辽宁省朝阳市建平县实验中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

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1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】：C.
2. 已知复数（其中为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
设命题p:∀x>0,x2>0,则¬p为 ( )
A.∃x>0,x2≤0 B.∀x≤0,x2>0
C.∀x>0,x2≤0 D.∃x≤0,x2≤0
答案 A
在△ABC中,点D满足BD=2CD.记AB=a,AC=b,则AD=( )
A.-12a+32b B.13a+23b
C.-a+2b D.12a+12b
答案 C
5.已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( )
A.2 B.22 C.4 D.42
答案 B
6.‌莱布尼茨是17世纪的德国数学家，他与牛顿在函数研究上的贡献都是跨时代的，他在1673年首先使用了“函数”这个词并且提出了单调性的概念，‌‌已知在R上为减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】需要每段函数都是减函数，且第一段在x=1处函数值≥第二段在x=1处的函数值
∴，解得，故选C.
7.函数，保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数，下列说法正确的是（ ）
A.的一个零点为 B.的图像关于直线对称
C.在上单调递减 D.的一个周期为
【答案】B
【详解】由题知故 A错误.
因为的"对称轴方程为 ，当k=0时成立，故 B正确.
因为所以在上不单调，C错误.
因为的周期为，故D错误.
8．已知点为椭圆上任意一点，直线过圆的圆心且与圆交于两点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】，即，
则圆心，半径为.
椭圆方程，,
则，
则圆心为椭圆的焦点，
由题意的圆的直径，且
如图，连接，由题意知为中点，则，
可得.
点为椭圆上任意一点，
则，，由，
得.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则（ ）
A． B．在上为增函数
C．在上为减函数 D．的极值为
【解析】因为，所以,所以A不正确；
因为时,，故在上为增函数，所以B正确；
因为的定义域为，且时， ，故在上为减函数，所以C不正确：
因为的定义域为．且在(0,1 )上为减函数，在上为增函数，
所以当时，有极小值，所以D正确,
故选：BD．
10．下列说法中正确的是（ ）
A．数据1，2，2，3，4，5的极差与众数之和为7
B．若随机变量X服从二项分布，且，则
C．X和Y是分类变量，若值越大，则判断“X与Y独立”的把握性越大
D．若随机变量X服从正态分布，且，则
【解析】A：该组数据的极差为4，众数为2，所以该组数据的极差与众数之和为6，故A错误；
B：由，得，解得，
所以，故B正确；
C：值越大，X和Y有关系的可能性就越大，则“X与Y独立”的把握越小，故C错误；
D：由，得，
所以，故D正确.
故选：BD
已知等差数列{an}是递减数列,Sn为其前n项和,且S7=S8,则( )
A.d>0 B.a8=0
C.S15>0 D.S7、S8均为Sn的最大值
答案 BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．双空题第一个空2分，第二个空3分．
12．已知向量，，若，则 ．
答案：.
13.已知直线l1:y=(2a2-1)x-2与直线l2:y=7x+a平行,则a= .
答案: 2
14.曲线f(x)=excs x在x=0处的切线方程是 .
答案: y=x+1
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）记的内角的对边分别为.
(1)求；
(2)若，求的面积.
【解析】（1）由余弦定理知，
代入已知得，.
由正弦定理得，
又.
.
（2）由（1）知，
.由正弦定理
得，
的面积.
16．（15分）如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
【详解】依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），
可得、、、、
、、、、.
（Ⅰ）依题意，，，从而，所以；
（Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，，．
设为平面的法向量，则，即，
不妨设，可得．
，．
所以，二面角的正弦值为；
17.（15分）已知椭圆G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63,且过点(3,1).
(1)求椭圆G的方程;
(2)斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2),求△PAB的面积.
解析 (1)由题意,知e=ca=63,9a2+1b2=1,a2=b2+c2,解得a2=12,b2=4,
故椭圆G的方程为x212+y24=1.
(2)设直线AB的方程为y=x+n,则线段AB的中垂线方程为y=-(x+3)+2,即y=-x-1.
联立y=x+n,x212+y24=1,消去y整理得4x2+6nx+3n2-12=0,
由Δ=(6n)2-4×4(3n2-12)>0得-4