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第4章《实数》-2024-2025学年八年级上册数学单元测试卷（苏科版）
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2024-2025学年八年级上册数学单元测试卷第4章《实数》一、选择题（每题3分，共24分）1．如果一个数的平方等于，那么这个数是（ ）A． B． C．3 D．2．如图，数轴上的无理数a被挡住了，则a的相反数是（ ） A． B． C． D．3．设为实数，且，则的值是（ ）A． B． C． D．4．按括号内的要求用四舍五入法取近似数，其中错误的是（ ）A．（精确到个位） B．（精确到）C．（精确到） D．（精确到）5．64的立方根是（ ）A．4 B． C． D．6．估算的值（ ）A．在与之间 B．在与之间C．在与之间 D．在与之间7．设表示最接近x的整数（，为整数），则（ ）A．132 B．146 C．164 D．1768．对实数，定义一种新运算，规定：（其中为非零常数）；例如：；已知，给出下列结论：①；②若，则；③若，则；④有最小值，最小值为3；以上结论正确的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个填空题（每题3分，共30分）9．的算术平方根为．10．计算：．11．已知：，那么的值为．12．已知：，，且，则的值为．13．若m的平方根是，则．14．已知一个正数的两个平方根分别是和，则．15．观察下列等式：，，，，，，…，则的末位数字是．16．比较大小．（填“>”或“<”）17．当时，a，，，之间的大小关系是（用“＞”连接）．18．对任意一个两位数n，如果n满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得到一个新两位数：把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如．互换十位与个位上的数字得到32，所得的新两位数与原两位数的和为，，所以．若s，t都是“相异数”，其中，（，．x，y都是正整数），当时，则的最大值为．三、解答题（一共9题，共86分）19．（本题8分）求下列各式中x的值：（1）；（2）．20．（本题8分）把下列各数填入相应的集合里：①0.236，②，③，④，⑤0，⑥18，⑦（相邻两个5之间的8的个数逐次增加一个）．正数集合：{___________}；负数集合：{___________}；有理数集合：{___________}；无理数集合：{___________}．21．（本题8分）已知的平方根为，的立方根为．（1）求，的值；（2）求的算术平方根．22．（本题10分）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．请解答：（1）的整数部分是 ，小数部分是 （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．23．（本题8分）已知的平方根为，的立方根为，是的整数部分．求的算术平方根．24．（本题10分）（1）如图，作直角边为1的等腰，则其面积；以为一条直角边，1为另一条直角边作，则其面积；以为一条直角边，1为另一多直角边作，则其面积，……则__________；（2）请用含有（是正整数）的等式表示，并求的值． 25．（本题10分）（1）如图，把两个边长为1的小正方形沿着对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．图2中、两点表示的数分别为______，______； （2）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片（如图），使它的长是宽的2倍．小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由． 26．（本题12分）深化理解：新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；反之，当为非负整数时，如果，则．例如：，，，，…试解决下列问题：（1）填空：①________，________（为圆周率），________；②如果，求实数的取值范围；（2）若关于的不等式组的整数解恰有4个，求的取值范围；（3）求满足的所有非负实数的值．27．（本题12分）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．（1）证明勾股定理取4个与（图1）全等的三角形，其中，把它们拼成边长为的正方形，其中四边形是边长为c的正方形，如图2，请你利用以下图形验证勾股定理． （2）应用勾股定理 ①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．如图3，在数轴上找出表示1的点D和表示4的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点D为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是______．