2022-2023学年湖北省鄂西北六校（宜城一中、枣阳一中等）高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省鄂西北六校（宜城一中、枣阳一中等）高一上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求解集合，根据集合的并集运算即可.

【详解】解：，，所以.

故选：D.

2．命题：p：的否定为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据全称命题的否定判断即可.

【详解】命题，的否定为，.

故选：C.

3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据抽象函数的定义域即可求解.

【详解】函数的定义域为，故，解得，

故的定义域为，

故选：B

4．下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，，则

【答案】B

【分析】对于A选项，取特殊值否定A错误；

对于B选项，根据不等式两边同乘正数不变号，可证明B正确；

对于C选项，可以证明只有时不等式成立，C错误；

对于D选项，取特殊值否定D错误.

【详解】对于A选项，，则，故A错误；

对于B选项，若，则，所以即，故B正确；

对于C选项，若，则，

只有当时，即成立，故C错误；

对于D选项，若，则，故D错误.

故选：B.

5．设，，则“”是“且”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分、必要条件的知识进行判断.

【详解】，则且.

若且，则.

所以“”是“且”的必要不充分条件.

故选：B

6．已知，，且恒成立，则实数m的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】结合基本不等式与不等式求解的最小值即可得实数m的取值范围，

【详解】因为，，，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以，

若恒成立，则.

故选：A.

7．一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题可得2，3为的两根，利用韦达定理算出的关系式，再将换成同一参数再求的根即可.

【详解】因为不等式的解集是，

故且2，3为的两根.

根据韦达定理有 ，故，

故可写成，

因为，

所以

解得或，

所以不等式的解集为

故选：A.

8．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据在上的单调递减，可以列出相应的不等式方程组，计算求解即可.

【详解】在上单调递减，，解得，

故选：C

二、多选题

9．已知R表示实数集，集合,则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】由题意可得，,

由集合的交集运算判断A；

求出即可判断B，D；

由集合的并集运算判断C.

【详解】解：因为，

,

所以，故A正确；

因为或，，所以，故B错误，D正确.；

因为，故C正确.

故选：ACD.

10．已知，且，则ab可以取的值为（    ）

A．4 B．8 C．9 D．12

【答案】CD

【分析】根据条件利用均值不等式构造不等式，利用换元法，解二次不等式即可求解.

【详解】,

，当且仅当，即时等号成立，

此时有，，设，

则，解得，，得或（舍去），

故，即

故选：CD

11．已知函数有两个零点，，则（    ）

A． B．且

C．若，则 D．函数有四个零点或两个零点

【答案】AC

【分析】根据函数零点与方程根的关系可判断A,根据一元二次方程中韦达定理可判断B,C，根据特殊情况可判断D错误.

【详解】由有两个零点可知：，故，故A正确，

由韦达定理可得：，由于，故可正可负可为0，因此无法判断，的正负，故B错误；

时，则，故C正确，

，比如当时，令，可得,此时有3个零点，故D错误，

故选:AC

12．符号表示不超过x的最大整数，如，，定义函数，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．是奇函数

C．的值域为 D．函数在上单调递增

【答案】ACD

【分析】先证明是的周期函数；

对于选项A：根据直接计算；

对于选项B：举例说明不成立；

对于选项C：由周期函数知只需求当时的值域即可；

对于选项D：由周期函数知在上单调与上单调性相同，只需判断在上单调性即可.

【详解】

所以是的周期函数，

对于选项A：，故A正确；

对于选项B：，，不恒成立，故不是奇函数，所以B错误；

对于选项C：是的周期函数，当时，，所以在上的值域为，故C正确；

对于选项D：由周期函数知在上单调与上单调性相同，当时，单调递增，故D正确.

故选：ACD

三、填空题

13．已知幂函数满足，则________．

【答案】4

【分析】先求得的解析式，然后求得.

【详解】设，

则.

故答案为：.

14．已知，则____________

【答案】

【分析】利用换元法可得函数的解析式.

【详解】令，则，，

所以，，

所以.

故答案为：.

【点睛】本题考查了利用换元法求函数的解析式，换元时要注意新元的取值范围，属于基础题.

15．不等式，恒成立，则实数的取值范围是________．

【答案】

【分析】分类讨论思想解决即可.

【详解】由题得不等式，恒成立，

当时，满足题意；

当 时

应满足 ，即，

解得 .

所以

故答案为：

16．已知方程有4个不相等实数根，且，则________．

【答案】0

【分析】设，得为偶函数，作图分析，可得，又由一元二次方程的根可得，，即可得的值.

