湖北省襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中四校2020届高三上学期期中考试数学（理）试题 Word版含解析

2019-2020学年湖北省襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中四校高三（上）期中数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题）

1. 设集合3，4，5，，，则

A.  B.  C. 3， D. 3，4，

2. 已知，为第三象限角，则

A.  B.  C.  D.

3. 设等差数列的前n项和为，若，，则

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

4. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是

A.  B.  C.  D.

5. 函数的图象是   

A.  B.  C.  D.

6. 已知等比数列的各项均为正数，若，则     

A. 1 B. 3 C. 6 D. 9

7. 己知定义域为R的函数是偶函数，且对任意，，，设，，，则

A.  B.  C.  D.

8. 函数的图象可由的图象如何得到

A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位

9. 已知函数，若函数在R上有两个零点，则a的取值范围是

A.  B.  C.  D.

10. 下列四个命题：
    函数的最大值为1；
    “，”的否定是“”；
    若为锐角三角形，则有；
    “”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件．其中错误的个数是

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

11. 设m、k为整数，方程在区间内有两个不相等的实数根，则的最小值为

A.  B.  C. 3 D. 8

12. 某学生对函数的性质进行研究，得出如下的结论：
    函数在上单调递减，在上单调递增；
    点是函数图象的一个对称中心；函数图象关于直线对称；
    存在常数，使对一切实数x均成立，其中正确命题的个数是

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题（本大题共4小题）

13. 已知函数是幂函数，且是上的减函数，则m的值为______．
14. 已知定义在R上的奇函数满足：当时，，则______．
15. 设函数，函数，若对于任意的，总存在，使得，则实数m的取值范围是_________．
16. 己知函数的图象与直线恰有四个公共点，，，，其中，则______．

三、解答题（本大题共6小题）

17. 命题p：实数a满足：的定义域为R；命题q：函数在上单调递减；如果命题为真命题，为假命题，求实数a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知函数．
    求在区间上的最大值和最小值；
    若，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知数列是递增的等差数列，，是方程的根．
    求数列的通项公式；
    求数列的前n项和．
    
    
    
    
    
    
     
20. 中国“一带一路”战略构思提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台，需另投入成本万元，当年产量不足60台时，万元；当年产量不小于60台时，万元若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．
    求年利润万元关于年产量台的函数关系式；
    当年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？
    
    
    
    
    
    
     
21. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
    求A和B的大小；
    若M，N是边AB上的点，，求的面积的最小值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知函数．
    当时，求函数的最小值；
    若时，，求实数a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】解：，
所以，
故选：A．
先对集合B化简，再求交集．
考查集合的交集运算，基础题．
2.【答案】A
 

【解析】解：，
即，为第三象限角，
，
则，
故选：A．
已知等式利用诱导公式化简求出的值，根据为第三象限角，利用同角三角函数间基本关系求出的值，即可确定出的值．
此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
3.【答案】B
 

【解析】【分析】
本题考查等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】
解：设等差数列的公差为d，，，
，，
联立解得：，．
则．
故选：B．
4.【答案】C
 

【解析】解：因为A的定义域为，不是偶函数，故A错误．
因为在单调递减，lnx在单调递增，由复合函数的性质可知，在单调递减，故B错．
由的图象知在不单调，故C错，
故选：C．
用偶函数和增函数的性质判断．
本题考察了函数的基本性质，属于基础题目．
5.【答案】A
 

【解析】【分析】
本题的考点是分段函数，考查分段函数的图象，作为函数的重要性质之一的图象问题也是高考常考点，而指对函数的图象一直是考纲要求掌握并理解的．由函数解析式，此函数是一个指数型函数，且在指数位置带有绝对值号，此类函数一般先去绝对值号变为分段函数，再依据此分段函数的性质来确定那一个选项的图象是符合题意的．

【解答】
解：，即
 由解析式可以看出，函数图象先是反比例函数的一部分，接着是直线的一部分，
考察四个选项，只有A选项符合题意，
 故选A．
6.【答案】D
 

【解析】【分析】
本题主要考查等差数列的性质，对数的运算法则，属于基础题．
由题意利用等差数列的性质，对数的运算法则，求得的值．
【解答】
解：因为等比数列的各项均为正数，且，
即，所以，
所以，所以，
故选：D．
7.【答案】C
 