②应用场景2：解决实际问题．如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 参考答案一、选择题（每题3分，共24分）1．A【分析】利用平方根的定义解题即可．【详解】解：因为数的平方等于，，∴这个数为，选故A．2．B【分析】根据a的位置可判断a的相反数的位置，然后根据无理数的估算可得答案．【详解】解：∵，∴．∵，，∴的相反数是．故选B．3．A【分析】根据二次根式的非负性可求的值，再根据绝对值的性质即可求解．【详解】解：，∵，则；，则；∴，∴，∴，故选：．4．B【分析】根据四舍五入法求近似数的方法逐项判断即可．【详解】解：A、（精确到个位），此选项正确，不符合题意；B、（精确到），此选项错误，符合题意；C、（精确到），此选项正确，不符合题意；D、（精确到），此选项正确，不符合题意，故选：B．5．A【分析】如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，据此求解即可．【详解】解：∵，∴64的立方根是4，故选：A．6．B【分析】根据，得出的大小，继而即可求解．【详解】解：，，，故选：B．7．D【分析】先计算出，，，，，即可得出，，中有2个1，4个2，6个3，8个4，10个5，11个6，从而可得出答案．【详解】解：，即，，则有2个1；，即，，，都是2，则有4个2；，同理，可得出有6个3；，同理，可得出有8个4；，同理，可得出有10个5；则剩余11个数全为6．故．故选：D．8．B【分析】根据新定义运算法则，一元一次不等式的解法，平方根的定义判断即可．【详解】解：，，解得：，故①正确；若，，则，故②正确；，解得：，故③错误；，当时，有最小值，故④错误．故选：B．填空题（每题3分，共30分）9．【分析】先计算，在计算9的算术平方根即可得出答案．【详解】，9的算术平方根为的算术平方根为．故答案为：．10．2【分析】根据零指数幂和负整数指数幂化简即可．【详解】，故答案为：．11．【分析】根据非负数的性质列式求出的值，然后代入代数式进行计算即可得到答案．【详解】解：，，，，，解得：，，，故答案为：．12．1或9/9或1【分析】根据绝对值和算术平方根的性质求出所有可能的值，根据，确定的值，进而求的值即可．【详解】解：∵，，∴，，∵，∴，即，∴当时，，则，当时，，则，故答案为：1或9．13．9【分析】根据平方根的定义解答即可．【详解】解：因为m的平方根是，所以；故答案为：9．14．2【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程求解即可．【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和，∴，解得，故答案为：2．15．【分析】根据含有乘方的有理数的运算，确定尾数规律，由此即可求解．【详解】解：∵，，，，∴的末位数和为，即尾数为，∵，∴的位数和为，即尾数为，故答案为：．16．>【分析】先用减去，再进行整理，然后两边平方得出与0的大小关系，最后进行移项，即可得出答案．【详解】解：∵，又∵，∴，∴，故答案为：>．17．【分析】根据a的取值范围利用不等式的基本性质判断出，，进而得出，即可得出结论．【详解】解：∵，∴，，∴，即，∴，即，故答案为：．18．//【分析】先用含x的式子表示出，再用含y的式子表示出，然后根据x和y的取值求出最大值即可．【详解】将s的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为，，，；将t的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为，，，，，，，，，又，都是正整数，最大为6时，最大，，故答案为：．三、解答题（一共9题，共86分）19．（1）；（2）或【分析】（1）系数化为1，根据平方根的定义即可求解；（2）将看作整体，根据平方根的定义即可求解.【详解】（1），，解得：；（2），，，解得：或.20．0.236，，18；，，（相邻两个5之间的8的个数逐次增加一个）；0.236，，，0， 18；，（相邻两个5之间的8的个数逐次增加一个）【分析】根据正数是大于0的数，负数时小于0的数，整数和分数统称为有理数，无限不循环小数为无理数，进行判断即可得到答案．【详解】解：根据题意得：正数集合：{0.236，，18 }；负数集合：{，，（相邻两个5之间的8的个数逐次增加一个）}；有理数集合：{0.236，，，0， 18}；无理数集合：{，（相邻两个5之间的8的个数逐次增加一个）}．21．（1），；（2）5【分析】（1）根据平方根及立方根得出，，然后求解即可；（2）将（1）中结果代入，然后求算术平方根即可．【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根为，∴，，∴，．（2）由（1）知，，∴，∵25的算术平方根为，∴的算术平方根是5．22．（1）3，；（2）4【分析】（1）先估算出的取值范围，进而可得出结论；（2）先求出，的值，再代入代数式进行计算即可．【详解】（1）解：，，的整数部分是3，小数部分是．