【详解】解：设，，所以，则为偶函数

则，作出函数图象如下：

若4个不相等实数根，又偶函数得，

时，的两根为，则

时，的两根为，则

所以.

故答案为：0.

四、解答题

17．已知集合，集合

(1)若，求；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）若，则，即是方程的根，由此求解即可；

（2）因为，所以，分情况讨论，求解即可．

【详解】（1）因为，且

所以，即是方程的根

所以，得

则

所以．

（2）因为，所以

对于方程，

①当即时，，满足

②当即或时，

因为，所以或或

当时，，得

当时，，无解

当时，，无解

综上所述，．

18．已知命题p：，使；命题q：函数在区间上具有单调性．

(1)若命题p和q都是真命题，求实数a的取值范围；

(2)若命题p和q中有且仅有一个是真命题，求实数a的取值范围．

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）根据全称命题以及特称命题的为真时可得的范围，

（2）分两种情况：p真q假，p假q真即可列不等式求解.

【详解】（1）若命题p为真命题，则，∴或

若命题q为真命题，则∴或

若命题p和q都是真命题，则

∴或

（2）若命题p和q中有且仅有一个是真命题，则

①若p真q假，则

②若p假q真，则或．

综上：或

19．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．

(1)求当时，的解析式；

(2)，恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据偶函数的性质求解当时，的解析式即可；

（2）根据函数的性质求函数的最值即可得实数a的取值范围．

【详解】（1）函数是定义在上的偶函数，则

又时，，所以当时，，所以

则.

（2）由（1）知，，

所以在上单调递减，在上单调递增．

∴

，恒成立时，

20．我国承诺2030年前达“碳达峰”，2060年实现“碳中和”，“碳达峰”就是我们国家承诺在2030年前，二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；而到2060年，针对排放的二氧化碳，要采取植树，节能减排等各种方式全部抵消掉，这就是“碳中和”，嘉兴某企业响应号召，生产上开展节能减排.该企业是用电大户，去年的用电量达到20万度，经预测，在去年基础上，今年该企业若减少用电x万度，今年的受损效益S(x)(万元)满足.为解决用电问题，今年该企业决定进行技术升级，实现效益增值，今年的增效效益Z(x)(万元)满足，政府为鼓励企业节能，补贴节能费万元.

(1)减少用电量多少万度时，今年该企业增效效益达到544万元？

(2)减少用电量多少万度时，今年该企业总效益最大？

【答案】(1)减少用电量5万度时，增效效益达到544万元;

(2)当减少用电8万度时，企业总效益最大.

【分析】（1）首先求出，令解出的值即可；

（2）首先根据题意求出企业总收益Q(x)，然后只需要求分段函数Q(x)的最大值即可.

【详解】（1）易知，

因为时，，

所以由，得，解得；

即减少用电量5万度时，增效效益达到544万元.

（2）设企业总收益为Q(x)万元，

则，

当时，；

当时，，

因为，所以.

综上知，当减少用电8万度时，企业总效益最大.

21．已知函数，是奇函数．

(1)求k的值；

(2)求在上的最值；

(3)解不等式．

【答案】(1)0

(2)，

(3)或

【分析】（1）根据奇函数即可求解，

（2）根据单调性的定义证明函数的单调性，进而根据单调性即可求解最值，

（3）由单调性和奇偶性即可列不等式求解.

【详解】（1）因为函数，是奇函数,

所以∴,

经检验当时，函数是奇函数成立．

∴

（2）设，则:

,

∵∴且,

又，,

∴,

∴在上单调递增,

所以，当时，．

当时，

（3）因为，是奇函数,

∴,

由（2）知在上单调递增，所以,

或,

22．已知函数满足.

(1)根据函数单调性的定义，证明在区间上单调递减，在区间上单调递增；

(2)令，若对，，都有成立，求实数k的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据单调性的定义，作差化简，结合，，且判断正负，即得证；

（2）令，转化为，结合以及二次函数的性质可得，分析即得解.

【详解】（1）证明：设，，且，

则，

当时，∴，，∴，∴，

即，∴函数在上单调递减，

当时，∴，，∴，∴，即，∴函数在上单调递增，

综上，函数在上单调递减，在上单调递增．

（2）由题意知，令，，

由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，∴，

∵函数的对称轴方程为，

∴函数在上单调递减，

∴当时，取得最大值，，

当时，取得最小值，，

∴，，

又∵对,，都有恒成立，

∴，即，解得，

又∵，∴k的取值范围是．