江苏无锡市玉祁高级中学2024-2025学年八上数学第6周阶段性训练试题【含答案】

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1．在△ABC内一点P到各边的距离都为2，且△ABC的面积为12，那么△ABC周长为（ ）
A．6B．12C．18D．24
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，连接CF交AB于点D，则FD的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，AD⊥AB，BC⊥AB，AE＝AD，BE＝BC，CD的中点为F，连接AF、BF，则下列四种说法：
①AF＝BF且AF⊥BF；
②S△ADF+S△BCF＝S△AFB；
③若AD＝3，AB＝11，则CD2＝194；
④S△ADE+S△BCE≥S△DEC，
其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A＝70°，∠ACD＝20°，∠ABE＝25°，则∠BFC的大小是（ ）
A．90°B．95°C．105°D．115°
5．如图，点C在△ABD的边BD上，AC＝AB，若AD＝8，CD＝3，∠D＝60°，则BC的长是（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
6．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝40°，M，N分别是边AB，AD上的动点，当△MCN的周长最小时，∠MCN的大小是（ ）
A．50°B．70°C．90°D．100°
7．若，则（ ）
A．x≥6B．x≥0
C．0≤x≤6D．x为一切实数
8．如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，△DBC是顶角为120°的等腰三角形，动点E、F分别在边AB、AC上，且∠EDF＝60°，则△AEF的周长是（ ）
A．12B．10C．8D．6
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（10，8），过点A作AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，点D在AB上．将△CAD沿直线CD翻折，点A恰好落在x轴上的点E处，则点D的坐标为（ ）
A．（10，4）B．（10，3）C．（10，2.5）D．（10，2）
二．填空题（共10小题）
10．如图，射线OQ平分∠MON，点P是射线OQ上一点，且PA⊥ON于点A，若PA＝3，则点P到射线OM的距离等于 ．
11．如图，在一个池塘旁有一条笔直公路MN，池塘对面有一个建筑A，小明在公路一侧点B处测得∠ABN＝60°，为了得到他与建筑物A之间的距离，小明沿公路MN继续向东走到点C处，测得∠ACB＝60°，并测得他走了48米，则AB为 米．
12．已知△ABC的三边长分别为3、4、5，则最长边上的中线长为 ．
13．一个等腰三角形的一边长是7cm，另一边长为5cm，则这个等腰三角形的周长是 cm．
14．如图，在△ABC中，AB＝BC＝8cm，∠ABC＝90°，点E在AB上，ED⊥AC于点D，M为EC的中点．当AE＝2cm时，△BMD的面积是 cm2．
15．如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝68°，△DBE由△ABC绕点B逆时针旋转所得，若点C在DE上，连接AE，则∠EAC＝ °．
16．如图，在△BCD中，∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，射线CN平分∠BCD，AB∥CD，AB＝10，BD＝24，点F为BC的中点，点M为射线CN上一动点，则MF+MA的最小值为 ．
17．在平面直角坐标系中，已知A（1，2），B（3，6），点C在第一象限内，△ABC是等腰直角三角形，则点C的坐标是 ．
18．如图，AE，BD是△ABC的角平分线，AE，BD相交于点O，OF⊥AB于F，∠C＝60°，下列四个结论：
①∠AOB＝120°；
②AD+BE＝AB；