故答案为：3，；（2），，；，，，．23．【分析】首先根据平方根与立方根的概念可得、的值；接着估出的大小，可得的值；进而可得，根据平方根的求法可得答案．【详解】解：由题意，得，，，，，的整数部分，，的算术平方根是，即的算术平方根为．24．（1）；（2）【分析】（1）根据题干规律即可求解；（2）将所有三角形的面积值代入化简即可；【详解】（1）为正整数，，．故答案为：.（2）．25．（1）；（2）不能，理由见解析【分析】（1）根据图1得出小正方形对角线长即可；（2）设这个面积为的正方形纸片的边长为，面积为的长方形纸片的长、宽分别为、，根据题意即可求得、的值，再进行比较即可判定．【详解】解：（1）设边长为的小正方形沿对角线长为x，由图1得：，∴对角线为，图2中、两点表示的数分别，故答案为：，（2）不能，说明如下：设这个面积为的正方形纸片的边长为，面积为的长方形纸片的长、宽分别为、．由题得，，．，．．∵∴小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．26．（1）①7，3，4；②（2）；（3），，，．【分析】（1）①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，进而得出相关的值；②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，进而得出x的取值范围；（2）首先将看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出a的取值范围；（3）利用，为整数，设，k为整数，则，得出关于k的不等关系求出即可．【详解】（1）解：①由题意可得：，（为圆周率），∵，∴；故答案为：7，3，4；②∵，∴，∴；故答案为：；（2）解：解不等式组得：，由不等式组整数解恰有4个得，，故；（3）解：∵，为整数，设，k为整数，则，∴，∴，，∴，∴，1，2，3，则，，，．27．（1）验证见解析（2）①；②绳索的长为【分析】（1）用含、的式子用两种方法表示正方形的面积，然后整理即可证明结论；（2）①根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可．②设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论．【详解】（1）解：证明勾股定理： 由题意得，，，∴，∴．（2）解：①在中，,,点表示的数是．故答案为：．②，，．设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得．解得：．答：绳索的长为．
2024-2025学年八年级上册数学单元测试卷第4章《实数》一、选择题（每题3分，共24分）1．如果一个数的平方等于，那么这个数是（ ）A． B． C．3 D．2．如图，数轴上的无理数a被挡住了，则a的相反数是（ ） A． B． C． D．3．设为实数，且，则的值是（ ）A． B． C． D．4．按括号内的要求用四舍五入法取近似数，其中错误的是（ ）A．（精确到个位） B．（精确到）C．（精确到） D．（精确到）5．64的立方根是（ ）A．4 B． C． D．6．估算的值（ ）A．在与之间 B．在与之间C．在与之间 D．在与之间7．设表示最接近x的整数（，为整数），则（ ）A．132 B．146 C．164 D．1768．对实数，定义一种新运算，规定：（其中为非零常数）；例如：；已知，给出下列结论：①；②若，则；③若，则；④有最小值，最小值为3；以上结论正确的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个填空题（每题3分，共30分）9．的算术平方根为．10．计算：．11．已知：，那么的值为．12．已知：，，且，则的值为．13．若m的平方根是，则．14．已知一个正数的两个平方根分别是和，则．15．观察下列等式：，，，，，，…，则的末位数字是．16．比较大小．（填“>”或“<”）17．当时，a，，，之间的大小关系是（用“＞”连接）．18．对任意一个两位数n，如果n满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得到一个新两位数：把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如．互换十位与个位上的数字得到32，所得的新两位数与原两位数的和为，，所以．若s，t都是“相异数”，其中，（，．x，y都是正整数），当时，则的最大值为．三、解答题（一共9题，共86分）19．（本题8分）求下列各式中x的值：（1）；（2）．20．（本题8分）把下列各数填入相应的集合里：①0.236，②，③，④，⑤0，⑥18，⑦（相邻两个5之间的8的个数逐次增加一个）．正数集合：{___________}；负数集合：{___________}；有理数集合：{___________}；无理数集合：{___________}．21．（本题8分）已知的平方根为，的立方根为．（1）求，的值；（2）求的算术平方根．22．