人教版（2024）18.2.3 正方形优秀课时训练

这是一份人教版（2024）18.2.3 正方形优秀课时训练，文件包含人教版数学八年级下册同步讲义+练习第十八章第05讲正方形3个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固原卷版docx、人教版数学八年级下册同步讲义+练习第十八章第05讲正方形3个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共66页， 欢迎下载使用。

知识点01 正方形的定义与性质
正方形的定义：
四条边都 相等 ，四个角都是 直角 的四边形叫做正方形。
所以正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，还是特殊的菱形。
正方形的性质：
同时具有平行四边形、矩形以及菱形的一切性质。
【即学即练1】
1．下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（ ）
A．菱形的对角线相等
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的四个角相等
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
【解答】解：A．因为菱形的对角线互相垂直，所以A选项错误，不符合题意；
B．因为矩形的对角线相等，所以B选项错误，不符合题意；
C．正方形、矩形的四个角相等，所以C选项错误，不符合题意．
D．因为正方形的对角线互相垂直且相等，所以D选项正确，符合题意；
故选：D．
【即学即练2】
2．如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且BP＝OB，则CP的长为（ ）
A．B．C．0.5D．1
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2，
∴BD＝BC＝2，
∴BO＝，
∴BP＝OB＝，
∴CP＝BC﹣BP＝2﹣，
故选：A．
【即学即练3】
3．在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠CEF＝（ ）
A．75°B．60°C．50°D．45°
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D＝∠C＝90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
∴CE＝CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴∠CEF＝45°，
故选：D．
知识点02 正方形的判定
直接判定：
四条边相等，四个角也相等的四边形是正方形。
符号语言：∵AB = BC = CD = AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝ 90° 。
∴四边形ABCD是正方形
利用平行四边形、矩形以及菱形判定：
先判定四边形是平行四边形，在判定它是矩形和菱形即可判定为正方形。
①平行四边形＋邻边相等＋一个角是90°。
符号语言：在▱ABCD中，
∵AB＝BC，且∠ABC=90°
∴▱ABCD是正方形
②平行四边形＋邻边相等＋对角线相等。
符号语言：▱ABCD中
∵AB＝BC且AC＝BD
∴▱ABCD是正方形
③平行四边形＋对角线垂直＋一个角是90°
符号语言：▱ABCD中
∵AC⊥BD且∠ABC＝90°
∴▱ABCD是正方形
④平行四边形＋对角线垂直＋对角线相等。
符号语言：▱ABCD中
∵AC⊥BD且AC＝BD
∴▱ABCD是正方形
可先证矩形再证菱形，也可先证菱形，再证矩形。
【即学即练1】
4．若▱ABCD中对角线AC、BD相交于点O，则下列说法正确的是（ ）
A．当OA＝OD时，▱ABCD为菱形
B．当AB＝AD时，▱ABCD为正方形
C．当∠ABC＝90°时，▱ABCD为矩形
D．当AC⊥BD时，▱ABCD为矩形
【解答】解：当OA＝OD时，平行四边形ABCD是不一定是菱形，故选项A不符合题意；
当AB＝AD时，▱ABCD不一定为正方形，故选项B不符合题意；
当∠ABC＝90°时，▱ABCD为矩形，故选项C符合题意；
当AC⊥BD时，▱ABCD为是菱形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【即学即练2】
5．已知菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，添加条件 AC＝BD或AB⊥BC 可使菱形ABCD成为正方形．
【解答】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC＝BD；
根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC；
故添加的条件为：AC＝BD或AB⊥BC．
【即学即练3】
6．如图，已知矩形ABCD 中，∠BAD 和∠ADC 的平分线交于BC边上一点E．点F为矩形外一点，四边形AEDF为平行四边形．求证：四边形AEDF是正方形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠CDA＝90°，
∵AE，DE平分∠BAD 与∠CDA，
∴，，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴AE＝DE，
∵∠EAD+∠EDA+∠AED＝180°，
∴∠AED＝180°﹣∠EAD﹣∠EDA＝90°，
∴▱AEDF是正方形．
知识点03 中点四边形
中点四边形的定义：
连接四边形各边的 中点 得到的四边形叫做中点四边形。
中点四边形的形状：
①任意四边形的中点四边形是 平行四边形 。
②对角线相等的四边形的中点四边形是 菱形 。
③对角线相互垂直的四边形的中点四边形是 矩形 。
【即学即练1】
7．顺次连接菱形的四边中点所得的图形为 矩形 ．
【解答】解：菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点，则AC⊥BD，
∴EH∥AC，FG∥AC，
∴EH∥FG，
同理得EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
同理得：四边形ENOM是平行四边形，
∴∠FEH＝∠NOM＝90°，
∴▱EFGH是矩形，
∴顺次连接菱形四边中点所得的四边形一定是矩形；
故答案为：矩形．
【即学即练2】
8．如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是（ ）
A．对角线互相垂直
B．对角线相等
C．一组对边平行而另一组对边不平行