③若△ABC的周长为m，OF＝n，则S△ABC＝mn；
④若OE：OA＝1：3，则OD：OB＝2：3，其中正确的结论是 （填写序号）．
19．若最简二次根式3与5可以合并，则m＝ ．
三．解答题（共5小题）
20．如图1，已知△ABC为等边三角形，点P、E分别是AB、AC边上一点，AE＝BP，连接CP、BE交于点F．
（1）求∠BFC的度数；
（2）如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，连接BQ交AC于点D，
①在图中找一个与△CDQ全等的三角形，并说明理由；
②探究BP、CD、BC的数量关系，并说明理由．
21．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC+AB＝8，点M从点C开始，沿C→B→C的路径运动，点N从点C开始，沿着C→A→B的路径运动，且速度都是每秒1个单位，点M与点N同时从点C开始运动，且同时到达各自终点并停止运动．
（1）填空：AC＝ ；
（2）设运动时间t秒（t＞0），若连接AM，当t为何值时，AM＝BM；
（3）设运动时间t秒（t＞0），若线段MN的垂直平分线过△ACB的顶点时，请直接写出符合要求的t的范围 ．
22．如图1，△ABC的两条外角平分线AO，BO相交于点O，∠ACB＝50°．
（1）直接写出∠AOB的大小；
（2）如图2，连接OC交AB于K．
①求∠BCK的大小；
②如图3，作AF⊥OC于F，若∠BAC＝105°，求证：AB＝2CF．
23．△ABC是等边三角形，D是边BC（端点除外）上一动点，连接AD．
（1）如图1，以AD为边作等边△ADE，连接CE．
①求证：BD＝CE；
②AB＝4，F为AC的中点，连接EF，当EF的长取最小值时，求CD的长．
（2）如图2，M是AB延长线上的点，BM＝CD，N为AD的中点，连接NC，NM，求证：CN⊥MN．
24．若含根号的式子a+b可以写成式子m+n的平方（其中a，b，m，n都是整数，x是正整数），即a+b＝（m+n）2，则称a+b为完美根式，m+n为a+b的完美平方根．例如：因为19+6＝（1+3）2，所以1+3是19+6的完美平方根．
（1）已知3+2是a+12的完美平方根，求a的值；
（2）若m+n是a+b的完美平方根，用含m，n的式子分别表示a，b；
（3）已知17﹣12是完美根式，直接写出它的一个完美平方根．
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．【解答】解：如图：连接AP，BP，CP，
∵△ABC的面积为12，
∴△ABP的面积+△BCP的面积+△ACP的面积＝12，
∴AB•DP+BC•PE+AC•PF＝12，
∵PD＝PE＝PF＝2，
∴AB+BC+AC＝12，
∴△ABC周长为12，
故选：B．
2．【解答】解：如图：
∵将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，
∴CF＝BC＝4，
∴FD＝CF﹣CD＝4﹣CD，
当CD最小时，FD最大，此时CD⊥AB，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵2S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，
∴CD＝＝＝，
∴FD＝CF﹣CD＝4﹣＝，
故选：D．
3．【解答】解：如图，延长AF，BC交于点H，
∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴∠DAF＝∠H，
∵点F是CD中点，
∴CF＝DF，
又∵∠AFD＝∠CFH，
∴△ADF≌△HCF（AAS），
∴AF＝FH，AD＝CH，
∵AE＝AD，BE＝BC，
∴AE+BE＝BC+AD＝BC+CH，
∴AB＝BH，
又∵AF＝FH，∠ABC＝90°，
∴AF＝FH＝BH，AF⊥BF，故①正确；
∵AF＝FH，
∴S△ABF＝S△BFH，
∵△ADF≌△HCF，
∴S△ADF＝S△FCH，
∴S△ADF+S△BCF＝S△AFB；故②正确；
∵AE＝AD＝3，AB＝11，
∴BE＝8，
∵AD⊥AB，BC⊥AB，AE＝AD＝3，BE＝BC＝8，
∴∠DEA＝∠ADE＝45°＝∠BEC＝∠BCE，DE＝3，CE＝8，
