2023亳州一中高二下学期第一次月考数学试题含解析

安徽省亳州市第一中学2022-2023学年高二下学期第一次月考

数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回

4.考试范围：人教A版选择性必修2第五章

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 函数在区间上的最小值为

A. 72 B. 36 C. 12 D. 0

【答案】D

【解析】

【分析】先根据给出的函数求出导函数；再令，求出单调递增区间，再令，求出单调递减区间，确定出函数上的单调性，从而求出最小值.

【详解】解：，令，即

解得

当时，

当时，

∴，

而端点的函数值，，得．

故选D.

【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值，关键是确定函数在区间上的单调区间，进而确定最值.

2. 已知函数定义域为，其导函数为，且在上恒成立，则下列不等式定成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

构造函数，由得，进而判断函数的单调性，判断各选项不等式.

【详解】，则，

因为在上恒成立，

所以在上恒成立，

故在上单调递减，

所以，即，即，

故选：A.

【点睛】函数单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

3. 已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)<g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为（    ）

A. f(a)－g(a) B. f(b)－g(b)

C. f(a)－g(b) D. f(b)－g(a)

【答案】A

【解析】

【分析】求导，借助单调性研究最大值即可

【详解】令F(x)＝f(x)－g(x)，∵f′(x)<g′(x)，

∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，

∴F(x)在[a，b]上单调递减，

∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a).

故选：A

4. 若函数，函数，则的最小值为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】表示两函数图像上任意两点之间的距离，其最小值应为曲线y1上与直线y2平行的切线的切点到直线y2的距离.

【详解】由题可得，令，则，得或（舍去），

所以，故与直线平行切线对应切点为.

则切点到直线的距离为，

又最小值为切点到直线的距离的平方，

所以的最小值为.

故选：D.

5. 若函数满足在上恒成立，且，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】构造函数，根据导数确定函数单调性，进而判断各选项.

【详解】由，

设，则，

所以在上是增函数，

又，所以，即，

故选：B.

6. 已知函数，是的导函数，则函数的一个单调递减区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意，根据三角函数的求导公式以及辅助角公式，整理单角三角函数，根据正弦型函数的单调性，可得答案.

【详解】，

令，得：，

∴单调递减区间为

故选：A.

7. 若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D. 不存在这样的实数k

【答案】B

【解析】

【分析】利用导数与函数单调性的关系以及一元二次方程的根进行求解.

【详解】由题意得，在区间上至少有一个实数根，

又的根为，且在或两侧异号，

而区间的区间长度为2，故只有2或-2在区间内，

∴或，

∴或，故A，C，D错误.

故选：B.

8. 已知函数的导函数满足，则对都有

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】构造函数F(x)=x2f(x)，

则F′(x)=2xf(x)+x2f′(x)=x(2f(x)+xf′(x))，

当x>0时,F′(x)>x3>0,F(x)递增；

当x<0时,F′(x)<x3<0,F(x)递减，

所以F(x)=x2f(x)在x=0时取最小值，

从而F(x)=x2f(x)⩾F(0)=0，

故选A.

二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记，若在D上恒成立，则称在D上为凸函数，以下四个函数在上是凸函数的是（ ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用凸函数的定义逐个分析判断即可

【详解】解：对于A，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数，所以A正确；

对于B，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数，所以B正确；

对于C，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数，所以C正确；

对于D，由，得，则，因为，所以，所以此函数不是凸函数，所以D不合题意，

故选：ABC

10. 如图是函数的导函数的图像，则下列判断正确的是（    ）

A. 在区间上，单调递增

B. 在区间上，单调递增

C. 在区间上，单调递增

D. 在区间上，单调递增

【答案】BC

【解析】

【分析】当，则单调递增，当，则单调递减，据此可得答案.

【详解】由题图知当时，，

所以在区间上，单调递增，BC正确；

当时，，当时，，所以在区间上，单调递减.在上递增，A错误；

当时，，所以在区间上，单调递减，D错误；

故选：BC

11. 设函数的定义域为R，则下列命题中正确的有（    ）

A. 若存在常数，使得对任意R，有，则是函数的最大值

B. 若存在R，使得对任意R，且，有，则是函数最大值

C. 若存在R，使得对任意R，有，则是函数的最大值

D. 若的最大值为2，则的最大值也为2

【答案】BCD

【解析】

【分析】由最大值的定义可判断A、B、C；由的最大值为2，可知对任意的实数x恒有，可判断D.

【详解】由最大值的定义可知，仅满足对任意的意R，有，还不能确定是的最大值，

这是因为还必须在定义域中存在使，才能说明是的最大值，故A错误.

由函数最大值的定义可知B，C正确.

在D中，由于最大值为2，所以存在使得，且对任意的R有.

故对任意的实数x恒有，

所以的最大值也为2，D正确.

故选：BCD.

12. 若存在过点直线l与曲线和都相切，则a的值可以是（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】根据题意，分点是切点与点不是切点，两种情况讨论，然后结合切线方程的求解方法，得到相应的切线方程，从而得到的值.

【详解】由题意可得，，

因为在直线l上，当为的切点时，

则，所以直线l的方程为，

又直线l与相切，

所以满足，得；

当不是的切点时，

设切点为，

则，

所以，得，

所以，所以直线的方程为.

由，得，

由题意得，所以.

综上得或.

故选:AB

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

13. 函数在上的最小值为，则a的取值范围为__________.

【答案】

【解析】

【分析】求导，根据函数在上的最小值为即可判断函数的单调性，将恒成立转化为函数最值问题求解.

【详解】，在上的最小值为，

说明在上单调递减，

所以当时，恒成立，即

所以所以

故答案为：

14. 已知函数，则该函数的图象在处的切线的倾斜角为__________.