【解析】解：由题意得：
对任意，，
在上为减函数；
函数是偶函数
关于y轴对称；
，
故选：C．
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，再比较大小，即可得到结论．
本题考查函数的基本性质，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
8.【答案】D
 

【解析】解：，
，
即的图象可由的图象向右平移个单位得到，
故选：D．
利用三角函数的诱导公式进行化简，结合三角函数的图象变换关系进行判断即可．
本题主要考查三角函数的图象变换关系，利用诱导公式进行化简，结合三角函数的图象变换关系是解决本题的关键．
9.【答案】B
 

【解析】解：当时，只有一个零点，
在时，与x轴只有一个交点，
由解析式可得函数的左半部分为指数函数的一部分，且随着a的变化而上下平移，
右半部分为直线的一部分，且是固定的，作图如下：

结合图象分析可得，当左半部分的图象介于两红线之间时符合题意，
而红线与y轴的焦点坐标为，且只需，即即可，
故选：B．
分段讨论零点，当时，只有一个零点，在时，与x轴只有一个交点，结合指数函数的图象即可求解a的取值范围．
本题考查根的存在性以及个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题
10.【答案】A
 

【解析】解：由，得的最大值为，故错误；
“，”的否定是“”，故正确；
为锐角三角形，，则，
在上是增函数，，同理可得，，
，故正确；
，函数的零点是a，0，结合二次函数的对称轴，
可得函数在区间内单调递增；
若函数在区间内单调递增，结合二次函数的对称轴，可得，，
“”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件，故正确．
其中错误的个数是1．
故选：A．
由二倍角的正弦公式和正弦函数的值域判断；写出全称命题的否定判断；由锐角三角形的定义和正弦函数的单调性，结合诱导公式可判断；由二次函数的图象和性质，结合充分必要条件的定义可判断．
本题考查命题的真假判断，考查三角函数的图象和性质，以及充分必要条件的判断，是中档题．
11.【答案】C
 

【解析】解：设，要使已知方程在区间内有两个不同的根，
即的图象在区间内与x轴有两个不同的交点，
由题意可得：或，
即或；
化简得，
在直角坐标系mok中作出满足不等式平面区域，
如图所示，设，则直线经过图中的阴影中的整点时，
取得最小值，即．
故选：C．
本题为一元二次方程的实根分布问题，根据一元二次函数的图象依次根据开口方向，对称轴，判别式，区间端点列出不等式，并化简不等式，得到m、k满足的条件，这个条件结合，所求的最小值为线性规划问题，数形结合解这个线性规划问题即可．
本题是一元二次方程实根分布问题和线性规划问题的结合，运用数形结合思想，是中档题．
12.【答案】B
 

【解析】解：，，当时，，
在上单调递增，又，
是偶函数，因此在上为减函数，故正确；
，，，故点不是函数图象的一个对称中心，故错误；
，
，若，
则恒成立即，不满足对任意恒成立，函数图象关于直线对称错误，故错误；
取即可说明结论是正确的，故正确．
正确命题的个数是2．
故选：B．
判断函数的奇偶性，再由导数研究单调性判断正误；
找出关于点的对称点是否关于对称即可判断正误；
说明不恒成立，判断错误；
找出一个常数M，使对一切实数x均成立即可．
本题考查三角函数的基本性质，考查函数的对称性与最值，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．
13.【答案】2
 

【解析】解：函数是幂函数，
则，即，
解得或；
当时，，函数是上的减函数，满足题意；
当时，，函数不是上的减函数，不满足题意；
所以m的值为2．
故答案为：2．
根据函数是幂函数列方程求得m的值，
再讨论是否满足是上的减函数．
本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．
14.【答案】2
 

【解析】解：因为在R上的奇函数，当时，，，，
；
所以答案为：2．
利用函数的性质，奇函数的定义，逐层从里面脱括号即可得到答案．
考查函数的奇函数性质，属于简单题．
15.【答案】
 

