人教版（2024）八年级下册20.2 数据的波动程度优秀巩固练习

这是一份人教版（2024）八年级下册20.2 数据的波动程度优秀巩固练习，文件包含人教版数学八年级下册同步讲义+练习第二十章第03讲数据的波动程度3个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固原卷版docx、人教版数学八年级下册同步讲义+练习第二十章第03讲数据的波动程度3个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。

知识点01 方差
方差的定义与计算公式：
定义：若有个数据，他们的平均数是，我们可以用 这些数与平均数的差的平方，即的平均数来衡量这组数据的 波动大小 。并把它叫做这组数据的方差。
计算公式：用字母 来表示方差。
＝ 。
方差的意义：
方差是用来衡量一组数据的 波动大小 ，一组数据的方差越大，数据的波动 越大 ，一组数据的方差越小，数据波动 越小 。
方差的拓展：
若数据的方差是：
数据的方差是 。
数据的方差是 。
数据的方差是 。
标准差：
求方差的算术平方根即为一组数据的标准差。
极差：
一组数据的 最大值 与 最小值 的差即为一组数据的极差。
【即学即练1】
1．2023年杭州亚运会，有五位同学将参加“中国舞迎亚运”活动，已知小队中的每个人的身高（单位：cm）分别为：168、167、170、172、158．则这些队员的身高的方差为（ ）
A．116B．33.4C．23.2D．4.8
【分析】根据方差的定义列式计算即可．
【解答】解：这组数据的平均数为＝167，
所以其方差为×[（168﹣167）2+（167﹣167）2+（170﹣167）2+（172﹣167）2+（158﹣167）2]＝23.2，
故选：C．
【即学即练2】
2．甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是S甲2＝0.46，S乙2＝1.15，S丙2＝1.78，S丁2＝0.92．则射击成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵S甲2＝0.46，S乙2＝1.15，S丙2＝1.78，S丁2＝0.92，
∴S甲2＜S丁2＜S乙2＜S丁2，
∴射击成绩最稳定的是甲，
故选：A．
【即学即练3】
3．一组数据的标准差计算公式是s＝，则这组数据的平均数是 6 ．
【分析】根据标准差的计算公式即可直接得出这组数据的平均数．
【解答】解：∵数据的标准差计算公式是s＝，
∴这组数据的平均数是6．
故答案为：6．
【即学即练4】
4．已知一组数据6、2、4、4、5，则这一组数据的极差为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据一组数据的最大值减去最小值的差就是极差，进行求解即可．
【解答】这组数据的极差是6﹣2＝4，
故选：D．
知识点02 用样本方差估算整体方差
用样本方差估算整体方差：
就像用样本平均数估算整体平均数一样，在考察总体方差时，如果考察的总体包含很多个体时，或者考察本身具有破坏性，则在实际中常常用样本方差估算整体方差。
【即学即练1】
5．袁隆平海水稻科研团队从甲、乙两种水稻苗中随机抽取部分稻苗测量苗高，算得它们的方差分别为，，则下列对苗高的整齐程度描述正确的是（ ）
A．甲更整齐B．乙更整齐C．一样整齐D．无法确定
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【解答】解：因为，，
所以方差小的为甲，
所以甲更整齐．
故选：A．
知识点03 数据分析的步骤
数据分析的步骤：
收集数据：确定样本与抽取样本的方法。
制成统计表。
描述数据：根据统计表画出统计图（条形图、直方图以及折线图等），使得数据分布的信息更清楚的展现出来。
数据分析：根据原始数据以及各种统计图表，计算各组数据的平均数，中位数，众数以及方差等，通过分析图表以及计算结果得出结论。
【即学即练1】
6．为积极创建“全市儿童青少年近视防控示范学校”，培养学生良好的用眼习惯，某校本学期开展了正确用眼知识竞赛，从中随机抽取20份学生答卷，并统计成绩（成绩得分用x表示，单位：分），收集数据如下：
86 82 90 99 98 96 90 100 89 83
87 88 81 90 93 100 96 100 92 100
整理数据：
分析数据：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表格中a，b，c的值；
（2）该校有2700名学生参加了知识竞赛，请估计成绩不低于90分的人数；
（3）请从中位数、众数中选择一个量，结合本题解释它的意义．
【分析】（1）用总人数减去已知人数即可得到a的值；将这20个数据按大小顺序排列，第10和11个数据的平均数即为中位数，出现次数最多的数据即为众数；
（2）先求出样本中不低于90分的人数所占样本的百分比，再乘以2000即可得到结果；
（3）根据中位数和众数的意义进行回答即可．
【解答】解：（1）将这组数据按照从小到大的顺序重新排列为：81，82，83，86，87，88，89，90，90，90，92，93，96，96，98，99，100，100，100，100
∴a＝5，b＝＝91，c＝100；
（2）估计成绩不低于9（0分）的人数是2700×＝1755（人），
答：估计成绩不低于9（0分）的人数是1755人；
（3）中位数：在统计的问卷的成绩中，最中间的两个分数的平均数是9（1分），
众数：在统计的问卷的成绩中，得100分的人数最多．
题型01 统计量的计算
【典例1】一组数据：7，5，9，6，9，12．下列关于这组数据的说法错误的是（ ）
A．众数是9B．中位数是9C．平均数是8D．方差是
【分析】将数据重新排列，再依据众数、中位数、算术平均数及方差的定义求解即可．
【解答】解：这组数据重新排列为5，6，7，9，9，12，
所以这组数据的众数为9，中位数为＝8，
平均数为×（5+6+7+9+9+12）＝8，
方差为[（5﹣8）2+（6﹣8）2+（7﹣8）2+2×（9﹣8）2+（12﹣8）2]＝，