（本题10分）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．请解答：（1）的整数部分是 ，小数部分是 （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．23．（本题8分）已知的平方根为，的立方根为，是的整数部分．求的算术平方根．24．（本题10分）（1）如图，作直角边为1的等腰，则其面积；以为一条直角边，1为另一条直角边作，则其面积；以为一条直角边，1为另一多直角边作，则其面积，……则__________；（2）请用含有（是正整数）的等式表示，并求的值． 25．（本题10分）（1）如图，把两个边长为1的小正方形沿着对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．图2中、两点表示的数分别为______，______； （2）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片（如图），使它的长是宽的2倍．小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请你通过计算说明理由． 26．（本题12分）深化理解：新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；反之，当为非负整数时，如果，则．例如：，，，，…试解决下列问题：（1）填空：①________，________（为圆周率），________；②如果，求实数的取值范围；（2）若关于的不等式组的整数解恰有4个，求的取值范围；（3）求满足的所有非负实数的值．27．（本题12分）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．（1）证明勾股定理取4个与（图1）全等的三角形，其中，把它们拼成边长为的正方形，其中四边形是边长为c的正方形，如图2，请你利用以下图形验证勾股定理． （2）应用勾股定理 ①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．如图3，在数轴上找出表示1的点D和表示4的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点D为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是______．②应用场景2：解决实际问题．如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 参考答案一、选择题（每题3分，共24分）1．A【分析】利用平方根的定义解题即可．【详解】解：因为数的平方等于，，∴这个数为，选故A．2．B【分析】根据a的位置可判断a的相反数的位置，然后根据无理数的估算可得答案．【详解】解：∵，∴．∵，，∴的相反数是．故选B．3．A【分析】根据二次根式的非负性可求的值，再根据绝对值的性质即可求解．【详解】解：，∵，则；，则；∴，∴，∴，故选：．4．B【分析】根据四舍五入法求近似数的方法逐项判断即可．【详解】解：A、（精确到个位），此选项正确，不符合题意；B、（精确到），此选项错误，符合题意；C、（精确到），此选项正确，不符合题意；D、（精确到），此选项正确，不符合题意，故选：B．5．A【分析】如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，据此求解即可．【详解】解：∵，∴64的立方根是4，故选：A．6．B【分析】根据，得出的大小，继而即可求解．【详解】解：，，，故选：B．7．D【分析】先计算出，，，，，即可得出，，中有2个1，4个2，6个3，8个4，10个5，11个6，从而可得出答案．【详解】解：，即，，则有2个1；，即，，，都是2，则有4个2；，同理，可得出有6个3；，同理，可得出有8个4；，同理，可得出有10个5；则剩余11个数全为6．故．故选：D．8．B【分析】根据新定义运算法则，一元一次不等式的解法，平方根的定义判断即可．【详解】解：，，解得：，故①正确；若，，则，故②正确；，解得：，故③错误；，当时，有最小值，故④错误．故选：B．填空题（每题3分，共30分）9．【分析】先计算，在计算9的算术平方根即可得出答案．【详解】，9的算术平方根为的算术平方根为．故答案为：．10．2【分析】根据零指数幂和负整数指数幂化简即可．【详解】，故答案为：．11．【分析】根据非负数的性质列式求出的值，然后代入代数式进行计算即可得到答案．【详解】解：，，，，，解得：，，，故答案为：．12．1或9/9或1【分析】根据绝对值和算术平方根的性质求出所有可能的值，根据，确定的值，进而求的值即可．【详解】解：∵，，∴，，∵，∴，即，∴当时，，则，当时，，则，故答案为：1或9．13．9【分析】根据平方根的定义解答即可．【详解】解：因为m的平方根是，所以；故答案为：9．14．2【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程求解即可．【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和，∴，解得，故答案为：2．