∴∠DEC＝90°，
∴DC2＝DE2+EC2＝18+128＝146，故③错误；
∵S△ADE＝AD2，S△BEC＝BC2，S△DEC＝×DE•EC＝×AD×BC＝AD•BC，
∴S△ADE+S△BCE＝（AD2+BC2），
∵（BC﹣AD）2≥0，
∴BC2+AD2≥2AD•BC，
∴（AD2+BC2）≥AD•BC，
∴S△ADE+S△BEC≥S△DEC，故④正确；
故选：C．
4．【解答】解：∵∠A＝70°，∠ACD＝20°，
∴∠BDF＝∠A+∠ACD＝70°+20°＝90°，
在△BDF中，∠BFD＝180°﹣∠BDF﹣∠ABE＝180°﹣90°﹣25°＝65°，
∴∠CFE＝180°﹣∠BFD＝180°﹣65°＝115°．
故选：D．
5．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
又∵AB＝AC，
∴BE＝EC＝BC．
在直角△ADE中，∠AED＝90°，∠D＝60°，
∴∠DAE＝90°﹣∠D＝30°，
∴DE＝AD＝4，
∴CE＝DE﹣CD＝1，
∴BC＝2CE＝2．
故选：C．
6．【解答】解：作C点关于AD的对称点E，C点关于AB的对称点F，连接EF交AD于N′点，交AB于M′，如图，
∴N′E＝N′C，M′F＝M′C，
∴CN′+M′N′+CM′＝N′E+N′M′+M′F＝EF，
∴此时△MCN的周长最小，
∵∠B＝∠D＝90°，∠A＝40°，
∴∠BCD＝140°，
∵N′E＝N′C，M′F＝M′C，
∴∠E＝∠N′CE，∠F＝∠M′CF，
∵∠E+∠F＝180°﹣∠ECF＝180°﹣140°＝40°，
∴∠N′CE+∠M′CF＝40°，
∴∠M′CN′＝∠ECF﹣（∠N′CE+∠M′CF）＝140°﹣40°＝100°，
即△MCN的周长最小时，∠MCN为100°．
故选：D．
7．【解答】解：若成立，则，解之得x≥6；
故选：A．
8．【解答】解：如图，延长AB到N，使BN＝CF，连接DN，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD＝CD，∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠ACD＝∠ABD＝30°+60°＝90°＝∠NBD，
在△NBD和△FCD中，
，
∴△NBD≌△FCD（SAS），
∴DN＝DF，∠NDB＝∠FDC，
∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，
∴∠EDB+∠FDC＝60°，
∴∠EDB+∠BDN＝60°，
即∠EDF＝∠EDN，
在△EDN和△EDF中，
，
∴△EDN≌△EDF（SAS），
∴EF＝EN＝BE+BN＝BE+CF，
即BE+CF＝EF．
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AB＝AC＝4，
∵BE+CF＝EF，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝8．
故选：C．
9．【解答】解：如图，
设DB＝m．
由题意可得，OB＝CA＝10，OC＝AB＝8，
∵△CED与△CAD关于直线CD对称，
∴CE＝CA＝10，DE＝DA＝8﹣m，
在Rt△COE中，OE＝＝＝6，
∴EB＝10﹣6＝4．
在Rt△DBE中，∠DBE＝90°，
∴DE2＝DB2+EB2．
即（8﹣m）2＝m2+42．
解得m＝3，
∴点D的坐标是（10，3）．
故选：B．
二．填空题（共10小题）
10．【解答】解：过点P作PB⊥OM，垂足为B，
∵射线OQ平分∠MON，PA⊥ON，PB⊥OM，
∴PA＝PB＝3，
∴点P到射线OM的距离等于3，
故答案为：3．
11．【解答】解：∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝48米．
故答案为：48．
12．【解答】解：∵△ABC的三边长分别为3、4、5，32+42＝52，
∴△ABC是直角三角形，
∴最长边上的中线长＝．
故答案为：．
13．【解答】解：分两种情况：
当腰为5时，5+5＞7，所以能构成三角形，周长是：5+5+7＝17．