故选：B．
【变式1】一组数据：1，4，7，7，x，4的平均数是5，则下列说法中正确的是（ ）
A．这组数据的极差是3
B．这组数据的中位数是7
C．这组数据的众数是4
D．这组数据的方差是5
【分析】分别求出这组数据的极差，众数，中位数，方差，即可判断每个选项．
【解答】解：∵一组数据：1，4，7，7，x，4的平均数是5，
∴，
∴x＝7．
极差是7﹣1＝6，故A是错误的，不符合题意；
则一组数据：1，4，4，7，7，7，
则这组数据的中位数是，故B是错误的，不符合题意；
∴这组数据的众数是7，故C是错误的，不符合题意；
方差＝，
故D是正确的，符合题意．
故选：D．
【变式2】某校在读书系列活动中，为了解学生的课外阅读情况，随机选取了某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间（单位：小时）进行统计，数据如图表，两组数据的众数分别为M甲、M乙，方差分别为、，则（ ）
A．M甲＞M乙，
B．M甲＝M乙，
C．M甲＝M乙，
D．M甲＝M乙，
【分析】分别根据众数的定义以及方差的计算方法解答即可．
【解答】解：由题意得，甲组的众数M甲＝8，乙组的众数M乙＝8，
∴M甲＝M乙，
甲组的平均数为（6+7+8+8+8+9+10）＝8，
∴s甲2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+3×（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝；
乙组的平均数为（4+7+8+8+8+9+12）＝8，
∴s乙2＝[（4﹣8）2+（7﹣8）2+3×（8﹣8）2+（9﹣8）2+（12﹣8）2]＝，
∴s甲2＜s乙2．
故选：D．
【变式3】为了迎战中考的第一站一体考，某班50名同学积极训练，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小刚有事没有参加本次集体测试，因此计算其他49人的平均分为49分，方差S2＝1.6．后来小刚进行了补测，成绩为49分，关于该班50人的测试成绩，下列说法正确的是（ ）
A．平均分不变，方差变大
B．平均分不变，方差变小
C．平均分和方差都不变
D．平均分和方差都改变
【分析】根据平均数，方差的定义计算即可．
【解答】解：∵小刚的成绩和其他49人的平均数相同，都是49分，
∴该班50人的测试成绩的平均分为49分，
∴新数据的每个数据与平均数差的平方和保持不变，而总人数在原数据的基础上增加1，
∴新数据方差变小，
故选：B．
【变式4】教练将某射击运动员50次的射击成绩录入电脑，计算得到这50个数据的平均数是7.5，方差是1.64．后来教练核查时发现其中有2个数据录入有误，一个错录为9环，实际成绩应是6环；另一个错录为7环，实际成绩应是10环．教练将错录的2个数据进行了更正，更正后实际成绩的平均数是，方差是s2，则（ ）
A．＝1.64B．＜1.64
C．＞1.64D．＝1.64
【分析】根据算术平均数和方差的定义解答即可．
【解答】解：由题意可知，录入有误的两个数的和为9+7＝16，实际的两个数的和为6+10＝16，
所以更正后实际成绩的平均数是与原来平均数相同，
所以＝7.5，
∵（7.5﹣9）2+（7.5﹣7）2＝2.5，
（7.5﹣6）2+（7.5﹣10）2＝8.5，
∴s2＞1.64，
故选：C．
【变式5】若一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差为3，则数据x1﹣2，x2﹣2，x3﹣2，…xn﹣2的方差是（ ）
A．1B．3C．6D．﹣8
【分析】由新数据是将原数据每个均减去2所得，知新数据与原数据的波动幅度保持不变，据此可得答案．
【解答】解：由题意知，新数据是将原数据每个均减去2所得，
所以新数据与原数据的波动幅度保持不变，
所以数据x1﹣2，x2﹣2，x3﹣2，…xn﹣2的方差是3，
故选：B．
【变式6】一组数据a、b、c、d、e、f、g的平均数是m，方差是n，则另一组数据3a﹣2、3b﹣2、3c﹣2、3d﹣2、3e﹣2、3f﹣2、3g﹣2的平均数和方差分别是（ ）
A．3，3n﹣2B．3m﹣2，nC．m﹣2，3nD．3m﹣2，9n
【分析】根据平均数，方差的公式进行计算．
【解答】解：依题意，＝（a+b+c+d+e+f+g）＝m，
∴a+b+c+d+e+f+g＝7m，
∴3a﹣2，3b﹣2，3c﹣2，3d﹣2，3e﹣2，3f﹣2、3g﹣2的平均数为＝[（3a﹣2）+（3b﹣2）+（3c﹣2）+（3d﹣2）+（3e﹣2）+（3f﹣2）+（3g﹣2）]＝×（3×7m﹣2×7）＝3m﹣2，
∵数据a，b，c，d，e，f，g的方差n，
S2＝[（a﹣m）2+（b﹣m）2+（c﹣m）2+（d﹣m）2+（e﹣m）2+（f﹣m）2+（g﹣m）2]＝n，
∴数据3a﹣2，3b﹣2，3c﹣2，3d﹣2，3e﹣2，3f﹣2、3g﹣2方差S′2＝[（3a﹣2﹣3m+2）2+（3b﹣2﹣3m+2）2+（3c﹣2﹣3m+2）2+（3d﹣2﹣3m+2）2+（3e﹣2﹣3m+2）2+（3f﹣2﹣3m+2）2+（3g﹣2﹣3m+2）2]
＝[（a﹣m）2+（b﹣m）2+（c﹣m）2+（d﹣m）2+（e﹣m）2+（f﹣m）2+（g﹣m）2]×9
＝9n．
故选：D．
题型02 方差的意义
【典例1】甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如表所示：
则这四人中成绩好且发挥最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【解答】解：因为乙、丙的平均数高于甲、丁，
所以乙、丙的成绩较好，
又因为丙的方差比较乙小，
所以这四人中成绩好且发挥最稳定的是丙．
故选：C．
【变式1】在日常生活中，对某些技能的训练，新手的表现通常不太稳定．以下是小逸和小亮在射击训练中进行10次射击之后的成绩统计，请根据图中信息估计谁可能是新手（ ）
A．小亮B．小逸C．都是新手D．无法判定
【分析】根据图中的信息找出波动性大的即可．
