辽宁省朝阳市重点高中2024-2025学年高一上学期12月联考数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省朝阳市重点高中2024-2025学年高一上学期12月联考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．集合,,则( )
A.B.C.D.
2．命题:“,”的否定为( )
A.,B.,
C.,D.,
3．已知,则下列不等式一定成立的是( )
A.B.C.D.
4．下列各组函数是同一个函数的是( )
①与;
②与;
③与;
④与.
A.①②B.③④C.②④D.①④
5．命题“,”为真命题的一个必要不充分条件是( )
A.B.C.D.
6．已知关于的不等式的解集为,则的最大值是( )
A.B.C.D.
7．设,,,则a,b,c的大小顺序是( )
A.B.C.D.
8．已知是定义在R上的偶函数,且对任意,有,当时,,则下列结论错误的是( )
A.
B.
C.函数有3个零点
D.当时,
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.方程组的解集是
B.若集合中只有一个元素,则
C.“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件
D.已知集合,则满足条件的集合N的个数为4
10．已知正数a,b满足,下列说法正确的是( )
A.的最大值为1
B.的最小值为
C.的最小值为2
D.的最小值为
11．对于函数下列说法正确的是( )
A.当时,的最小值为0
B.当时,存在最小值
C.当时,在上单调递增
D.的零点个数为,则函数的值域为
三、填空题
12．不等式对恒成立,则实数a的取值范围为______.
13．函数是R上的增函数,且的图象经过点和,则不等式的解集为______.
四、双空题
14．已知函数.若，则函数的零点为_________；若函数的最小值为a，则实数a的值为_________.
五、解答题
15．设集合,.
（1）若,求;;
（2）若“”是“”的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
16．某国产车企业在自动驾驶技术方面日益成熟,近期拟推出一款高阶智驾新车型,并决定大量投放市场.已知该车型年固定研发成本为3000万元,每生产x百辆,需另投入成本万元,且,由市场调研知,每辆车的售价为9万元,且生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出年利润（万元）关于年产量x（百辆）函数关系式;（利润=销售量×售价成本）
（2）年产量为多少百辆时,该企业所获年利润最大?并求出最大年利润.
17．已知,函数是奇函数,.
（1）求实数a的值;
（2）若,,使得,求实数k的取值范围.
18．已知函数.
（1）判断在区间上的单调性,并用定义证明;
（2）判断的奇偶性,并求在区间上的值域;
（3）解不等式.
19．已知函数对一切实数x,,都有成立,且,.
（1）求的值;
（2）求的解析式;
（3）若关于x的方程有三个不同的实数解,求实数k的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：集合,,
则.
故选:C.
2．答案：D
解析：因为原命题为全称命题,根据全称命题的否定是特称命题,并且需要否定结论,
所以原命题“,”的否定为“,”,
故选:D.
3．答案：D
解析：对于AC,当时,AC显然错误;
对于B,取,,满足,显然,,显然不成立,故错误;
对于D,由,
因为,所以,,,
所以,故D正确.
故选:D
4．答案：C
解析：对于①,由函数可得,解得,则其定义域为,
由函数可得,解得,则其定义域为,故①不符合题意;
对于②,函数的定义域为R,函数的定义域为R,故②符合题意;
对于③,函数的定义域为R,函数的定义域为,故③不符合题意;
对于④,函数的定义域为,函数的定义域为,故④符合题意.
故选:C
5．答案：D
解析：由,,可得在R上能成立,
因,故得.
由题意知,是选项的范围的真子集即可.
故选：D.
6．答案：D
解析：不等式可化,
因为,所以,所以不等式的解集为,
所以,,则,
因为,所以,,
则,
当且仅当,即时取等号,
所以.
故选:D.
7．答案：D
解析：因为,,,
又因为在上单调递增,所以,即,
因为,所以,
又因为在上单调递增,所以,即,
综上:.
故选:D.
8．答案：B
解析：对于A,因为,且为偶函数,
所以
,
即4是的一个周期,故A正确;
对于B,由4是的一个周期,知,,
所以,故B错误;
对于C,令,可得,
作函数和的图象如下图所示,
由图可知,两个函数图象有3个交点,故C正确;
对于D,当时,,
则,故D正确.
故选:B.
9．答案：CD
解析：对于A,因为,解得,所以解集为,故A错误;
对于B,当时,,解得,此时集合,满足题意;
当时,需满足,可得,因此或,故B错误;
对于C,由可知一元二次方程的判别式,
即该方程有两根,且两根之积,即两根异号,所以充分性成立;
若一元二次方程有一正一负根,可知两根之积为负,
即,也即,所以必要性成立,故C正确;
对于D,由可知N是集合的子集,
所以集合N可以是,,,共4个,故D正确.