D．对角线互相平分
【解答】解：要是四边形EHGF是矩形，应添加条件是对角线互相垂直，
理由是：连接AC、BD，两线交于O，
根据三角形的中位线定理得：EF∥AC，EF＝AC，GH∥AC，GH＝AC，
∴EF∥GH，EF＝GH，
∴四边形EFGH一定是平行四边形，
∴EF∥AC，EH∥BD，
∵BD⊥AC，
∴EH⊥EF，
∴∠HEF＝90°，
故选：A．
题型01 利用正方形的性质求线段或周长
【典例1】如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，作EF⊥AD于点F，连接DE，若DF＝2．则DE的长为（ ）
A．B．C．4D．2.5
【解答】解：∵边长为6的正方形ABCD，
∴AD＝6，∠EAF＝45°，
∵DF＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝6﹣2﹣4，
∵EF⊥AD，
∴∠AFE＝∠DFE＝90°，
∴∠AEF＝∠EAF＝45°，
∴EF＝AF＝4，
由勾股定理，得．
故选：B．
【变式1】如图，点M是正方形ABCD边AB上一点，DN⊥CM于N，DN＝2CN＝2，则BN的长度为（ ）
A．2B．C．D．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥CM于E，
∵DN⊥CM，BE⊥CM，
∴∠DNC＝∠CEB＝90°，
∴∠DCN+∠CDN＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝CB，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠DCN+∠BCE＝90°，
∴∠CDN＝∠BCE，
∴△DCN≌△CBE（AAS），
∴DN＝CE，CN＝BE，
∵DN＝2CN＝2，
∴CN＝BE＝1，CE＝2，
∴EN＝CE﹣CN＝2﹣1＝1，
∴EN＝BE＝1，
∵∠BEN＝90°，
∴△BNE是等腰直角三角形，
∴BN＝BE＝．
故选：B．
【变式2】如图所示，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，AC⊥BD，
又∵OE⊥OF，
∴∠EOB+∠BOF＝90°＝∠BOF+∠COF，
∴∠EOB＝∠COF，
∴△BEO≌△CFO（ASA），
∴BE＝CF＝3，
又∵AB＝BC，
∴AE＝BF＝4，
∴Rt△BEF中，EF＝＝＝5．
故选：C．
【变式3】如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点F是AB边上一点，点E是BC延长线上一点，AF＝CE，BF＝2AF．连接DF、DE、EF，EF与对角线AC相交于点G，则线段BG的长是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：过点F作FH∥BC交AC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD＝BC＝3，∠ABC＝∠DAF＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝90°，
∴∠DAF＝∠DCE，
∵AF＝CE，
∴△DFA≌△DEC（SAS），
∴DF＝DE，∠FDA＝∠EDC，
∵BF＝2AF，
∴AF＝1，BF＝2，
∴DF＝＝＝DE，
∵∠EDF＝∠EDC+∠CDF＝∠FDA+∠CDF＝∠ADC＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴EF＝DF＝2，
∵FH∥BC，
∴∠AFH＝∠ABC＝90°，∠FHG＝∠ECG，
又∵∠BAC＝45°，
∴△AFH是等腰直角三角形，
∴FH＝AF＝CE，
∵∠FGH＝∠EGC，
∴△FGH≌△EGC（AAS），
∴FG＝EG，
∵∠ABC＝90°，
∴BG＝EF＝，
故选：A．
【变式4】如果一个长方形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称为“优美长方形”如图，“优美长方形”ABCD的周长为78，则正方形c的边长为（ ）
A．6B．9C．12D．15
【解答】解：设正方形b的边长为x，则正方形a、c、d的边长分别为2x、3x、5x，
∵“优美长方形”ABCD的周长为78，
∴2（AB+BC）＝78，
∴2（5x+8x）＝78，
∴x＝3，
∴正方形c的边长为3x＝9，
故选：B．
【变式5】如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP、EF．给出下列结论：①；②四边形PECF的周长为8；③EF的最小值为2；④AP＝EF；⑤AP⊥EF．其中正确的结论有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，
∵PF⊥CD，
∴PD＝PF．
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠C＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴PF＝EC，
∴PD＝EC．
∴①的结论正确；
②∵∠CDB＝∠CBD＝45°，PE⊥BC，PF⊥CD，
∴△PBE和△PDF为等腰直角三角形，
∴PE＝BE，PF＝DF
∴四边形PECF的周长＝EC+CF+PF+PE＝EC+BE+CF+DF＝BC+CD＝4+4＝8，
∴②的结论正确；
④连接PC，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADP＝∠CDP＝45°，AD＝BC，
在△ADP和△CDP中，
，
∴△ADP≌△CDP（SAS）．
∴AP＝PC．
由①知：四边形PECF为矩形，
∴EF＝PC，
∴AP＝EF．
∴④的结论正确；
③由④知：AP＝EF，
∴当AP取最小值时，EF取得最小值，
∵点P是对角线BD上一点，
∴当AP⊥BD，即点P为对角线的中点时，AP的值最小，此时AP＝AB＝2，
∴EF的最小值为2，
∴③的结论不正确；
⑤延长AP交EF于点H，延长FP交AB于点G，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∠ABC＝90°，
∵PE⊥BC，PG⊥AB，
∴四边形GBEP为正方形，
∴PG＝PE＝BG，∠GPE＝90°，
∴∠APG+∠EPH＝90°．
∵FG＝BC，BC＝AB，
∴FG＝AB．
∴FG﹣PG＝AB﹣BG，
∴AG＝PF．
在△AGP和△FPE中，
，
∴△AGP≌△FPE（SAS），
∴∠APG＝∠FEP．
∴∠FEP+∠HPE＝90°，
∴∠PHE＝90°．
∴AP⊥EF．
∴⑤的结论正确；
综上，正确结论的序号为：①②④⑤，共4个．