【解答】解：根据图中的信息可知，小亮的射击成绩波动性大，
则新手最可能是小亮，
故选：A．
【变式2】在一次投篮训练中，甲、乙、丙、丁四人各进行10次投篮练习，每人投篮成绩的平均数都是9.3，方差分别为S甲2＝0.54，S乙2＝0.45，S丙2＝0.56，S丁2＝0.62，成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】根据方差的意义求解可得．
【解答】解：∵S甲2＝0.54，S乙2＝0.45，S丙2＝0.56，S丁2＝0.62，
∴S乙2＜S甲2＜S丙2＜S丁2，
∴成绩最稳定的是乙，
故选：B．
【变式3】为庆祝2023年5月30日神舟十六号成功发射，学校开展航天知识竞赛活动，经过几轮筛选，某班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：分2）如表所示，根据表中数据，要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，应选择：（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．
【解答】解：∵乙和丁的平均数大于甲和丙的平均数，
∴从乙和丁中选择一人参加比赛，
∵乙的方差小于丁的方差，
∴选择乙参赛．
故选：B．
题型03 方差公式的应用
【典例1】在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式，则下列说法错误的是（ ）
A．样本的方差是2B．样本的中位数是3
C．样本的众数是3D．样本的平均数是3
【分析】先根据方差的计算公式得出样本数据，样本平均数，方差，再根据中位数与众数的定义逐项判断即可得．
【解答】解：由方差的计算公式得：这组样本数据为2，3，3，4，
∴样本的平均数是，故D正确，不符合题意；
∴
＝
＝，故A错误，符合题意；
样本的中位数是，故B正确，不符合题意；
样本的众数是3，故C正确，不符合题意；
故选：A．
【变式1】在一次国学知识答题比赛中，某支参赛队伍的选手比赛成绩的方差计算公式为：s2＝[（x1﹣82）2+（x2﹣82）2+…+（x5﹣82）2]，下列说法错误的是（ ）
A．这支队伍共有5位选手参赛
B．这支队伍参赛选手的平均成绩为82分
C．这支队伍参赛选手成绩的中位数为82分
D．这支队伍参赛选手的团体总分为410分
【分析】由方差的算式知，这支队伍共有5位选手参赛，成绩的平均数为82分，中位数无法确定，这支队伍参赛选手的团体总分为82×5＝410（分），从而得出答案．
【解答】解：由方差的算式知，这支队伍共有5位选手参赛，成绩的平均数为82分，中位数无法确定，这支队伍参赛选手的团体总分为82×5＝410（分），
故选：C．
【变式2】已知一组数据的方差：，则m+n的值为 5 ．
【分析】由题意知，这组数据分别为4、7、9、m、n，且平均数为5，再根据算术平均数的定义可得答案．
【解答】解：由题意知，这组数据分别为4、7、9、m、n，且平均数为5，
∴（4+7+9+m+n）＝5，
解得：m+n＝5，
故答案为：5．
【变式3】一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是 4.5 ．
【分析】根据题意可得平均数，再根据方差的定义可得答案．
【解答】解：平均数为：，
故方差是：．
故答案为：4.5．
题型04 统计量的选择
【典例1】某校开展校园安全知识竞赛，计划从参加初赛的29名同学中选取前15名参加决赛，参赛选手小明要想知道自己是否入围，他只需要知道29名参赛选手成绩的（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
【分析】由于比赛取前15名参加决赛，共有29名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
【解答】解：某校有29名同学参加初赛，取前15名参加决赛，参赛选手小明要想知道自己是否入围，他只需要知道29名参赛选手成绩的中位数．
故选：C．
【变式1】期中考试后，班里有两名同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小明说：“我们组成绩是86分的同学最多．”小英说：“我们组的7名同学中成绩排在最中间的恰好也是86分．”小明、小英两名同学的话能反映的统计量分别是（ ）
A．众数和平均数B．平均数和中位数
C．中位数和众数D．众数和中位数
【分析】根据众数和中位数的概念可得出结论，一组数据中出现次数最多的数值是众数；将数据从小到大排列，当项数为奇数时中间的数为中位数，当项数为偶数时中间两个数的平均数为中位数．
【解答】解：由题可知，小明所说的是多数人的分数，是众数，小英所说的为排在中间人的分数，是中位数．
故选：D．
【变式2】下表是某社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是（ ）
A．平均数B．方差C．中位数D．众数
【分析】根据平均数、方差、中位数和众数的定义即可得出答案．
【解答】解：由于13岁和14岁的人数不确定，所以平均数、方差和众数就不确定，
因为该组数据有20个，中位数为第10个和11个的平均数：＝12，
所以仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是中位数．
故选：C．
【变式3】在怀化市雅礼实验学校一次数学竞赛中，21名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前10名进入决赛，如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这21名同学成绩的（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【分析】由于比赛取前10名参加决赛，共有21名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