故选:CD.
10．答案：BCD
解析：正数,满足,
对于A,,解得,当且仅当时取等号,A错误;
对于B,,
当且仅当时取等号,B正确;
对于C,,当且仅当时取等号,C正确;
对于D,,
当且仅当,即时取等号,D正确.
故选:BCD
11．答案：AD
解析：选项A:时,,又因为,,故函数最小值为0（当时取到）,选项正确;
选项B:不妨设,此时,
当时,
当时,
故,此时函数不存在最小值,选项错误;
选项C:在上单调递增,且,
当时,在上单调递增,且,
当时,,故当时,在R上不单调递增,选项错误;
选项D:在上单调递增,
当时,设,显然单调递增,
又,,故存在使得,
当时,无解,即在上无零点,
此时有两个零点,0和,故此时,
当时,在上有1个零点,
此时有两个零点,0和,故此时,
当时,,由A知,此时有1个零点,即,
当时,在上无零点,在上也无零点,
此时,则函数的值域为,选项正确.
故选:AD.
12．答案：
解析：当时,,符合题意,所以;
当,只需,解得,
综上实数a的取值范围为.
故答案为:.
13．答案：
解析：因为的图象经过点和,所以,.
又,所以,即.
因为函数是R上的增函数,
所以,即,即,
所以,
故答案为:.
14．答案：1；或2
解析：当时，，
当时，由，得，解得，
当时，由，得，，无解，
所以函数的零点为；
①若，即时，
则，
所以在上单调递减，最小值为；
在上的最小值为.
因为函数最小值为a，所以.
②当，即时，
则，
所以在上先减后增，最小值为；
在上的最小值为.
因为函数最小值为，所以，
解得，不合题意，舍去.
，
③当，即时，
则，
所以在上先减后增，最小值为；
在上的最小值为.
因为函数最小值为，所以，
解得或（舍去）.
综上可得或.
故答案为：1；或.
15．答案：（1）;
（2）
解析：（1）当时,,
,
所以,
或,
则;
（2）因为“”是“”的充分不必要条件,所以A是B的真子集,
对于集合A,不等式,即,
解得,所以,
因为A是B的真子集,,
所以,解得,
所以实数m的取值范围是.
16．答案：（1）
（2）当年产量为45百辆时,该企业所获利润最大,且最大利润为万元.
解析：（1）当时,,
当时,.
综上所述,
（2）当时,,
所以当时,;
当时,,
当且仅当,即时等号成立.
所以当时,.
所以当,即当年产量为45百辆时,该企业所获利润最大,且最大利润为13002.5万元.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由函数是奇函数,则,
可得,,,解得,
由,则,
当时,,可得,,解得,
所以函数的定义域为,经检验,符合题意.
（2）由函数,则函数在上单调递增,
所以函数在上的最小值;
由函数,且当时,,
则在上的最小值.
由,,使得,则,
即,解得.
18．答案：（1）在区间上的单调递增,证明见解析
（2）为奇函数,理由见解析,在区间的值域为;
（3）
解析：（1）在区间上的单调递增,证明如下:
任取,,且,
则,
因为,,且,
所以,故,
所以,故在区间上的单调递增;
（2）为奇函数,理由如下:
的定义域为,
,故为奇函数,
由于在区间上的单调递增,故在上单调递增,
又,,
故在上值域为;
（3）的定义域为,
令,解得,
由得,
当,即时,
可得,
整理得,所以,
所以,
所以,
其中的根为,,或,
由数轴标根法得到不等式解为或,
又,所以或,
当,即或时,
由得,
所以,
其中的根为,,或,
同理得到不等式解为或或,
又或,
所以或,
故不等式的解为
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）由等式,
令,可得,
由,解得.
（2）由等式,
令,可得,
由（1）中的,整理可得,
即,所以.
（3）令,则,令,
当时,,易知函数在上单调递增,
此时方程至多只存在一个根,故不符合题意;
当时,,
此时,当且仅当时,等号成立,
由,
则,所以方程在上无解,故不符合题意;
当时,,根据对勾函数的单调性,
可得函数上单调递减,在上单调递增,
由,,,
即,,
则函数在存在唯一零点,且在存在唯一零点,
所以方程存在两个根,,且,
由函数可作图如下:
由图可知方程存在三个不同的根.
综上所述,.