湖北省宜城一中、枣阳一中2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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高一数学试题
时间：120分钟 主命题学校：襄阳六中
分值：150分 命题教师：陈凌云 王园园 漆莉莉
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，，那么下面的韦恩图中，阴影部分所表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据韦恩图，等价转化为集合的表示，结合并集和补集，可得答案.
【详解】由图可知，阴影部分为，由，则，
故选：C.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用特称命题的否定的概念即可求解,改量词，否结论.
【详解】由特称命题的否定的概念知，
“，”的否定为：，．
故选：B．
3. 已知幂函数的图象过点，设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数的概念和幂函数图象过的点，可求出的值，从而根据幂函数的单调性可比较大小.
【详解】因为幂函数的图象过点，
所以，解得，
所以幂函数的解析式为，函数为上的单调递增函数，
又，所以，即.
故选：B.
4. 在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率π准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字．已知圆周率，如果记圆周率π小数点后第n位数字为，则下列说法不正确的是（ ）
A. 当时，B. ，是一个函数
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意，结合圆周率小数点后的数字，依次判断选项即可.
【详解】A：当时，，故A错误；
B：由题意可知圆周率小数点后第n位上的数字y是唯一确定的，
即任取一个正整数n都有唯一确定的y与之对应，因此y是n的函数，故B正确；
C：，所以，故C正确；
D：由题意知，函数的定义域为，值域为，故D正确.
故选：A
5. 关于x的不等式的解集是,则关于x的不等式的解集是
A. 或B.
C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据的解集判断出的关系，由此求得不等式的解集.
【详解】由于x的不等式的解集是，所以且.所以不等式等价于，故解集为.
故选：C
【点睛】本小题主要考查一元一次不等式解法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
6. 已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由分段函数的单调性列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为函数是R上的增函数，
则，解得.
故选：D
7. 若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由的奇偶性，确定和的解集，进而可求解.
【详解】因为奇函数在上单调递减，且，
可得：在上单调递减，且，同时，
所以当时，的解集为：，
当，的解集为：，
又时，满足，
综上可知：的解集为：，
故选：B
8. 《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点A作于点F，则下列推理正确的是（ ）
A. 由图1和图2面积相等得B. 由可得
C. 由可得D. 由可得
【答案】C
【解析】
【分析】根据图1，图2面积相等，可求得d的表达式，可判断A选项正误，由题意可求得图3中的表达式，逐一分析B、C、D选项，即可得答案
【详解】对于A，由图1和图2面积相等得，所以，故A错误；
对于B，因为，所以，所以，，
因为，所以，整理得，故B错误；
对于C，因为D为斜边BC的中点，所以，
因为，所以，整理得，故C正确；
对于D，因为，所以，整理得，故D错误．
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题恒成立的是（ ）
A. 若，则B. 若，，，则
C. 若，则D. 若，，且，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质可判断AB；举例可判断C；结合基本不等式可判断D.
【详解】对于A，由，则，所以，故A正确；
对于B，因为，，
所以，则，
所以，
又，则，故B正确；
对于C，当时，满足，而，故C错误；
对于D，由于，，且，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，故D正确.
故选：ABD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 若的定义域为，则的定义域为
B. 关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是
C. 函数的值域为
D. 函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围
【答案】AD
【解析】
【分析】由抽象函数定义域即可判断A，由一元二次不等式恒成立即可判断B，由换元法求函数值域即可判断C，由二次函数的单调性即可判断D
【详解】对于A，因为的定义域为，则，解得，
所以的定义域为，故A正确；
对于B，当时，不等式，符合要求；
当时，关于x的不等式恒成立，
则满足，解得，
综上，实数k的取值范围是，故B错误；
对于C，令，则，即，
所以，
因为，所以函数在上单调递减，
当时，，所以，则函数的值域为，故C错误；
对于D，由函数区间上单调递减，
可得，解得，故D正确；
故选：AD
11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如，．设函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 在R上是增函数B. 的最小值为0，无最大值
C. D. 当时，
【答案】BD
【解析】
【分析】，使得，即可运算判断；由结合函数单调性即可判断，根据高斯函数定义及周期函数计算可判断；根据高斯函数定义计算可判断.
【详解】，使得，此时，
从而，即，故错误；
对于，有，故错误，
由，可知是以1为周期的周期函数，
故只需讨论在上的值域即可，
当时，，
即函数的值域为，故正确；
当时，，故正确；
故选：.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数的图象如图所示，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的图象，先求得的值，进而求得的值，得到答案.
【详解】由函数的图象，可得，则.