【解答】解：21个不同的成绩按从小到大排序后，中位数之后的共有10个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故选：B．
题型05 统计顺序与方法的选择
【典例1】实施“双减”政策后，为了解我县初中生每天完成家庭作业所花时间及质量情况，根据以下四个步骤完成调查：①收集数据；②分析数据；③制作并发放调查问卷；④得出结论，提出建议和整改意见．你认为这四个步骤合理的先后排序为（ ）
A．①②③④B．①③②④C．③①②④D．②③④①
【分析】根据题目提供的问题情境，采取抽样调查的方式进行，于是先确定抽查样本，紧接着统计收集来的数据，对数据进行分析，最后得出结论，提出建议．
【解答】解：在统计调查中，我们利用调查问卷收集数据，利用表格整理分析数据，利用统计图描述数据，通过分析表和图来了解情况，最后得出结论，提出建议和整改意见．
因此合理的排序为：③①②④．
故选：C．
【变式1】某学校数学社团为了解本校学生每天完成家庭作业所花时间，根据以下四个步骤完成调查：①收集数据：②分析数据；③得出结论，提出建议；④制作并发放调查问卷．这四个步骤的先后顺序为（ ）
A．①②③④B．④①②③C．①③②④D．④①③②
【分析】根据调查收集数据的过程和方法，按照收集数据的过程进行判断即可．
【解答】解：有调查收集数据的过程可知，四个步骤的先后顺序为④①②③，
故选：B．
【变式2】万州区教师进修学院为了督查国家双减政策的落实情况，现调查某校学生每日睡眠时长问题，选用下列哪种方法最恰当（ ）
A．查阅文献资料B．对学生问卷调查
C．上网查询D．对校领导问卷调查
【分析】根据调查收集数据的过程和方法以及抽样调查的可靠性进行判断即可．
【解答】解：为了调查某校学生每日睡眠时长问题，最恰当的方法是对学生进行问卷调查，
故选：B．
【变式3】国际数学奥林匹克（InternatinalMathematicalOlympiad，简称IMO）是世界上规模和影响最大的中学生数学学科竞赛活动，我国自1985年第一次参加比赛以来取得卓越的成绩．想了解历届我国参赛的获奖情况获得数据的方式是（ ）
A．实验B．问卷调查
C．查阅文献资料D．实地考察
【分析】根据获取样本的可靠性，代表性结合具体的问题情境进行判断即可．
【解答】解：想了解历届我国参赛的获奖情况获得数据的方式是查阅文献资料，
故选：C．
题型06 统计应用
【典例1】某新型充电电池生产厂研发了“天干”、“地支”两种存储电量相同的快速充电电池，为了掌握这两种电池从电量为零到充满电量所需要的时长，从“天干”、“地支”两种型号电池中各随机抽取了10块电池，对它们的充电时长（单位：分钟）进行整理、描述和分析．下面分别给出了抽取的电池的充电时长的部分信息：
“天干”电池的充电时长：28，28，29，29，30，30，30，31，32，33，
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 30 ，b＝ 30 ；
（2）该厂在3月份共生产了1000块“天干”型号的充电电池，估计该型号电池充电时长超过30分钟的数量；
（3）若电池的充电时长越短，电池性能越优异．根据以上数据，你认为哪个型号的电池的性能更优异，请说明理由．（写出一条即可）
【分析】（1）由小到大排列“天干”电池的充电时长，中间两个数据的平均值，即为中位数，出现次数最多的数据，即为众数，
（2）根据样本中充电时长超过30分钟的数量，预估1000块中充电时长超过30分钟的数量，
（3）根据“电池的充电时长越短，电池性能越优异”，比较两组数据中的中位数即可．
【解答】解：（1）“天干”电池的充电时长：28，28，29，29，30，30，30，31，32，33，
中位数，众数b＝30，
故答案为：30；30；
（2）：∵抽取10块“天干”电池中，充电时长超过30分钟的数量为3块，
∴估计1000块“天干”型号电池中，充电时长超过30分钟的数量为（块），
故答案为：估计1000块“天干”型号电池中，充电时长超过30分钟的数量为300块，
（3）∵电池的充电时长越短，电池性能越优异，
∴比较两种型号的电池的中位数，29＜30，
∴充电时长更短的“地支”型号电池的性能更优异，
故答案为：因为“地支”型号电池的中位数为29小于“天干”型号电池的中位数30，所以“地支”型号电池的性能更优异．
【变式1】某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）
甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．
乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．
（1）以上成绩统计分析表中a＝ 6 ，b＝ 7 ，c＝ 7 ；
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是 甲 组的学生；
（3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；
（2）根据中位数的意义即可得出答案；
（3）根据平均数与方差的意义即可得出答案．
【解答】解：（1）把甲组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是＝6，则中位数a＝6；
b＝×（5+6+6+6+7+7+7+7+9+10）＝7，
乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多，所以众数c＝7．
故答案为：6，7，7；
（2）小明可能是甲组的学生，理由如下：
因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，所以在小组中属中游略偏上，
故答案为：甲；
（3）选乙组参加决赛．理由如下：
S乙2＝＝＝，
∵甲乙组学生平均数差不多，而S甲2＝2.6＞S乙2＝2，
∴乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加决赛．