故选：B．
题型02 利用正方形的性质求角度
【典例1】如图所示，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点．连接BE，且AB＝AE，则∠EBC的度数是（ ）
A．45°B．30°C．22.5°D．20°
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝45°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝＝67.5°．
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝90°﹣67.5°＝22.5°．
故选：C．
【变式1】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，AB上，满足DE＝AF，连接CE，DF，点P，Q分别是DF，CE的中点，连接PQ．若∠ADF＝α．则∠PQE可以用α表示为（ ）
A．αB．45°﹣αC．D．3α﹣45°
【解答】解：连接DQ，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠CDE＝90°，
∵AF＝DE，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴DF＝CE，∠ADF＝∠DCE＝α，
∵点P，Q分别是DF，CE的中点，
∴PD＝DF＝DQ＝CE，
∴∠DPQ＝∠DQP，∠CDQ＝α，
∴∠PDQ＝90°﹣2α，∠DQE＝2α，
∴∠PQD＝＝45°+α，
∴∠PQE＝45°+α﹣2α＝45°﹣α，
故选：B．
【变式2】如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接DE，AF⊥DE于点F，连接CF，设∠DAF＝α，若AF＝2DF，则∠DCF一定等于（ ）
A．45°﹣αB．90°﹣3αC．D．
【解答】解：过点C作CG⊥DE于G，
则∠DGC＝∠CGE＝90°，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝90°，
∴∠AFD＝∠DGC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠CDE＝90°，
又∵∠ADF+∠DAF＝90°，
∴∠DAF＝∠CDE，
∴△ADF≌△DCG（AAS），
∴DF＝CG，AF＝DG，
∵AF＝2DF，
∴DG＝2DF，
∴DF＝FG，
∴CG＝FG，
∴△CFG是等腰直角三角形，
∴∠CFG＝45°，
∵∠DAF＝α，
∴∠CDE＝α，
∵∠CFG＝∠CDE+∠DCF，
∴∠DCF＝∠CFG﹣∠CDE＝45°﹣α；
故选：A．
【变式3】如图，在正方形ABCD中，点E是AC上一点，过点E作EF⊥ED交AB于点F，连接BE，DF，若∠ADF＝α，则∠BEF的度数是（ ）
A．2αB．45°+αC．90°﹣2αD．3α
【解答】解：过点E作EM⊥AB于M，EN⊥AD于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴四边形AMEN是矩形，∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴EM＝EN，四边形AMEN是正方形，
∴∠MEN＝90°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠MEF＝∠NED＝90°﹣∠FEN，
在△EMF和△END中，
，
∴△EMF≌△END（ASA），
∴EF＝ED，
∴∠EFD＝∠EDF＝45°，
∵∠ADF＝α，
∴∠AFD＝90°﹣α，
∴∠BFD＝180°﹣（∠AFD+EFD）＝180°﹣（90°﹣α+45°）＝45°+α，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE，
∴BE＝EF，
∴∠BFE＝∠EBF＝45°+α，
∴∠BEF＝180°﹣（∠BFE+∠EBF）＝180°﹣2（45°+α）＝90°﹣2α．
故选：C．
【变式4】如图，正方形ABCD中，点M、N、P分别在AB、CD、BD上，∠MPN＝90°，MN经过对角线BD的中点O，若∠PMN＝α，则∠AMP一定等于（ ）
A．2αB．45°+αC．90﹣D．135°﹣α
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°，
在Rt△PMN中，∠MPN＝90°，
∵O为MN的中点，
∴OP＝MN＝OM，
∵∠PMN＝α，
∴∠MPO＝α，
∴∠AMP＝∠MPO+∠MBP＝α+45°，
故选：B．
题型03 利用正方形的性质求点的坐标
【典例1】在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O的坐标是（0，0），顶点B的坐标是（2，0），则顶点A的坐标是（ ）
A．（1，1）B．（﹣1，1）或（1，1）
C．（﹣1，1）D．（1，﹣1）或（1，1）
【解答】解：有两种情况：
（1）连接AC，
∵四边形OABC是正方形，
∴点A、C关于x轴对称，
∴AC所在直线为OB的垂直平分线，即A、C的横坐标均为1，
根据正方形对角线相等的性质，AC＝BO＝2，
又∵A、C关于x轴对称，
∴A点纵坐标为1，C点纵坐标为﹣1，
故A点坐标（1，1），
（2）当点A和点C位置互换，同理可得出A点坐标（1，﹣1），
故选：D．
【变式1】如图，正方形ABCO中，O是坐标原点，A的坐标为，则点C的坐标为 （﹣，1） ．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，
在正方形OABC中，∠AOC＝90°，AO＝CO，
∵∠AOC＝∠CDO＝90°，
∴∠COD+∠AOE＝∠COD+∠OCD＝90°，
∴∠OCD＝∠AOE，
在△OCD和△AOE中，
，
∴△OCD≌△AOE（AAS），
∴CD＝OE＝1，OD＝AE＝，
∴C的坐标为（﹣，1）；
故答案为：（﹣，1）．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为2，∠DAO＝60°，则点C的坐标为 （，1+） ．
【解答】解：过点C作CE⊥x轴，CF⊥y轴，如图：
∵正方形ABCD的边长为2，∠DAO＝60°，
∴∠ADO＝30°，
∴AO＝1，DO＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ADO＝∠DCF，
∴△AOD≌△DFC（AAS），
∴AO＝DF＝1，DO＝CF＝，
∴CE＝1+，
∴点C的坐标为：（，1+）．
故答案为：（，1+）．