当腰为7时，5+7＞7，所以能构成三角形，周长是：5+7+7＝19．
故答案为：17或19．
14．【解答】解：∵AB＝BC＝8cm，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵AE＝2cm，
∴BE＝AB﹣AE＝6（cm），
∴CE＝＝＝10（cm），
∵M为EC的中点，
∴BM＝CM＝CE＝5（cm），
∴∠MCB＝∠MBC，
∵ED⊥AC，
∴∠EDC＝90°，
∴DM＝CM＝CE＝5（cm），
∴∠MDC＝∠MCD，
∵∠BME＝∠MCB+∠MBC＝2∠MCB，
∠DME＝∠MDC+∠MCD＝2∠MCD，
∴∠BMD＝∠BME+∠DME
＝2∠MCB+2∠MCD
＝2（∠MCB+∠MCD）
＝2∠ACB
＝90°，
∴△BMD的面积＝BM•DM
＝×5×5
＝（cm2），
故答案为：．
15．【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝68°，
∴∠ABC＝∠ACB＝68°，
∴∠BAC＝44°，
∵△DBE由△ABC绕点B逆时针旋转所得，
∴DB＝BC，BE＝BA，∠DBC＝∠ABE，∠BCA＝∠BDE＝68°，
∴∠BDE＝∠BAE＝68°，
∴∠EAC＝∠BAE﹣∠BAC＝68°﹣44°＝24°，
故答案为：24．
16．【解答】解：如图，连接AD，交NC于点G，连接FD，交NC于点P，连接GF，
∵∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，
∴∠BCD＝60°，CD＝CD，
∵点F为BC的中点，
∴FD＝BF＝CF＝BC＝CD，
∴△DFC为等边三角形，
∵射线CN平分∠BCD，
∴CP垂直平分DP，
∴GF＝GD，点D为点F关于CN的对称点，
∴当M在点G时，此时MF+MA为GF+AG＝GD+AG＝AD取得最小值，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝90°，
∵AB＝10，BD＝24，
∴．
故答案为：26．
17．【解答】解：如图1，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，且点C在第一象限，
作CF⊥x轴于点F，作AE⊥CF于点E，BD⊥CF交FC的延长线于点D，
∵AC＝CB，∠AEC＝∠D＝∠ACB＝90°，
∴∠CAE＝∠BCD＝90°﹣∠ACE，
在△CAE和△BCD中，
，
∴△CAE≌△BCD（AAS），
∵A（1，2），B（3，6），
∴EF＝2，DF＝6，
设E（x，2），则CE＝BD＝x﹣3，AE＝CD＝x﹣1，
∴2+x﹣3+x﹣1＝6，
解得x＝4，
∴E（4，2），CE＝4﹣3＝1，
∴xC＝4，yC＝2+1＝3，
∴C（4，3）；
如图2，△ABC是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，且点C在第一象限，
作BH⊥y轴于点H，作AG⊥BH于点G，CD⊥BH交HB的延长线于D，
∵AB＝BC，∠AGB＝∠D＝∠ABC＝90°，
∴∠BAG＝∠CBD＝90°﹣∠ABG，
在△BAG和△CBD，
∴△BAG≌△CBD（AAS），
∴BG＝CD＝3﹣1＝2，AG＝BD＝6﹣2＝4，
∴HD＝3+4＝7，
∴D（7，6），
∴xC＝7，yC＝6﹣2＝4，
∴C（7，4），
综上所述，点C的坐标为（4，3）或（7，4），
故答案为：（4，3）或（7，4）．
18．【解答】解：∵∠C＝60°，
∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣∠C＝120°，
∵AE，BD是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝∠CAB，∠ABD＝∠CBA，
∴∠BAE+∠ABD＝（∠CAB+∠CBA）＝60°，
∴∠AOB＝180°﹣（∠BAE+∠ABD）＝120°，
故①正确；
如图2，在AB上截取AK＝AD，连接OK，
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOD＝∠BOE＝180°﹣∠AOB＝60°，
