辽宁省朝阳市2024-2025学年高一上学期第二次月考联合考试数学试卷[解析版]

这是一份辽宁省朝阳市2024-2025学年高一上学期第二次月考联合考试数学试卷[解析版]，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为集合，所以，.
故选：A.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】命题“，”为全称量词命题，其否定为，.
故选：B．
3. 下列四个函数中，与表示同一个函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，和的对应关系不相同，不是同一个函数，故选项A不符合；
对于B，和的对应关系不相同，不是同一个函数，故选项B不符合；
对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，
不是同一个函数，故选项C不符合；
对于D，函数的定义域和对应关系与都相同，是同一个函数，故选项D符合.
故选：D.
4. 若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为函数的定义域是，所以，所以，
所以的定义域是，故对于函数，有，解得，
从而函数的定义域是.
故选：A.
5. 已知，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，
对于选项A：因为，所以，故A正确；
对于选项B：因为，所以，故B正确；
对于选项C：取，，则，，即，故C错误；
对于选项D：因为，，所以，故D正确.
故选：C.
6. 已知函数，则（ ）
A. 5B. 0C. -3D. -4
【答案】B
【解析】.
故选：B.
7. 设，，，则的大小顺序是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
因为，，
而，所以，所以，
，
而，，，
而，所以，综上，.
故选：D.
8. 对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，如，，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得，解得，
因此或或，
又因为表示不大于x的最大整数，所以，
只有为的真子集，满足要求．
故选：B．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列四个命题中，其中为真命题的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】因为，所以，由于不能同时取得，
所以为真命题，故A正确；
当时，，所以为假命题，故B错误；
当时，成立，故为真命题，故C正确；
因为，，所以或时，有最小值，
故为假命题，故D错误.
故选：AC.
10. 关于x的不等式（其中），其解集可能是（ ）
A. B. RC. D.
【答案】BCD
【解析】A选项，当时，，所以解集不可能为，故A错误；
B选项，当，时，不等式恒成立，即解集为R，故B正确；
C选项，当，时，不等式的解集为，故C正确；
D选项，当，，不等式的解集为，故D正确．
故选：BCD．
11. 定义域和值域均为-a，a的函数y=fx和y=gx的图象如图所示，其中，则（ ）
A. 方程有且仅有3个解B. 方程有且仅有3个解
C. 方程有且仅有5个解D. 方程有且仅有1个解
【答案】ABD
【解析】对于选项A：由数形结合可知：令，或或；
令，，
因为，所以，
由数形结合可知：，都有一个根，
故方程有且仅有3个解，故选项A正确；
对于选项B：由数形结合可知：令gx=0，；令，
因为，由数形结合可知：都有3个根，
方程有且仅有3个解，故选项B正确；
对于选项C: 由数形结合可知：令，或或；
令，，
由题可知：，，
由数形结合可知，，各有三解，
故方程有且仅有9个解，故选项C错误；
对于选项D：由数形结合可知：令gx=0，；令，
因，所以只有1解，
故方程有且仅有1个解，故选项D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 满足的集合的个数为__________.
【答案】3
【解析】因为，所以可以为，共计3个.
13. 已知满足，且，则______.
【答案】4
【解析】令得，所以，
令，得.
14. 已知实数，满足，且，则的最小值为______．
【答案】
【解析】因为，所以，，
因为，所以，
由，所以.
所以
，
当且仅当，即时，等号成立.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）已知函数，求的解析式；
（2）已知为二次函数，且，求的解析式．
解：（1）设，可得，
则，
故．
（2）因为，可设，
则，解得，因此，．
16. 已知函数的定义域为，函数的值域为.
（1）若，求集合；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
解：（1）由，解得或，
所以函数的定义域为集合或.
当时，，对称轴为，
因为，所以，
又当时，，所以.
（2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以，
又因为，，
所以，
又因为或，所以或，解得或，
故的取值范围为.
17. 如图所示，为宣传某运动会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为.
（1）求关于的函数表达式；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸是最少？
解：（1）由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为，，
整理得.
（2）由（1）知，即，
由基本不等式可得，
令，则，解得（舍去）或.
，当且仅当即时等号成立，
海报长42，宽24时，用纸量最少，最少用纸量为.
18. 已知：，，：关于的方程的两根均大于1．
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若和中一个为真命题一个为假命题，求实数的取值范围．
解：（1）因为，，，
当，即时，满足题意；
当时，则有，解得，
综上，实数的取值范围.
（2）对于命题：设方程的两根均分别为，
则有，
由题可得，即，解得；
又因为若和中一个为真命题一个为假命题，
所以或，解得或，
所以实数的取值范围为.
19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”．
（1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由；
（2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2；
（3）若为正整数，求：“完美集”.
解：（1）由，，
则集合是“完美集”.
（2）若是两个不同的正数，且是“完美集”，
设，
根据根和系数的关系知，和相当于的两根，
由，解得或（舍去），
所以，又均为正数，
所以至少有一个大于2.
（3）不妨设中，
由，得，
当时，即有，又为正整数，所以，
于是，则无解，即不存在满足条件的“完美集”；
当时，，故只能，，求得，
于是“完美集”只有一个，为．
当时，由，
即有，
而，
又，因此，故矛盾，
所以当时不存在完美集，
综上知，“完美集”为.