【变式3】在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，正方形ABCD的顶点C，D在第二象限，若点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣3，0），则点C的坐标为 （﹣5，3） ．
【解答】解：作CE⊥x轴于点E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BEC＝∠AOB＝∠ABC＝90°，BC＝AB，
∴∠EBC＝∠OAB＝90°﹣∠OBA，
在△BEC和△AOB中，
，
∴△BEC≌△AOB（AAS），
∵A（0，2），B（﹣3，0），
∴EB＝OA＝2，EC＝OB＝3，
∴OE＝OB+EB＝5，
∴C（﹣5，3），
故答案为：（﹣5，3）．
【变式4】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为（0，4），B点在x轴上，对角线AC，BD交于点M，OM＝6，则点C的坐标为 （12，8） ．
【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，连接EM，如图所示：
∴∠MFO＝∠CEO＝∠AOB＝90°，AO∥MF∥CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，AM＝CM，
∴∠OAB＝∠EBC，OF＝EF，
∴MF是梯形AOEC的中位线，
∴MF＝（AO+EC），
∵MF⊥OE，
∴MO＝ME．
∵在△AOB和△BEC中，，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴OB＝CE，AO＝BE．
∴MF＝（BE+OB），
又∵OF＝FE，
∴△MOE是直角三角形，∵MO＝ME，
∴△MOE是等腰直角三角形，
∴OE＝＝12，
∵A（0，4），
∴OA＝4，
∴BE＝4，
∴OB＝CE＝OE﹣BE＝8．
∴C（12，8）．
故答案为：（12，8）．
题型04 正方形的判定与性质
【典例1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，仍不能使矩形ABCD成为正方形的是（ ）
A．AC⊥BDB．AC平分∠BAD
C．AB＝BCD．△OCD是等边三角形
【解答】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，
（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．
∴A、C不符合题意；
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴矩形ABCD成为正方形，
∴B不符合题意；
∵添加△OCD是等边三角形，不能使矩形ABCD成为正方形，选项D符合题意．
故选：D．
【变式1】如图，AC和BD是菱形ABCD的对角线，若再补充一个条件能使其成为正方形，下列条件：①AC＝BD；②AC⊥BD；③AB2+AD2＝BD2；④∠ACD＝∠ADC．其中符合要求的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．②④
【解答】解：设对角线AC和BD交于点O，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
①∵对角线相等的菱形是正方形；
∴补充条件AC＝BD，可以使四边形ABCD成为为正方形，
②∵菱形的对角线具有AC⊥BD，
∴补充条件AC⊥BD，不能使四边形ABCD成为为正方形，
③∵AB2+AD2＝BD2，
∴∠BAD＝90°，
∴菱形ABCD为正方形，
∴补充条件AB2+AD2＝BD2，可以使四边形ABCD成为为正方形，
④当∠ACD＝∠ADC时，AC＝AD，
又∵AD＝CD，
∴AD＝AC＝CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ADC＝60°，
∴补充条件∠ACD＝∠ADC，不能使四边形ABCD成为为正方形．
综上所述：当补充的条件①③时，可以使四边形ABCD成为为正方形．
故选：B．
【变式2】如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CM＝DN．求证：四边形EFMN是正方形．
【解答】解：四边形EFMN是正方形．
证明：∵AE＝BF＝CM＝DN，
∴AN＝DM＝CF＝BE．
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF．
∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN．
∴四边形EFMN是菱形．
∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，
∴∠ENA+∠DNM＝90°．
∴∠ENM＝90°．
∴四边形EFMN是正方形．
【变式3】如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若正方形ABCD的面积为72，BF＝4，求点F到线段AE的距离．
【解答】（1）证明：∵菱形AECF的对角线AC和EF交于点O，
∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF，
∵BE＝DF，
∴BO＝DO，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ADO＝45°，
∴∠DAO＝∠ADO＝45°，
∴AO＝DO，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：∵正方形ABCD的面积为72，
∴AC•BD＝72，
∴×4BO2＝72，
∴BO＝DO＝CO＝AO＝6，
∴AC＝12，
∵BF＝4，
∴OF＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴EF＝2EO＝2OF＝4，AC⊥EF，
∴菱形AFCE的面积＝AC•EF＝24，
在Rt△AOE中，AE＝＝2，
设点F到线段AE的距离为h，
∴AE•h＝24，
即2h＝24，
∴h＝．
即点F到线段AE的距离为．
【变式4】如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：
∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在∴△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．
【变式5】如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OF的长．