【变式2】重庆二外开展校本知识竞赛活动，现从八年级和九年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析，将学生竞赛成绩分为A、B、C、D四个等级，分别是：A：x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100．下面给出了部分信息：其中，八年级学生的竞赛成绩为：68，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，92，94，95，96，96；九年级等级C的学生成绩为：82，83，84，84，87，87，88．
两组数据的平均数、中位数、众数如表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 87 ，b＝ 86 ，m＝ 40 ；
（2）以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若八、九年级各有600名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人．
【分析】（1）根据中位数与众数定义扇形及占比直接计算即可得到答案；
（2）根据众数，中位数，平均数直接判断即可得到答案；
（3）利用各年级人数乘以各自的占比即可得到答案．
【解答】解：（1）八年级86出现三次，出现次数最多，故b＝86，
∵20×（10%+15%）＝5＜10，A、B、C占比和大于50%，
∴九年级的中位数在等级C内，第10个与11个数都是87，
∴，
由扇形统计图可得，m%＝50%﹣10%＝40%，
∴m＝40，
故答案为：a＝87，b＝86，m＝40；
（2）∵八年级与九年级的平均数相同，九年级的中位数与众数大于八年级的中位数与众数，
∴九年级的成绩更好一些；
（3）由八年级的数据可得，
八年级优秀的比例为：，
∴两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有：600×30%+600×40%＝180+240＝420，
答：两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有420人．
【变式3】为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：
身高情况分组表
根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）抽取的样本中，男生的身高众数在 B组，中位数在 C组；
（2）抽取的样本中，女生身高在E组的人数有多少人；
（3）已知该校共有男生840人，女生820人，请估计身高在C组的学生人数．
【分析】（1）根据众数的定义，以及中位数的定义解答即可；
（2）先求出女生身高在E组所占的百分比，再求出总人数然后计算即可得解；
（3）确定男、女学生身高在160≤x＜170之间的百分比即可求解．
【解答】解：（1）∵直方图中，B组的人数为12，最多，
∴男生的身高的众数在B组，
男生总人数为：4+12+10+8+6＝40，
按照从低到高的顺序，第20、21两人都在C组，
∴男生的身高的中位数在C组，
故答案为：B，C；
（2）女生身高在E组的百分比为：1﹣17.5%﹣37.5%﹣25%﹣15%＝5%，
∵抽取的样本中，男生、女生的人数相同，
∴样本中，女生身高在E组的人数有：40×5%＝2（人）；
（3）840×+820×25%
＝210+205
＝415（人），
∴估计身高在C组的学生约有415人．
1．已知一组数据2，3，5，3，7，关于这组数据，下列说法不正确的是（ ）
A．平均数是4B．众数是3C．中位数是5D．极差是5
【分析】根据众数、极差、平均数、中位数的含义和求法，逐一判断即可．
【解答】解：∵这组数据的平均数是：
（2+3+5+3+7）÷5
＝20÷5
＝4，
∴选项A正确，不符合题意；
∵2，3，5，3，7这组数据出现次数最多的数是3，
∴众数为3，
∴选项B正确，不符合题意；
∵2，3，5，3，7，排序为2，3，3，5，7，
∴中位数为3，
∴C选项错误，符合题意；
∵2，3，5，3，7，这组数据的最大值是7，最小值是2，
∴这组数据的极差是：7﹣2＝5，
∴选项D正确，不符合题意；
故选：C．
2．一组7个数据分别为2，2，2，3，3，4，5．若去掉一个数据，平均数不变，则下列说法正确的是（ ）
A．中位数与众数都不变B．众数与方差都不变
C．中位数与极差都不变D．众数与极差都不变
【分析】先根据去掉一个数据，平均数不变，可知去掉的数据，然后根据平均数、众数、中位数、方差、极差的概念即可阶段．
【解答】解：一组7个数据分别为2、2、2、3、3、4、5的平均数为3，则去掉的数据为3；
新的这组数据为2、2、2、3、4、5；
原数据的中位数为3，众数为2，极差为3，方差为；
新数据的中位数为，众数为2，极差为3，方差为；
综上，两组数据的众数和极差都不变．
故选：D．
3．已知一组数据26，36，36，2■，41，42，其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则关于这组数据下列统计量的计算结果与被涂污数字无关的是（ ）
A．平均数B．方差C．中位数D．众数
【分析】利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断．
【解答】解：这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为36与36的平均数，与被涂污数字无关．
故选：C．
4．河南省博物院中五位讲解员的年龄（单位：岁）分别为19，23，23，25，28，则三年后这五位讲解员的年龄数据中一定不会改变的是（ ）
A．方差B．众数C．中位数D．平均数
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：三年后这五位讲解员的年龄数据是在原数据的基础上加3，新数据和原数据的波动幅度不会发生变化，
所以三年后这五位讲解员的年龄数据中一定不会改变的是方差，
故选：A．
