辽宁省协作体2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省协作体2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．关于平面向量，下列说法正确的是( )
A.零向量没有方向
B.两个单位向量是相等向量
C.共线的两个向量方向相同
D.若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量
2．已知集合,，则( )
A.B.C.D.
3．若幂函数是偶函数，则( )
A.B.3C.1D.1或3
4．某学校高一、高二、高三3个年级的学生人数分别为1600，1200，2000，现按年级采用分层随机抽样的方法从中选取120人，若按照样本比例分配，则高二年级被选中的学生人数为( )
A.50B.40C.30D.20
5．已知正数a，b满足，则的最小值为( )
A.2B.C.D.
6．已知，且，则“”是“函数在R上单调递增”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7．已知,是函数图像上不同的两点，则( )
A.B.
C.D.
8．先后投掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次投掷的骰子朝上的数字为2”，表示事件“第二次投掷的骰子朝上的数字为6”，表示事件“两次投掷的骰子朝上的数字之差的绝对值小于3”，表示事件“两次投掷的骰子朝上的数字均为偶数”，则( )
A.与相互独立B.与相互独立
C.与相互独立D.与相互独立
二、多项选择题
9．已知点,,,，则( )
A.B.
C.D.
10．数据,,,,的平均数、中位数都是,则( ).
A.数据,,,,与数据,,,的平均数相等
B.数据,,,,与数据,,,的方差相等
C.数据,,,,与数据,,,的极差相等
D.数据,,,,与数据,,,的中位数相等
11．已知函数的定义域为R，，且当时，，则( )
A.B.C.D.是增函数
三、填空题
12．已知事件A与B互斥，且,，则____.
13．____.
14．已知是定义在R上的奇函数，且当时，.若,，则a的取值范围为____.
四、解答题
15．某地发起“低碳生活知识竞赛”活动，从参赛选手的答卷中随机抽取了n份，将得分（满分100分）进行适当的分组（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，且竞赛成绩落在内的人数为20.
(1)求m，n的值；
(2)若该地计划按得分从高到低选取的参赛选手为低碳生活知识宣传员，估计当选宣传员的选手的最低分.
16．已知函数.
(1)证明：是奇函数.
(2)求的值.
17．如图，在等腰梯形ABCD中，,,,，AC与EF交于点G，记,.
(1)试用基底表示,；
(2)记的面积为，的面积为，求的值.
18．学校组织知识竞赛，题库中的试题分为A，B两种类型，每个学生选择两题作答，第一题从A，B两种试题中随机选择一题作答，学生若答对第一题，则第二题选择同一种试题作答的概率为，若答错第一题，则第二题选择同一种试题作答的概率为，已知学生甲答对A种试题的概率均为，答对B种试题的概率均为，且每道试题答对与否互相独立.
(1)求学生甲两题选择A，B两种试题作答的概率；
(2)求学生甲两题均答对的概率.
19．已知函数，且.
(1)求的值；
(2)若函数存在零点，求a的取值范围；
(3)若，证明：,.
参考答案
1．答案：D
解析：向量既有大小又有方向，A不正确.
两个单位向量的方向不一定相同，则它们不一定是相等向量，B不正确.
共线的两个向量方向相同或相反，C不正确.
若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量，D正确
故选：D
2．答案：B
解析：因为，
，
所以.
故选：B
3．答案：C
解析：因为是幂函数，所以，解得或.
当时，是偶函数，符合题意；
当时，是奇函数，不符合题意.
故选：C.
4．答案：C
解析：设高二年级被选中的学生人数为x，
则.
故选：C.
5．答案：D
解析：因为，所以,
又，所以，当且仅当时，等号成立.
故选：D
6．答案：A
解析：由在R上单调递增，得，解得，
故“”是“函数在R上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A.
7．答案：C
解析：由题意不妨设，因为是增函数，
所以，即.
，
当且仅当时取等，则，
即，故C正确，D错误.
取,，则,,，故A错误，
取,，则,,，
故B错误.