【解答】（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，
∴四边形ABEF是正方形；
（2）证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAG＝∠BAE，
在△AGD和△ABE中，
，
∴△AGD≌△ABE（AAS），
∴AB＝AG；
（3）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，∠BAE＝∠DAG＝45°，
∴四边形ABEF是正方形；
∴AB＝AF＝1，
∵△AGD≌△ABE，
∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，
∴AD＝，∠DAG＝∠ADG＝45°，
∴DF＝﹣1，
∵EF⊥AD，
∴∠FDO＝∠FOD＝45°，
∴DF＝OF＝﹣1．
∴OF＝﹣1．
【变式6】如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE．
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）当∠A＝ 45 °时，四边形BECF是正方形；
（3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 12 ．
【解答】（1）证明：∵EF垂直平分BC，
∴BF＝FC，BE＝EC，
∴∠FCB＝∠FBC，
∵CF∥AE
∴∠FCB＝∠CBE，
∴∠FBC＝∠CBE，
∵∠FDB＝∠EDB，BD＝BD，
∴△FDB≌△EDB（ASA），
∴BF＝BE，
∴BE＝EC＝FC＝BF，
∴四边形BECF是菱形；
（2）解：当∠A＝45°时，四边形BECF是正方形，理由如下：
若四边形BECF是正方形，则∠ECB＝∠FCB＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝45°，
∵∠A＝45°，
∴∠AEC＝90°，
由（1）知四边形BECF是菱形，
∴四边形BECF是正方形；
故答案为：45；
（3）解：由（2）知，四边形BECF是正方形，AE＝BE＝CE＝2，
∴四边形ABFC的面积为＝12，
故答案为：12．
题型05 中点四边形
【典例1】如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，则四边形EFGH一定是（ ）
A．平行四边形B．矩形
C．菱形D．正方形
【解答】解：如图，连接AC，
∵E、F、G、H分别是四边形ABCD边的中点，
∴HG∥AC，HG＝AC，EF∥AC，EF＝AC；
∴EF＝HG且EF∥HG；
∴四边形EFGH是平行四边形．
故选：A．
【变式1】顺次连接矩形ABCD各边中点得到四边形EFGH，它的形状是（ ）
A．平行四边形B．矩形
C．菱形D．正方形
【解答】解：四边形EFGH是菱形；理由如下：
连接BD，AC．
∵矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴AC＝BD，
∴EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC
同理，FG＝BD，FG∥BD，
EH＝BD，EH∥BD，
∴EF＝FG＝GH＝EH，
∴四边形EFGH是菱形．
故选：C．
【变式2】四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，下列条件中能使四边形EFGH为矩形的是（ ）
A．AB⊥BCB．AB＝BDC．AC＝BDD．AC⊥BD
【解答】证明：∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF＝AC，GH＝AC，
∴EF＝GH，
同理EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
当对角线AC、BD互相垂直时，如图所示，
∴EF与FG垂直．
∴四边形EFGH是矩形．
故选：D．
【变式3】如图，已知四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA上的点（不与端点重合）．下列说法错误的是（ ）
A．若E、F、G、H分别为各边的中点，则四边形EFGH是平行四边形
B．若四边形ABCD是任意矩形，则存在无数个四边形EFGH是菱形
C．若四边形ABCD是任意菱形，则存在无数个四边形EFGH是矩形
D．若四边形ABCD是任意矩形，则至少存在一个四边形EFGH是正方形
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，
过点O直线EG和HF，分别交AB，BC，CD，AD于E，F，G，H，
则四边形EFGH是平行四边形，
故存在无数个四边形EFGH是平行四边形；故A选项不符合题意；
如图，当EG＝HF时，四边形EFGH是矩形，故存在无数个四边形EFGH是矩形；故B选项不符合题意；
如图，当EG⊥HF时，存在无数个四边形EFGH是菱形；故C选项不符合题意；
当四边形EFGH是正方形时，EH＝HG，
则△AEH≌△DHG，
∴AE＝HD，AH＝GD，
∵GD＝BE，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形，
当四边形ABCD为正方形时，四边形EFGH是正方形，故D选项符合题意．
故选：D．
1．菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直
B．对角线相等
C．四条边相等，四个角相等
D．两组对边分别平行且相等
【解答】解：A、矩形的对角线不一定互相垂直，故本选项不符合题意；
B、菱形的对角线不一定相等，故本选项不符合题意；
C、矩形的四条边不一定相等，菱形的四个角不应当相等，故本选项不符合题意；
D、菱形、矩形、正方形的两组对边分别平行且相等，故本选项符合题意；
故选：D．
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形
B．当AC＝BD，平行四边形ABCD是矩形
C．当AB＝BC，平行四边形ABCD是菱形
D．当AC⊥BD，平行四边形ABCD是正方形
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当∠ABC＝90°，平行四边形ABCD是矩形，故选项A正确，不符合题意；
当AC＝BD，平行四边形ABCD是矩形，故选项B正确，不符合题意；
当AB＝BC，平行四边形ABCD是菱形，故选项C正确，不符合题意；