5．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.2环，方差分别是s甲2＝0.12，s乙2＝0.25，s丙2＝0.35，s丁2＝0.46，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】根据方差越小成绩越稳定，即可判断．
【解答】解：∵s甲2＝0.12，s乙2＝0.25，s丙2＝0.35，s丁2＝0.46，
∴s甲2＜s乙＜2s丙2＜s丁2，
∴本次射击测试中，成绩最稳定的是甲．
故选：A．
6．“计”高一筹，“算”出风采．为提高学生的运算能力，某校开展以计算为主题的项目活动．已知甲班10名学生测试成绩的方差是s甲2＝0.19，乙班10名学生测试成绩的方差是s乙2＝m，两班学生测试的平均分都是95分，结果主办方根据平均成绩和方差判定乙班胜出，则m的值可能是（ ）
A．0.20B．0.22C．0.19D．0.18
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵两班学生测试的平均分都是95分，而结果主办方根据平均成绩和方差判定乙班胜出，
∴乙的方差小于甲的方差，
又s甲2＝0.19，s乙2＝m，
∴m＜0.19，
故选：D．
7．某校“英语课本剧”表演比赛中，九年级的10名学生参赛成绩统计如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中正确的是（ ）
A．平均数是88B．众数是85
C．中位数是90D．方差是6
【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案．
【解答】解：∵平均数是（80×1+85×2+90×5+95×2）÷10＝89；
故A错误；
∵90出现了5次，出现的次数最多，
∴众数是90；
故B正确；
共有10个数，
∴中位数是第5、6个数的平均数，
∴中位数是（90+90）÷2＝90；
故C正确；
方差为 ×[（89﹣80）2+2×（89﹣85）2+2×（89﹣95）2+（89﹣90）2×5]＝19，
故D错误．
故选：C．
8．我们知道，“方差”是描述一组数据离散程度的统计量，老师想了解学生对于“方差”概念的掌握情况，给出了一组样本数据方差的计算公式：s2＝．由公式提供的信息，请同学们判断下列说法错误的是（ ）
A．样本的总数n＝4
B．样本的众数是6
C．样本的中位数是4
D．样本的方差值
【分析】由方差的算式得出这组数据为1、3、4、6、6，再根据众数、中位数、方差的定义求解即可．
【解答】解：由题意知，这组数据为1、3、4、6、6，
∴这组数据的样本容量n＝5，众数为6，中位数为4，平均数为＝4，
所以方差为×[（1﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+2×（6﹣4）2]＝，
故选：A．
9．许老师在调查学生每天完成作业时间时，得到了一组样本数据x1，x2，x3，x4，x5，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则在①、②、③、④中正确结论的序号是（ ）
①x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数
②x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，x3，x4，x5，x6的中位数
③x2，x3，x4，x5的方差不小于x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差
④x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，x3，x4，x5，x6的极差
A．①④B．①③C．②③D．②④
【分析】根据平均数、中位数、方差和极差的定义判断即可．
【解答】解：①设x2，x3，x4，x5的平均数为a，x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数为b，x1+4a+x6＝6b，只有当x1+x6＝2a时，a＝b，故①错误．
②x1最小，x6最大，所以x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，x3，x4，x5，x6的中位数，故②正确；
③去掉最小的x1，最大的x6，x2，x3，x4，x5的波动性变小，方差不大于x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差，故③错误；
④去掉最小的x1，最大的x6，x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，x3，x4，x5，x6的极差，故④正确．
故选：D．
10．若一组数据a1，a2，…，an的平均数为10，方差为4，则数据a1+3，a2+3，…，an+3的平均数和方差分别是（ ）
A．13，7B．13，4C．10，4D．10，7
【分析】根据平均数的性质、方程的性质解答即可．
【解答】解：a1，a2，…an的平均数是10，
则数据a1+3，a1+3，a2+3，…，an+3平均数是10+3＝13，
a1，a2，…，an方差是4，
则数据a1+3，a1+3，a2+3，…，an+3的方差是4，
故选：B．
11．实施“双减政策”之后，为了解贵阳市某初中2735名学生平均每天完成各科家庭作业所用的时间，根据以下4个步骤进行调查活动：①整理数据；②得出结论，提出建议；③分析数据；④收集数据．
对这4个步骤进行合理的排序移动： ④①③② ．
【分析】根据统计调查的顺序进行即可．
【解答】解：统计调查的顺序是：收集数据；整理数据；分析数据；得出结论，提出建议四个步骤，故合理的排序为：④①③②，
故答案为：④①③②．
12．为了解游客在A，B，C三个城市旅游的满意度，某旅游公司商议了四种收集数据的方案．方案一：在多家旅游公司调查1000名导游；方案二：在A城市调查1000名游客；方案三：在三个城市各调查5名游客；方案四：在三个城市各调查1000名游客，其中最合理的是 四 方案．