【解析】【分析】
本题考查函数的性质，考查函数的恒成立问题，属于中档题．
由对于任意的，总存在，使得，想到恒成立，将存在性问题转化为恒成立问题，再利用导数求函数在上的最值即可．
【解答】
解：，，
对于任意的，当时，，当时，，
 即在上为减函数，在上为增函数．
为在上的极小值点，也是最小值点，且最小值为，
对于任意的，，
而总存在，使得，
，
时，，不合题意，
时，，此时，不合题意，
时，，
，，，
故答案为：．
16.【答案】1
 

【解析】解：由题意画出图象如下：

根据题意，很明显，在D点处，直线与函数的图象相切，D点即为切点．
则有，在点D处，，而，
且，
．
．
故答案为：1．
本题先要根据题意画出图象，找到只有四个公共点的情况，明确D点即为直线与函数的图象相切点，然后代入运算，即可得到结果．
本题主要考查数形结合法的具体应用，以及直线与曲线相切的概念，并运用导数进行计算和三角函数计算的能力．本题属中档题．
17.【答案】解：命题为真命题，为假命题；
，q一真一假．
命题p：实数a满足：的定义域为R；
则恒成立，即，；
故p：；
命题q：函数在上单调递减；；
，故q：；
若p真q假，则，解得；
若p假q真，则，解得；
综上所述，实数a的取值范围是．
 

【解析】根据命题为真命题，为假命题，则p，q一真一假．先得出p，q的等价不等式，然后分p真q假和p假q真两种情况讨论，得出结果即可．
本题考查了函数的单调性、不等式恒成立问题等价转化方法、复合命题的真假判断方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：
．
，，
，则，；
由，得，
．
．
 

【解析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积．
由x的范围求得相位的范围，则函数最值可求；
由已知求得，再由诱导公式及倍角公式求的值．
本题考查三角函数的恒等变换应用，考查型函数的图象与性质，考查计算能力，是中档题．
19.【答案】解：数列是递增的等差数列，设公差为d，，是方程的根，
可得，，
则，，
解得，，
则；
，
则前n项和
．
 

【解析】由二次方程的解法可得，，由等差数列的通项公式可得首项和公差，进而得到所求通项公式；
求得，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
本题考查等差数列的通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于基础题．
20.【答案】解：设利润为y万元，由题得，
当时，；
当时，，
则；
由得，当时，，所以时y取最大值为1100万元；
当时，有，当且仅当时即时取等，此时y最大值为1300万元，
综上：当年产量为70台时，该企业的设备的生产中所获得的利润最大为1300万元．
 

【解析】根据条件，利润y为分段函数，分别表示即可；
分别求出各段上利润y的最大值，利用二次函数最值和基本不等式求最值方法即可．
本题考查实际问题中分段函数的应用，涉及二次函数求最值、基本不等式求最值等知识点，属于中档题．
21.【答案】解：，
由正弦定理得：，
，，
可得，即；
，
，
由．
由余弦定理可得：，
，
．
设，，
在中由正弦定理，得，
由可知，，
所以：，
同理，
由于，
故，此时．
故的面积的最小值为．
 

【解析】利用正余弦定理化简即求解A和B的大小．
利用正弦定理把CN、CM表示出来，结合三角函数的性质，即可求解的面积的最小值．
本题考查了正弦，余弦定理，三角函数的有界限求解最值范围，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：当时，函数的解析式为，则：，
时函数在上单调递增，在区间单调递减，
函数的最小值为：．
若时，，即
令，则；
令，则；
函数在区间上单调递增，．
若，则，即，
函数在区间上单调递增，．
式成立．
若，则．
．
故，使得．
则当时，．
即．
函数在区间上单调递减；
，即式不恒成立．
综上所述：实数a的取值范围是．
 

【解析】当时，代入解析式，求导判断函数的单调性，求出的最小值即可．
若时，，即，构造函数，讨论的单调性，求出使得的最小值大于等于零的a的取值范围即可．
本题考查了函数的单调性与最值，渗透了构造函数思想，转化思想，及分类讨论的思想方法，属于难题．