当AC⊥BD，平行四边形ABCD是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列三个结论：①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是矩形；③当∠ABC＝90°时，它是正方形．其中结论正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
故A正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD不一定是矩形，
故B错误；
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD不一定是正方形，
故C错误，
故选：B．
4．如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6cm，BC＝8cm，则四边形EFGH的面积是（ ）
A．48cm2B．32cm2C．24cm2D．12cm2
【解答】解：∵E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AE＝AB＝3cm，AH＝AD＝4cm，AE＝DG，
∴S△EAH＝×3×4＝6（cm2），
在△EAH和△GDH中，
，
∴△EAH≌△GDH（SAS），
同理可得：△EAH≌△GDH≌△GCF≌△EBH，
∴四边形EFGH的面积为：6×8﹣6×4＝24（cm2），
故选：C．
5．随着科技的进步，机器人在各个领域的应用越来越广泛．如图为正方形形状的擦窗机器人，其边长是28cm．在某次擦窗工作中，PM、PN为窗户的边缘，擦窗机器人的两个顶点A、B分别落在PM、PN上，PA＝14cm，将擦窗机器人绕中心O逆时针旋转一定的角度，使得AD∥PM，则旋转角度是（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【解答】解：如图，连接A'O，连接AO交A'D'于点E，
∵PA＝14cm，AB＝28cm，
∴cs∠PAB＝＝，
∴∠PAB＝60°，
∴∠PAO＝105°，
∵A'D'∥PM，
∴∠PAO＝∠A'EO＝105°，
∴∠A'OA＝180﹣105°﹣45°＝30°，
∴旋转角为30°，
故选：B．
6．如图，正方形ABCD的边长为10，且AE＝FC＝8，BF＝DE＝6，则EF的长为（ ）
A．2B．C．D．
【解答】解：延长BF交AE于点G，如图所示：
∵AE＝FC，BF＝DE，AD＝CB，
∴△ADE≌△CBF（SSS），
∴∠DAE＝∠BCF，∠ADE＝∠CBF，∠DEA＝∠BFC，
∵AD＝10，DE＝6，AE＝8，102＝62+82，
∴∠DEA＝90°＝∠BFC，
∵∠DAE+∠BAG＝∠DAE+∠ADE＝90°，∠CBF+∠ABG＝∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠BAG＝∠ADE，∠ABG＝∠BCF，
∴∠ADE＝∠CBF＝∠BAG，∠DAE＝∠BCF＝∠ABG，
∵AD＝CB＝BA，
∴△ADE≌△CBF≌△BAG（SAS），
∴∠AGB＝90°，AG＝DE＝BF＝6，BG＝AE＝FC＝8，
∴∠EGF＝90°，EG＝AE﹣AG＝2，GF＝BG﹣BF＝2，
∴．
故选：C．
7．小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），∠DAB＝60°，则图2中对角线AC的长为（ ）
A．20cmB．C．D．
【解答】解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，AC＝10cm，
∴AB＝AD＝AC＝10cm，
在图2中，连接BD交AC于O，
∵∠ABC＝60°，AB＝AD＝10cm，
∴△ABD是等边三角形，则BD＝10cm，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝＝5cm，AO＝CO，AC⊥BD，
∴AO＝＝＝5（cm），
∴AC＝2AO＝10（cm），
故选：C．
8．如图，正方形ABCD的边长为9，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，下列结论中不正确的是（ ）
A．矩形DEFG是正方形B．∠CEF＝∠ADE
C．CG平分∠DCHD．
【解答】解：如图，作EK⊥BC于点K，EL⊥CD于点L，则∠EKF＝∠ELD＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，AD＝CD，∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠BCA＝∠BAC＝45°，∠DCA＝∠DAC＝45°，
∴∠BCA＝∠DCA，
∴EK＝EL，
∵∠EKC＝∠ELC＝∠KCL＝90°，
∴四边形EKCL是矩形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠KEL＝∠FED＝90，
∴∠FEK＝∠DEL＝90°﹣∠FEL，
∴△FEK≌△DEL（ASA），
∴DE＝FE，
∴矩形DEFG是正方形，故A正确；
∵∠EDG＝∠ADC＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE＝90°﹣∠CDE，
∵CD＝AD，GD＝ED，
∴△CDG≌△ADE（SAS），
∴CG＝AE，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC，
∵∠B＝90°，AB＝CB＝9，
∴AC＝AB＝9，
∴CE+CG＝9，故D正确；
∵△CDG≌△ADE（SAS），
∴∠DAE＝∠DCG＝45°，
∴CG平分∠DCH，故C正确；
∵∠ADE＝∠DEL＝∠FEK，≠∠CEF，
∴∠CEF≠∠ADE，故B不正确，
故选：B．
9．如图，P为正方形ABCD内一点，过P作直线PD交BC于点E，过P作直线GH交AB、DC于G、H，且GH＝DE．若∠APD＝∠DEC，∠EDC＝15°．以下结论：
①△ABP为等边三角形；
②PG＝PD
③S△PBE＝PD2
④BP＝PE+PG
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝AD，AD∥BC，∠BAD＝∠ADC＝∠DCE＝90°，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵∠APD＝∠DEC，
∴∠ADE＝∠APD，
∴AP＝AD，
∴AP＝AB
∵∠EDC＝15°，
∴∠ADP＝90°﹣15°＝75°＝∠APD，
∴∠DAP＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠BAP＝90°﹣30°＝60°，
∴△ABP是等边三角形；故①正确．