【分析】根据抽样调查的代表性、普遍性结合具体的问题情境进行判断即可．
【解答】解：根据抽样调查的代表性、普遍性可知，为了解游客在A，B，C三个城市旅游的满意度，在三个城市各调查1000名游客比较合理．
故答案为：四．
13．《义务教育劳动教育课程标准》（2022年版）首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有5名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，4，3，5，5．则这组数据的方差是 0.8 ．
【分析】根据方差的定义列式计算即可．
【解答】解：这组数据的平均数为＝4，
所以方差为×[（3﹣4）2×2+（4﹣4）2+2×（5﹣4）2]＝0.8，
故答案为：0.8．
14．某校举行射击比赛，甲、乙两个班各选5名学生参加比赛，两个班参赛学生的平均成绩都是9.8环，其方差分别是s甲2＝2.34，s乙2＝1.63，则参赛学生成绩更稳定的是 乙 班．
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵s甲2＝2.34，s乙2＝1.63，
∴s甲2＞s乙2，
∴参赛学生成绩更稳定的是乙班．
故答案为：乙．
15．已知数据x1，x2，x3，x4的平均数为3，方差为2，则数据3x1+2，3x2+2，3x3+2，3x4+2的平均数为 11 ，方差为 18 ．
【分析】根据一组数据x1，x2，x3，...，xn的平均数是，方差是s2．则另一组数据ax1+b，ax2+b，ax3+b，...，axn+b的平均数是a+b，方差是a2s2解答即可．
【解答】解：∵数据x1，x2，x3，x4的平均数为3，方差为2，
∴数据3x1+2，3x2+2，3x3+2，3x4+2的平均数为3×3+2＝11，方差为32×2＝18．
故答案为：11，18．
16．某学校要从甲乙两名射击运动员中挑选一人参加全市比赛，在选拔赛中，每人进行了5次射击，甲的成绩（环）为：9.7，10，9.6，9.8，9.9
乙的成绩的平均数为9.8，方差为0.032
（1）甲的射击成绩的平均数和方差分别是多少？
（2）据估计，如果成绩的平均数达到9.8环就可能夺得金牌，为了夺得金牌，应选谁参加比赛？
【分析】（1）根据平均数和方差的定义列式计算可得；
（2）根据方差的意义解答即可．
【解答】解：（1）＝×（9.7+10+9.6+9.8+9.9）＝9.8（环），
＝×[（9.7﹣9.8）2+（10﹣9.8）2+（9.6﹣9.8）2+（9.8﹣9.8）2+（9.9﹣9.8）2]＝0.02（环2）；
（2）∵甲、乙的平均成绩均为9.8环，而＝0.02＜＝0.32，
所以甲的成绩更加稳定一些，
则为了夺得金牌，应选甲参加比赛．
17．学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计：
七年级：86ㅤ94ㅤ79ㅤ84ㅤ71ㅤ90ㅤ76ㅤ83ㅤ90ㅤ87
八年级：88ㅤ76ㅤ90ㅤ78ㅤ87ㅤ93ㅤ75ㅤㅤ87ㅤ87ㅤ79
整理如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ 85 ，b＝ 87 ；
（2）A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 七 年级的学生；
（3）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案；
（2）根据中位数的定义即可求出答案；
（3）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可．
【解答】解：（1）把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为a＝＝85，
八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数b＝87，
故答案为：85，87；
（2）A同学得了86分，大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生；
故答案为：七；
（3）×200+×200＝220（人），
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为220人．
18．为引导学生广泛阅读文学名著，某校在七、八年级开展了以“走进名著，诵读经典”为主题的知识竞赛活动．学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是A：0≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100．现从七、八年级参加竞赛的学生中各随机选出20名学生的成绩整理如下：
七年级学生的竞赛成绩为：82，70，86，86，99，86，86，88，84，79，81，91，95，98，93，84，58，81，90，83；
八年级中等级为C的学生成绩为：89，87，85，85，84，84，83．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）根据表格写出a＝ 86 ，b＝ 86 ，m＝ 40 ；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛活动中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条即可）；
（3）若七、八年级各有1000名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩为一般（小于80分）的学生人数．
【分析】（1）分别根据中位数和众数的定义可得a和b的值，用“1”别减去其它三个等级所占百分比即可得出m的值；
（2）依据表格数据做出判断即可；
（3）用样本估计总体，即用总人数乘样本中成绩为一般（小于80分）的学生人数所占百分比即可．
