安徽省江南十校2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3、考试结束后，将答题卡交回.
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. “且”是“方程表示椭圆”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
3. 若点是直线和公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
4. 六氟化硫，化学式为，常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是两个棱长均相等的正四棱锥将底面重合的几何体）.如图所示，在正八面体中，是的重心，记，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
5. 已知是直线的方向向量，直线经过点，则点到直线的距离为（ ）
A B. C. D.
6. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7. 焦点为的抛物线上有一点（不与原点重合），它在准线上的投影为，设直线与抛物线交于，两点，若，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 若圆为双曲线的“伴随圆”，过的左焦点与右支上一点，作直线交“伴随圆”于，若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 给出下列命题，其中真命题为（ ）
A. 过点与坐标轴围成三角形的面积为16的直线有且仅有3条
B. 已知点，，则满足到点距离为2，到点距离为3的直线有且仅有3条
C. 过点与抛物线仅有1个公共点的直线有3条
D. 过双曲线的右焦点被截得线段长为5的直线有且仅有3条
10. 已知正方体的棱长为2，动点满足，，下列说法正确的是（ ）
A. 当，，时，的最小值为
B. 当，，时，三棱锥的体积为3
C. 当，，时，经过，，三点截正方体所得截面面积的取值范围是
D. 当，且时，则的轨迹总长度为
11. 过抛物线上一点作斜率分别为，的两条直线，与分别交于两点（异于点），则（ ）
A. 过点与相切的直线方程为
B. 若点，关于轴对称，则定值
C. 若，则直线经过定点
D. 分别以，，为切点作抛物线的三条切线，，，若，两点的横坐标相等，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 抛物线的焦点坐标是______.
13. 蓄有水的圆柱体茶杯，适当倾斜能得到椭圆形水面，当椭圆形水面与圆柱底面所成的二面角为30°时，则水面椭圆的离心率为_____________.
14. 如图，在正方体中，，分别为棱和上的点，则与所成角的余弦值范围为_____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆的圆心在直线上，且经过，两点.过定点的动直线与圆交于，两点，为坐标原点.
（1）求圆的标准方程；
（2）求的最大值.
16. 已知双曲线的离心率，左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，与轴交于点，且，.
（1）求双曲线方程；
（2）过右焦点且倾斜角为直线交双曲线于，两点，若的中点为，为坐标原点，直线交直线于点，求的最小值.
17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，是边长为6的正三角形，，分别是线段和上的点，.
（1）试确定点的位置，使得平面，并证明；
（2）若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值.
18. 如图，已知椭圆与椭圆有相同的离心率，在上，过点的两条不重合的直线，与椭圆相交于，两点，与椭圆相交于，和，四点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：；
（3）设直线，的倾斜角互补，求证：.
19. 设和是空间中的两个不同点，则，，三点共线的充要条件是存在实数，使得，并且每个实数唯一对应直线上的点.仿照上面定义，设，，是共线的三个不同点，定义点关于，的分比为.
（1）设，为空间中任意取定的一点，求证：；
（2）若，，，是共线的四个不同点，满足，求的值；
（3）如图，设，和分别是的边，和上的点，若三条直线，和交于一点，求证：.