②如图，过点G作GK∥AD交CD于K，连接DG，
则∠GKH＝∠ADC＝90°＝∠DKG，
∴∠GKH＝∠DCE，
∵∠BAD＝∠ADC＝∠DKG＝90°，
∴四边形ADKG是矩形，
∴GK＝AD＝CD，
∵GH＝DE，
∴Rt△GHK≌Rt△DEC（HL），
∴∠GHK＝∠DEC，
∵∠DEC+∠EDC＝90°，
∴∠GHK+∠EDC＝90°，
∴∠DPH＝90°，
∴∠DPG＝180°﹣∠DPH＝90°，
∵∠DPG+∠BAD＝180°，
∴四边形ADPG是圆内接四边形，
∴∠DGP＝∠DAP＝30°，
∴DG＝2PD，
在Rt△DGP中，PG＝＝＝PD，
故②正确；
③如图，过点P作PL⊥AD于L，交BC于J，过点E作EM⊥BP于M，
则四边形BALJ是矩形，
∴AL＝BJ，∠BJP＝∠ALP＝90°，
∵AP＝BP，
∴Rt△APL≌Rt△BPJ（HL），
∴PL＝PJ，
在△PEJ和△PDL中，
，
∴△PEJ≌△PDL（ASA），
∴PJ＝PD，
∵EM⊥BP，
∴∠BME＝∠PME＝90°，
∵LJ∥AB∥CD，
∴∠BPJ＝∠ABP＝60°，∠EPJ＝∠EDC＝15°，
∴∠EPM＝∠BPJ﹣∠EPJ＝45°，
∴△PEM是等腰直角三角形，
∴PM＝EM＝PE＝PD，
∵∠ABP＝60°，
∴∠EBM＝30°，
∴BE＝2ME＝PD，
∴BM＝＝＝PD，
∴BP＝BM+PM＝PD+PD＝PD，
∴S△PBE＝BP•EM＝×PD•PD＝PD2，
故③错误；
④过点B作BN⊥BP，交PG的延长线于N，连接DG，
∵∠GBN+∠GBP＝90°，∠GBP+∠EBP＝90°，
∴∠GBN＝∠EBP，
∵∠EBG+∠BGP+∠EPG+∠BEP＝360°，
∴∠BGP+∠BEP＝360°﹣（∠EBG+∠EPG）＝180°，
∵∠BGP+∠BGN＝180°，
∴∠BGN＝∠BEP，
由②知，∠DGP＝30°，
∴∠GDP＝60°，
∴∠ADG＝90°﹣60°﹣15°＝15°＝∠EDC，
∴△DGA≌△DEC（ASA），
∴AG＝CE，
∴BG＝BE，
∴△BGN≌△BEP（ASA），
∴BN＝BP，GN＝PE，
∴△BPN是等腰直角三角形，
∴PN＝BP，
∵PN＝PG+GN＝PE+PG，
∴BP＝PE+PG，故④正确；
故选：C．
10．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：已知第一个矩形的面积为1；
第二个矩形的面积为原来的（）2×2﹣2＝；
第三个矩形的面积是（）2×3﹣2＝；
…
故第n个矩形的面积为：（）2n﹣2＝（）n﹣1．
故选：D．
11．小华在复习四边形的相关知识时，绘制了如图所示的框架图，④号箭头处可以添加的条件是 有一组邻边相等（答案不唯一） ．（写出一种即可）
【解答】解：有一组邻边相等的矩形是正方形，
故答案为：有一组邻边相等（答案不唯一）．
12．已知正方形ABCD，分别以BC，DC为边长作等边△BEC和等边△DCF，连接EF，则∠CEF＝ 15 °．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∵△BEC和△DCF都是等边三角形，
∴BC＝EC，CD＝CF，∠BCE＝∠DCF＝60°，
∴EC＝FC，∠ECF＝360°﹣∠BCD﹣∠BCE﹣∠DCF＝150°，
∴∠CEF＝15°，
故答案为：15．
13．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形A'B'C'O的一个顶点．若两个正方形的边长均为2，则图中阴影部分图形的面积为 1 ．
【解答】解：设A′O与AB交于点E，C′O与BC交于点F，
因为四边形ABCD是正方形，
所以AO＝BO，∠AOB＝90°，∠EAO＝∠FBO．
∴∠AOE+∠BOE＝90°．
又∠BOF+∠BOE＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF．
所以△AEO≌△BFO（ASA）．
∴四边形EBFO面积＝△BEO面积+△BFO面积＝△BEO面积+△AEO面积＝△ABO面积．
因为正方形ABCD边长为2，
∴正方形面积为4，
∴△ABO面积为1．
所以阴影部分面积为1．
故答案为1．
14．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F同时从O点出发在线段AC上以1cm/s的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），设运动时间为t s．连接DE，DF，BE，BF，已知△ABD是边长为6cm的等边三角形，当t＝ 3 s时，四边形DEBF为正方形．
【解答】解：由题意得OE＝OF＝t cm，
∴EF＝2t cm，
∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OB＝OD，AC⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形，
∴当EF＝BD时，四边形DEBF是正方形，
∵△ABD是边长为6cm的等边三角形，
∴BD＝6cm，
∴由EF＝BD得2t＝6，
解得t＝3，
∴当t＝3s时，四边形DEBF是正方形，
故答案为：3．
15．如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，则GE的长为 ．
【解答】解：如图，作EP垂直于GA，交GA的延长线于点P．
∵∠CAB+∠PAB＝90°，
∠PAB+∠PAE＝90°，
∴∠CAB＝∠PAE．
在△BCA和△EPA中，
∠BCA＝∠EPA，
∠CAB＝∠PAE，
BA＝EA，
∴△BCA≌△EPA（AAS），
即PE＝BC＝＝3，
AP＝AC＝4．
∴GE＝＝．
故答案为：．
16．如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且∠PAE＝∠E，PE交CD于点F．
（1）求证：PC＝PE；
（2）求∠CPE的度数．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AD＝DC，∠ADP＝∠CDP＝45°，
在△ADP和△CDP中
，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴PA＝PC，
∵∠PAE＝∠E，
∴PA＝PE，
∴PC＝PE；
（2）∵在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，
∴∠EDF＝90°，
由（1）知，△ADP≌△CDP，
∴∠DAP＝∠DCP，
∵∠DAP＝∠E，
∴∠DCP＝∠E，
∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF＝∠EDF＝90°．