【答案】

【解析】

【分析】对函数求导数，计算时的斜率，得倾斜角.

【详解】因为，

所以，

所以，

即切线的斜率为-1，倾斜角为.

故答案为：.

15. 已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数），在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值为     ．

【答案】﹣37

【解析】

【详解】试题分析：本题是典型的利用函数的导数求最值的问题，只需要利用已知函数的最大值为3，进而求出常数m的值，即可求出函数的最小值．

解：由已知，f′（x）=6x2﹣12x，有6x2﹣12x≥0得x≥2或x≤0，

因此当x∈[2，+∞），（﹣∞，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，

又因为x∈[﹣2，2]，

所以得

当x∈[﹣2，0]时f（x）为增函数，在x∈[0，2]时f（x）为减函数，

所以f（x）max=f（0）=m=3，故有f（x）=2x3﹣6x2+3

所以f（﹣2）=﹣37，f（2）=﹣5

因为f（﹣2）=﹣37＜f（2）=﹣5，所以函数f（x）的最小值为f（﹣2）=﹣37．

答案：﹣37

考点：利用导数求闭区间上函数的最值．

16. 已知函数 ，若函数有四个不同的零点，则的取值范围为______

【答案】

【解析】

【分析】先利用导数求出时，函数的单调性及极值，再结合题意，建立关于的不等式组，解不等式组即可得出答案．

【详解】当时，，

故函数在，单调递增，在单调递减，

当时，，，，

由于最多有3个零点，最多只有一个零点，

故要使函数有四个不同的零点，则需，解得．

故答案为：．

【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，考查利用导数研究函数的极值及最值，考查推理能力及计算能力，属于中档题．

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知函数，求证：当时，.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】利用导数，求函数单调性，证明不等式.

【详解】证明：

，函数定义域为，

，当时，，

∴在上是增函数.

于是当时，．

18. 如图是函数在区间上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值.

【答案】极小值为，极大值为；最小值是，最大值为.

【解析】

【分析】

利用函数的极值和最值的定义，结合题中图象即得结果.

【详解】由题图可知，在处取极小值，在处取极大值，所以极小值为，极大值为；比较极值和端点值可知函数的最小值是，最大值在b处取得，最大值为.

19. 设函数，其中a，.

（1）若函数在处取得极小值，求a，b的值；

（2）求函数的单调递增区间；

（3）若函数在上只有一个极值点，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）见解析；（3）.

【解析】

【分析】（1）首先对函数求导，根据题意，得到，，得到所满足的等量关系，求得结果；

（2）对函数求导，并进行因式分解得到，比较和2的大小，从而进行分类讨论，进而确定函数的单调区间；

（3）函数在上只有一个极值点，等价于在上只有一个解，结合（2）及零点存在性定理可得，从而求得的范围.

【详解】（1）因为，

所以，得.

由，解得.

（2）因为，

令，得或.

当时，的单调递增区间为；

当时，的单调递增区间为；

当时，的单调递增区间为.

（3）由题意可得，即，

化简得，

解得，

所以a的取值范围是.

【点睛】该题考查的是有关函数与导数的问题，涉及到的知识点有利用导数求函数的极值，利用导数确定函数的单调区间，理解函数的极值的定义是解题的关键，属于中档题目.

20. 已知函数（其中），且，求：

（1）f（x）的表达式；

（2）曲线y=f（x）在x=a处的切线方程.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）运用导数运算公式解得，再根据已知条件解得a的值即可.

（2）由（1）可解得切点及切线斜率，再运用点斜式方程写出切线方程即可.

【小问1详解】

，于是有，

所以，

又，即，

.

【小问2详解】

由（1）知，，所以，

所以切点为，切线的斜率，

所以切线方程为，

即.

21. 已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，证明：对任意的，．

【答案】（1）见解析    （2）见解析

【解析】

【分析】（1）利用导数求单调区间；（2）将不等式等价转化为，利用导数讨论最值即可求解.

【小问1详解】

由题可知函数的定义域为 ，

，

即，

(i)若，

则在定义域上恒成立，

此时函数在上单调递增；

(ii) 若，

令，即，解得,

令，即，解得,

所以在上单调递减，上单调递增.

综上，时，在上单调递增；

时，在上单调递减，上单调递增.

【小问2详解】

当时，，

要证明，只用证明，

令，，

令，即，可得方程有唯一解设为，且，

所以，

当变化时，与的变化情况如下，

所以，

因为，因为，所以不取等号，

即，即恒成立，

所以，恒成立，

得证.

22. 已知函数，．

（1）证明：，直线都不是曲线的切线；

（2）若，使成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）实数的取值范围为.

【解析】

【分析】（1）若直线与曲线相切，设切点则可得化简可得，与已知矛盾， 完成证明.

（2）可转化为，令，，，分类讨论求的最小值即可.

【小问1详解】

的定义域为，，

直线过定点，若直线与曲线相切于点（且），则，即①，

设，，

则，所以在上单调递增，又，

从而当且仅当时，①成立，这与矛盾.

所以，，直线都不是曲线的切线；

【小问2详解】

即，令，，

则，使成立，

.

（i）当时，，在上为减函数，于是，由得，满足，

所以符合题意；

（ii）当时，

因为在上为减函数，所以

由在上为减函数，

所以在上为增函数，

所以，即.

①若，即，则，所以在为增函数，于是，不合题意；

②若，即，

因，，在上为增函数，

所以存在唯一，使，且当时，，为减函数；当时，，为增函数；

所以，由得，这与矛盾，不合题意.

综上可知，的取值范围是.

【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：

(1)恒成立⇔；

(2)恒成立⇔