所以，
即：①，当取等号，此时，点在曲线上，
而，所以不可能在一个以原点为中心、边长为1的正方形内，所以B错误，
点可以在一个以原点为中心、半径为1的圆上，故C正确，
由①式知，所以D错误．
故答案为：AC．
【点睛】方法点睛：利用方程研究曲线的性质，利用基本不等式求曲线上的点到原点距离的最大值．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 过点作圆的两条切线，切点分别为 、，则直线的方程为_______．
【答案】
【解析】
【分析】由题知、，进而求解方程即可.
【详解】解：方法1：由题知，圆的圆心为，半径为，
所以过点作圆的两条切线，切点分别为、，
所以，
所以直线的方程为，即；
方法2：设，，则由，可得，
同理可得，
所以直线方程为.
故答案为：
13. 设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】由列方程，化简求得的值.
【详解】∵，，，
∴，
又∵A，C，D三点共线，∴，
∵，不共线，∴，
∴，∴.
故答案为：
14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，过作的垂线交轴于点，若，记椭圆的离心率为，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，从而可求得，根据勾股定理可求得，利用椭圆离心率的定义即可求得结果.
【详解】如下图所示：

因为，，所以，
可得，即，可得；
又在中，，
由椭圆定义可得，即，
所以，可得.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知空间三点，设．
（1）若，，求；
（2）求与的夹角的余弦值；
（3）若与互相垂直，求k．
【答案】（1）或
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据向量共线设出向量的坐标，由模长公式列出方程，求解即可；
（2）利用向量的坐标公式和向量的夹角公式即可得出；
（3）根据向量垂直时数量积为0，结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到k．
【小问1详解】
因为，
所以，又因为，
所以，又因为，
所以，
因此或；
【小问2详解】
因为
所以与的夹角的余弦值为；
【小问3详解】
因为与互相垂直，
所以
或.
16. 已知直线与圆：交于两点．
（1）求线段的垂直平分线的方程；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，求过点的圆的切线方程．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】
【详解】试题分析：（1）由题意，线段垂直平分线经过圆的圆心，斜率为，可得线段的垂直平分线的方程；（2）利用，求出圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，从而可求的值；（3）设切线方程，利用点到直线距离，建立斜率的方程．
试题解析：（1）由题意，线段的垂直平分线经过圆的圆心，斜率为，
∴方程为，即；
（2）圆可化为，
∵，∴圆心到直线的距离为，
∵圆心到直线的距离为，∴，∴
（3）由题意，知点不在圆上．①当所求切线的斜率存在时，设切线方程为，即．由圆心到切线的距离等于半径，得，解得，所以所求切线的方程为．②当所求切线的斜率不存在时，切线方程为．
综上，所求切线的方程为．
考点：直线与圆的位置关系．
【易错点晴】解析几何中求切线方程是一种重要题型，也是易错题型，其根源是忽视了直线方程的局限性．直线方程的点斜式（斜截式）都漏掉了一种情况，即斜率不存在的情况，故在利用这种形式的直线方程时，一定要养成优先考虑特殊情况的习惯；同样，直线方程的截距式也存在着不足，不仅要求斜率存在且不能为零，还要求直线不能过原点．
17. 已知的三个顶点分别为，，，直线经过点.
（1）求外接圆的方程；
（2）若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程；
（3）若直线与圆相交于，两点，求面积的最大值，并求出直线的斜率.
【答案】（1）
（2）或
（3），
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法可得圆的方程；
（2）根据直线方程，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，进而可得直线方程；
（3）由，可得当时面积最大，即此时为等腰直角三角形，进而可得圆心到直线的距离，根据点到直线距离公式可得解.
【小问1详解】
设圆的方程为，，
则，解得，
则圆的方程为，
即；
【小问2详解】
由（1）得圆心，半径，
又，可知圆心到直线的距离，
当直线斜率不存在时，直线方程为，
此时圆心到直线的距离为，成立；
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
圆心到直线的距离，
解得，则直线方程为，即；
综上，直线方程为x=1或.
【小问3详解】
由D1,4在圆外，
则在中，，，
又，
则当，即时，取得最大值为，
此时等腰直角三角形，
即圆心到直线的距离，
即，
解得

18. 如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

（1）证明：；
（2）点在棱上，当二面角为时，求．
【答案】（1）证明见解析；
（2）1
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；
（2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.
【小问1详解】
以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，
，
，
又不在同一条直线上，
.
【小问2详解】
设，
则，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，
，
设平面的法向量，
则，
令 ，得，
，
，
化简可得，，
解得或，
或，
.
19. 已知椭圆经过点，且离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过右焦点的直线（与轴不重合）与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由条件可得，，然后可得答案；
（2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆的方程消元，然后算出中点的坐标，然后可得线段的垂直平分线方程，然后可得，然后可求出答案.
【小问1详解】
因为椭圆经过点，所以
又因为离心率，
所以，
所以椭圆的方程为；
【小问2详解】
显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，，
联立可得，
则恒成立，
所以，
则，
所以中点坐标为的，
所以线段的垂直平分线方程为，
令，可得，
当时，，
当时，，
当时，，当且仅当，即时取等号，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
所以，所以，
综上：.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.