故答案为：.
13. 已知集合，，若，则实数________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据条件先判断出，然后再对进行分类讨论，结合集合中元素的互异性求解出结果.
【详解】因为，所以，所以或，
当时，或，
若，，满足要求；
若，，不满足集合元素的互异性；
当时，或，
若，，不满足集合元素的互异性；
若，，满足要求；
综上，的取值为或，
故答案为：或.
14. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价元；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为元．若要使总造价不高于元，则正方形周长的最大值为________ m．

【答案】
【解析】
【分析】先分别求出正方形，长方形，四个空角的面积，再由题意计算出总成本小于28000列不等式解出即可；
【详解】设正方形的边长为，则正方形的面积为，
四个相同的矩形即阴影部分的面积为，
四个空角的面积为，
设总造价为元，则
，
即，即，解得，
故正方形周长的最大值为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知存在，使不等式成立的实数a的取值集合为A，非空集合．
（1）求集合A；
（2）设p：；q：，若p是q的必要不充分条件，求实数m的范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将“存在，使得成立”变为“存在，使得 成立”，再利用基本不等式即可求解.
（2）由p是q的必要不充分条件知是的真子集，根据集合间的基本关系即可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
当时， ，则，
∵，当且仅当，即时，等号成立.
∴
若存在，使不等式成立，则，即.
所以.
【小问2详解】
∵p是q的必要不充分条件，∴是A的真子集.
∵，是A的真子集，∴，解得.
所以实数m的范围是.
16. 已知全集，集合，集合．
（1）求，；
（2）若集合，且，求实数a的取值范围．
【答案】（1）或，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据并集，交集，补集的定义计算即可；
（2）由题意得集合间的包含关系，然后分和两种情况分类讨论即可.
【小问1详解】
由解得或，所以或，
所以或；
，所以；
【小问2详解】
由得，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上所述，实数a的取值范围为.
17. 已知定义在R上的函数满足：．
（1）求函数的解析式；
（2）解关于x的不等式；
（3）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用方程组法求函数解析式即可；
（2）整理不等式为，再根据含参一元二次不等式的解法求解即可；
（3）转化问题为在上恒成立，即，进而结合函数单调性求解即可.
【小问1详解】
由，
得，
两式联立解得，.
【小问2详解】
由（1）知，，
则不等式，即为，
整理得，，即，
当时，不等式为，解得；
当时，不等式解得；
当时，不等式解得.
综上所述，当时，不等式的解集，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
【小问3详解】
由（1）知，，
由不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，即，
因为函数在上单调递增，
所以函数上单调递增，
所以时，，即，解得，
所以实数a的取值范围为．
18. 某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元．
（1）求a，b；
（2）写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式；
（3）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
【答案】（1）
（2）
（3）当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件列出关于的方程组求解出结果；
（2）根据利润的计算公式分别考虑当，时的解析式，由此可求解出结果；
（3）利用二次函数性质分析时的最大值，利用基本不等式分析时的最大值，由此可确定出结果.
小问1详解】
由题意可知，解得；
【小问2详解】
当时，，
当时，，
综上所述，；
【小问3详解】
当时，，
此时由二次函数单调性可知；
当时，，
当且仅当，即时取等号，
且，
综上所述，当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元.
19. 我们知道，函数图象关于坐标原点成中心对称的图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．给定函数．
（1）求函数图象的对称中心；
（2）用定义证明在区间上的单调性，并求在上的值域；
（3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）证明见解析；值域为；
（3）.
【解析】
【分析】（1）设函数图象的对称中心为，根据函数关于点对称的性质得到，代入求解即可得到的值，从而得到对称中心；
（2）根据单调性定义证明，再根据所得单调性结合定义域求值域即可；
（3）由题意可知函数的值域是值域的子集，由（2）可知的值域，的值域可对二次函数分析得到，最终整合得到实数m的取值范围.
【小问1详解】
设函数图象的对称中心为，则，
即，
整理得，
于是，解得，
所以的对称中心为.
【小问2详解】
任取，且，则
，
所以且，
所以，即，
所以在上单调递增.
所以在上单调递增，故的值域为.
【小问3详解】
由于对任意，总存在，使得，
于是问题转化为在0,2上的值域是值域的子集，
在0,1单调递增，图象又关于点对称且经过点，
可知在上也单调递增，故在0,2上单调递增，又；g2=2，
所以在0,2的值域为0,2，在的值域为，
，，解得，则的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是求出两函数的值域，再利用两函数值域的包含关系即可得到不等式组，解出即可.