15．【分析】根据含有乘方的有理数的运算，确定尾数规律，由此即可求解．【详解】解：∵，，，，∴的末位数和为，即尾数为，∵，∴的位数和为，即尾数为，故答案为：．16．>【分析】先用减去，再进行整理，然后两边平方得出与0的大小关系，最后进行移项，即可得出答案．【详解】解：∵，又∵，∴，∴，故答案为：>．17．【分析】根据a的取值范围利用不等式的基本性质判断出，，进而得出，即可得出结论．【详解】解：∵，∴，，∴，即，∴，即，故答案为：．18．//【分析】先用含x的式子表示出，再用含y的式子表示出，然后根据x和y的取值求出最大值即可．【详解】将s的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为，，，；将t的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为，，，，，，，，，又，都是正整数，最大为6时，最大，，故答案为：．三、解答题（一共9题，共86分）19．（1）；（2）或【分析】（1）系数化为1，根据平方根的定义即可求解；（2）将看作整体，根据平方根的定义即可求解.【详解】（1），，解得：；（2），，，解得：或.20．0.236，，18；，，（相邻两个5之间的8的个数逐次增加一个）；0.236，，，0， 18；，（相邻两个5之间的8的个数逐次增加一个）【分析】根据正数是大于0的数，负数时小于0的数，整数和分数统称为有理数，无限不循环小数为无理数，进行判断即可得到答案．【详解】解：根据题意得：正数集合：{0.236，，18 }；负数集合：{，，（相邻两个5之间的8的个数逐次增加一个）}；有理数集合：{0.236，，，0， 18}；无理数集合：{，（相邻两个5之间的8的个数逐次增加一个）}．21．（1），；（2）5【分析】（1）根据平方根及立方根得出，，然后求解即可；（2）将（1）中结果代入，然后求算术平方根即可．【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根为，∴，，∴，．（2）由（1）知，，∴，∵25的算术平方根为，∴的算术平方根是5．22．（1）3，；（2）4【分析】（1）先估算出的取值范围，进而可得出结论；（2）先求出，的值，再代入代数式进行计算即可．【详解】（1）解：，，的整数部分是3，小数部分是．故答案为：3，；（2），，；，，，．23．【分析】首先根据平方根与立方根的概念可得、的值；接着估出的大小，可得的值；进而可得，根据平方根的求法可得答案．【详解】解：由题意，得，，，，，的整数部分，，的算术平方根是，即的算术平方根为．24．（1）；（2）【分析】（1）根据题干规律即可求解；（2）将所有三角形的面积值代入化简即可；【详解】（1）为正整数，，．故答案为：.（2）．25．（1）；（2）不能，理由见解析【分析】（1）根据图1得出小正方形对角线长即可；（2）设这个面积为的正方形纸片的边长为，面积为的长方形纸片的长、宽分别为、，根据题意即可求得、的值，再进行比较即可判定．【详解】解：（1）设边长为的小正方形沿对角线长为x，由图1得：，∴对角线为，图2中、两点表示的数分别，故答案为：，（2）不能，说明如下：设这个面积为的正方形纸片的边长为，面积为的长方形纸片的长、宽分别为、．由题得，，．，．．∵∴小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．26．（1）①7，3，4；②（2）；（3），，，．【分析】（1）①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，进而得出相关的值；②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，进而得出x的取值范围；（2）首先将看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出a的取值范围；（3）利用，为整数，设，k为整数，则，得出关于k的不等关系求出即可．【详解】（1）解：①由题意可得：，（为圆周率），∵，∴；故答案为：7，3，4；②∵，∴，∴；故答案为：；（2）解：解不等式组得：，由不等式组整数解恰有4个得，，故；（3）解：∵，为整数，设，k为整数，则，∴，∴，，∴，∴，1，2，3，则，，，．27．（1）验证见解析（2）①；②绳索的长为【分析】（1）用含、的式子用两种方法表示正方形的面积，然后整理即可证明结论；（2）①根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可．②设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论．【详解】（1）解：证明勾股定理： 由题意得，，，∴，∴．（2）解：①在中，,,点表示的数是．故答案为：．②，，．设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得．解得：．答：绳索的长为．
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