故选：C
8．答案：A
解析：由题可知，，
先后投掷两枚质地均匀的骰子的所有结果有：
,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,，
共36种.
两次投掷的骰子朝上的数字之差的绝对值小于3的结果有：
,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,，
共24种.
两次投掷的骰子朝上的数字均为偶数的结果有：
,,,,,,,,，共9种.
所以，.
事件包含的结果有：,,,共4种.
事件包含的结果有：,,，共3种.
事件包含的结果有：,,，共3种.
事件包含的结果有：,,，共3种.
所以，，
，，
因为，，
，.
所以与相互独立，A正确，BCD错误.
故选：A.
9．答案：BC
解析：因为,,,，
所以,，则，故A不正确；
因为,，故B正确；
因为，故C正确；
因为,,，故D不正确.
故选：BC.
10．答案：AC
解析：设数据,,,,的平均数为,则,数据,,,的平均数为,A正确.
数据,,,,的方差,
数据,,,的方差,
所以数据,,,,与数据,,,的方差不一定相等,B错误.
数据,,,,与数据,,,的极差相等,C正确.
数据,,,,与数据,,,的中位数不一定相等,如数据2,2,5,7,9的平均数、中位数都是5,但数据2,2,7,9的中位数不是5,D错误.
11．答案：ABD
解析：对A，令，得，A正确.
对B，令，得，
所以,，
据此类推可得，所以，B正确.
对C，令，则，
且定义域为R，当时，，满足题意，C错误.
对D，令,,，则.
当时，.因为当时，，所以，
即，，所以是增函数，D正确.
故选：ABD
12．答案：0.6
解析：因为事件A与B互斥，且,，
所以，则.
故答案为：0.6
13．答案：1
解析：
故答案为：1.
14．答案：
解析：当时，显然恒成立.
当时，可以理解为将的图像向右平移个单位长度后，得到的的图像始终在的图像的下方（或重合）.
当时，由的图像可知，，解得；
当时，的图像始终在的图像的下方.
故a的取值范围为.
故答案为：
15．答案：(1)，
(2)87.5
解析：(1)由，得.
因为竞赛成绩落在内的人数为20，所以，
则.
(2)估计当选宣传员的选手的最低分为x，
因为竞赛成绩落在内的频率为0.1，竞赛成绩落在内的频率为0.2，
，所以x在内，
且，
解得，即当选宣传员的选手的最低分为87.5
16．答案：(1)证明见解析;
(2)4.
解析：(1)证明：由，得.
的定义域为，关于原点对称.
因为，
所以是奇函数.
(2)由(1)可得，
即.
因为,，
所以,，
从而.
17．答案：(1),;
(2)18.
解析：(1)由图可知，
因为，所以.
因为,，所以
(2)由AC与EF交于点G，可设,.
，
，
则解得
设边AB上的高为，边CE上的高为，
则，则.
18．答案：(1);
(2).
解析：(1)若学生甲第一题选择A种试题作答，
则第二题选择B种试题作答的概率，
若学生甲第一题选择B种试题作答，
则第二题选择A种试题作答的概率，
故学生甲两题选择A，B两种试题作答的概率.
(2)若学生甲两题都选择A种试题作答，
则两道试题均答对的概率，
若学生甲两题都选择B种试题作答，
则两道试题均答对的概率，
若学生甲第一题选择A种试题作答，第二题选择B种试题作答，
则两道试题均答对的概率，
若学生甲第一题选择B种试题作答，第二题选择A种试题作答，
则两道试题均答对的概率，
故学生甲两题均答对的概率.
19．答案：(1)1;
(2);
(3)证明见解析.
解析：(1)因为，所以
，
则，即.
当时，，
此时，
结合的定义域为R，故为奇函数，故.
(2)由(1)可知，则.
由，得，则，其中.
若，则,，不可能成立.
若,.
由，得，则，当且仅当时，等号成立，
则，
故a的取值范围为.
(3)证明：因为，所以.
任取，
令,.
因为，所以，从而，即，
故在上单调递增.
当时，，则，
则当时，，则，
由在上单调递增，得，
则.