【解答】解：（1）由题意可知，把八年级20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为85，87，故中位数a＝（85+87）÷2＝86；
七年级0名学生的成绩中86出现次数最多，故众数b＝86；
m%＝1﹣10%﹣15%﹣7÷20＝40%，故m＝40．
故答案为：86，86，40；
（2）八年级的成绩更好，因为两个年级的平均数和中位数都相同，而八年级的成绩的众数大于七年级．（答案合理即可）
（3）（名）．
答：估计两个年级参赛学生中成绩为一般（小于80分）的学生共有400名．
19．近年来，外卖跑腿十分流行，方便了人们的生活．某校八年级学生对“美团”和“饿了么”两家外卖平台各10名外卖员月收入进行了一项抽样调查，外卖员月收入（单位：千元）如图所示．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）样本中，“美团”外卖平台外卖员的平均月收入是 6 千元，方差为 1.2 千元2；
（2）样本中，“饿了么”外卖平台外卖员月收入的中位数是 5 千元，众数是 4 千元；
（3）若从两家外卖平台中选择一家做外卖员，你会选哪家外卖平台，并说明理由．
【分析】（1）利用方差和加权平均数的计算方法计算即可；
（2）把“饿了么”外卖平台外卖员月收入的数据按从小到大排列，中位数是第5、第6个数的平均数，即可求出中位数，数据4千元出现的次数最多，即可求出众数；
（3）从平均数、中位数、众数、方差等统计量进行分析即可．
【解答】解：（1）“美团”外卖平台外卖员的平均月收入为
（千元）；
方差为+（7﹣6）2×10×20%+（8﹣6）2×10×10%]＝1.2（千元2）．
（2）把“饿了么”外卖平台外卖员月收入的数据按从小到大排列，中位数是第5、第6个数的平均数，即（千元）；
数据4千元出现的次数最多，即众数是4千元．
（3）选“美团”外卖平台．理由：两家外卖平台月收入平均数一样，“美团”外卖平台月收入的中位数、众数均大于“饿了么”，且“美团”外卖平台月收入的方差小，月收入更稳定，因此选“美团”外卖平台．（答案不唯一，合理即可）
20．某地农业科技部门积极助力家乡农产品的改良与推广，为了解甲、乙两种新品，橙子的质量，进行了抽样调查，在相同条件下，随机抽取了甲、乙各25份样品，对大小、甜度等各方面进行了综合测评，并对数据进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．测评分数（百分制）如下：
甲：77，79，80，80，85，86，86，87，88，89，89，90，91，91，91，91，91，92，93，95，95，96，97，98，98
乙：69，79，79，79，86，87，87，89，89，90，90，90，90，90，91，92，92，92，94，95，96，96，97，98，98
b：按如下分组整理、描述这两组样本数据：
c．甲、乙两种橙子测评分数的平均数众数、中位数如表所示：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的m＝ 91 ，n＝ 90 ；
（2）记甲种橙子测评分数的方差为s12，乙种橙子测评分数的方差为s22，则s12，s22的大小关系为 s12＜s22．
（3）根据抽样调查情况，可以推断 甲 种橙子的质量较好，理由为 甲品种橙子的中位数、众数均比乙品种的高，甲的方差为s12小于乙的方差为s22，甲种橙子质量的比较均匀 ．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可；
（2）根据数据大小波动情况，直观可得答案；
（3）从中位数、众数的比较得出答案．
【解答】解：（1）甲品种橙子测评成绩出现次数最多的是91分，所以众数是91，即m＝91，
将乙品种橙子的测评成绩从小到大排列处在中间位置的一个数是90，因此中位数是90，即n＝90，
故答案为：91，90；
（2）由甲、乙两种橙子的测评成绩的大小波动情况，直观可得s12＜s22，
故答案为：s12＜s22；
（3）甲品种较好，理由为：①甲品种橙子的中位数、众数均比乙品种的高；
②甲的方差为s12小于乙的方差为s22，甲种橙子质量的比较均匀．
故答案为：甲，甲品种橙子的中位数、众数均比乙品种的高，甲的方差为s12小于乙的方差为s22，甲种橙子质量的比较均匀．
课程标准
学习目标
①方差
②用样本方差估计总体方差
③数据分析的步骤
掌握方差的定义以及计算公式，并能够熟练的计算数据的方差。
能够熟练的运用样本方差估算整体方差。
能熟练的分析统计数据解决相关问题。
80≤x＜85
85≤x＜90
90≤x＜95
95≤x≤100
3
4
a
8
平均数
中位数
众数
92
b
c
甲组
6
7
8
8
8
9
10
乙组
4
7
8
8
8
9
12
选手
甲
乙
丙
丁
平均数（环）
7
8
8
7
方差（环2）
0.9
1.1
0.9
1
甲
乙
丙
丁
平均数
95
98
96
98
方差
2.3
0.6
1.2
1.9
抽取的“天干”、“地支”电池的充电时长统计表：
电池型号
平均数
中位数
众数
方差
天干
30
a
b
24
地支
30
29
29
50
组别
平均数
中位数
众数
方差
甲组
7
a
6
2.6
乙组
b
7
c
S乙2
学生
平均数
中位数
众数
八年级
85.2
86
b
九年级
85.2
a
91
组别
A
B
C
D
E
身高（cm）
x＜155
155≤x＜160
160≤x＜165
165≤x＜170
x≥170
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
84
a
90
44.4
八年级
84
87
b
6.6
学生
平均数
中位数
众数
方差
七年级
85
86
b
86
八年级
85
a
91
80.76
测评分数x
个数
品种
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
甲
0
2
9
14
乙
1
3
5
16
品种
平均数
众数
中位数
甲
89.4
m
91
乙
89.4
90
n