17．定义：若一个四边形满足三个条件①有一组对角互补，②一组邻边相等，③相等邻边的夹角为直角，则称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形，简称为“直等补”四边形．根据以上定义，解答下列问题．
（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在CB边的延长线上，且DE＝BF，连接AE，AF，请根据定义判断四边形AFCE是否是“直等补”四边形，并说明理由．
（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝AD，若AB＝20，CD＝4，求BC的长．
【解答】解：（1）四边形AFCE是“直等补”四边形，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，
∴∠ABF＝90°，
在△ABF与△ADE中，
，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴AF＝AE，∠BAF＝∠DAE，
∴∠BAF+∠BAE＝∠DAE+∠BAE＝90°，
∴∠FAE＝90°，
∴∠FAE+∠C＝180°，
∴四边形AFCE是“直等补”四边形；
（2）连接BD，
∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝AD，
∴∠BAD＝90°，
∴∠C+∠BAD＝180°，
∴∠C＝90°，
∵AB＝AD＝20，
∴BD＝＝20，
∵CD＝4，
∴BC＝＝28．
18．已知四边形ABCD和AEFG均为正方形．
（1）如图①，当点A，B，G三点在一条直线上时，连接BE，DG，请判断线段BE与DG的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图②，当点A，B，G三点不在一条直线上时，则（1）的结论是否成立？请说明理由．
【解答】解：（1）BE＝DG，BE⊥DG．理由：
延长BE交DG于点N．如图：
∵四边形ABCD和AEFG均为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，AE＝AG．
∴△ABE≌△ADG（SAS）．
∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG．
∵∠ABE+∠AEB＝90°，∠AEB＝∠DEN，
∴∠ADG+∠DEN＝90°．
即∠DNE＝90°．
∴BE⊥DG．
（2）解：当点A，B，G三点不在一条直线上时，（1）的结论仍然成立．理由：
∵四边形ABCD和AEFG均为正方形，
∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°．
∴∠BAD+∠DAE＝∠EAG+∠DAE，
∴∠BAE＝∠DAG．
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS）．
∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG．
∵∠ABE+∠AOB＝90°，∠AOB＝∠DON，
∴∠ADG+∠AOB＝∠ADG+∠DON＝90°．
即∠DNO＝90°．
∴BE⊥DG．
∴（1）的结论仍然成立．
19．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．
（1）∠EAF＝ 45 °（直接写出结果不写解答过程）；
（2）①求证：四边形ABCD是正方形．
②若BE＝EC＝3，求DF的长．
【解答】（1）解：∵∠C＝90°，
∴∠CFE+∠CEF＝90°，
∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，
∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF，
∴∠AFE＝DFE，∠AEF＝BEF，
∴∠AEF+∠AFE＝（∠DFE+∠BEF）＝270°＝135°，
∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°，
故答案为：45；
（2）①证明：作AG⊥EF于G，如图1所示：
则∠AGE＝∠AGF＝90°，
∵AB⊥CE，AD⊥CF，
∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，
∴四边形ABCD是矩形，
∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，
∴AB＝AG，AD＝AG，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形；
②解：设DF＝x，
∵BE＝EC＝3，
∴BC＝6，
由①得四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝6，
在Rt△ABE与Rt△AGE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴BE＝EG＝6，
同理，GF＝DF＝x，
在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2，
即32+（6﹣x）2＝（x+3）2，
解得：x＝2，
∴DF的长为2．
20．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
【解答】（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2中，在Rt△ABC中．AC＝AB＝2，
∵EC＝，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝．
（3）①当DE与AD的夹角为30°时，点F在BC边上，∠ADE＝30°，
则∠CDE＝90°﹣30°＝60°，
在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：∠EFC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
②当DE与DC的夹角为30°时，点F在BC的延长线上，∠CDE＝30°，如图3所示：
∵∠HCF＝∠DEF＝90°，∠CHF＝∠EHD，
∴∠EFC＝∠CDE＝30°，
综上所述，∠EFC＝120°或30°．
课程标准
学习目标
①正方形的定义与性质
②正方形的判定
③中点四边形
熟悉正方形的定义，掌握正方形的性质，并能够熟练的应用性质。
掌握正方形的判定方法，能够熟练的选择合适的判定方法判定正方形。
掌握中点四边形的定义，能够熟练的根据四边形的性质判断中点四边形的形状。