在△AOK和△AOD中，
，
∴△AOK≌△AOD（SAS），
∴∠AOK＝∠AOD＝60°，
∴∠BOK＝∠AOB﹣∠AOK＝60°，
∴∠BOK＝∠BOE，
在△BOK和△BOE中，
，
∴△BOK≌△BOE（ASA），
∴BK＝BE，
∴AD+BE＝AK+BK＝AB，
故②正确；
如图1，连接OC，作OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H，
∵OF⊥AB于F，且OF＝n，
∴OG＝OH＝OF＝n，
∵△ABC的周长为m，
∴S△AOB+S△BOC+S△COA＝AB•n+BC•n+AC•n＝mn，
∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△COA＝mn，
∴S△ABC≠mn，
故③错误；
如图2，∵＝＝，且＝，
∴＝，
∴同理＝
如图1，AK＝AD，BK＝BE，
∵＝，
∴＝＝，
∴＝＝，
故④正确，
故答案为：①②④．
19．【解答】解：由题意得：2m+5＝4m﹣3，
解得：m＝4，
故答案为：4．
三．解答题（共5小题）
20．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝60°，
∵AE＝BP，
∴△ABE≌△BCP（SAS），
∴∠ABE＝∠BCP，
∴∠CFE＝∠CBE+∠BCP＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣∠CFE＝120°；
（2）①△EDB≌△CDQ，证明如下：
∵将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，
∴CP＝CQ，∠PCQ＝120°，
∴∠DCQ＝120°﹣∠ACP＝120°﹣（∠ACB﹣∠BCP）＝60°+∠BCP，
由（1）知△ABE≌△BCP，
∴∠ABE＝∠BCP，BE＝CP
∴∠DCQ＝60°+∠ABE，CQ＝BE，
∵∠BED＝∠A+∠ABE＝60°+∠ABE，
∴∠DCQ＝∠BED，
在△EDB和△CDQ中，
，
∴△EDB≌△CDQ（AAS）；
②BC＝BP+2CD，理由如下：
由（1）知△ABE≌△BCP，
∴BP＝AE，
由①知△EDB≌△CDQ，
∴ED＝CD，
∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝AC，
∵AC＝AE+ED+CD，
∴BC＝BP+CD+CD＝BP+2CD．
21．【解答】（1）解：设AC＝x，则AB＝8﹣x，
要使同时到达，则有2BC＝AC+AB，
即2，
解得：x＝3，
即AC＝3；
（2）解：设运动时间t秒，
∵AM＝，
BM＝BC﹣t＝，
∵AM＝BM，
∴，
解得：t＝；
（3）解：如图：
要使MN的垂直平分线过△ABC的顶点，只有N在CA运动，M在CB运动时，且CN＝CM时，MN的垂直平分线经过△ABC的顶点，并且经过顶点C，
此时0＜t≤3，
∴t的范围为0＜t≤3，
故答案为：0＜t≤3．
22．【解答】（1）解：∵AO平分∠BAD，
∴∠DAO＝∠OAB，
∵BO平分∠EOA，
∴∠EBO＝∠OBA，
∵∠ACB＝50°，
∴∠CBA+∠CAB＝130°，
∴∠EBA+∠BAD＝360°﹣130°＝230°，
∴∠OBA+∠OAB＝115°，
∴∠AOB＝360°﹣50°﹣115°﹣130°＝65°；
（2）解：过O点作OM⊥AD于M，ON⊥BE于N，OP⊥AB于P，
∵AO，BO分别平分∠DAB，∠EBA，
∴OM＝OP，OP＝ON，
∴OM＝ON，
∴CO平分∠ACB，
∵∠ACB＝50°，
∴∠BCK＝∠ACK＝25°；
（3）证明：∵∠BAC＝105°，∠ACB＝50°，
∴∠ABC＝25°，
∵∠KCB＝25°，
∴∠KBC＝∠KCE，
∴KB＝KC，
过A点作AH∥BC交CO于H，
∴∠AHK＝∠KCB，∠HAK＝∠KBC，
∴∠AHK＝∠HAK，
∴KA＝KH，
∴AB＝CH，
∵∠AHK＝∠ACH，
∴AH＝AC，
∵AF⊥CO，
∴HF＝CF，
∴CH＝2CF，
∴AB＝CH＝2CF．
23．【解答】（1）①证明：∵△ADE，△ABC都是等边三角形，
∴CA＝BA＝BC，EA＝DA，∠EAD＝∠CBA＝60°，∠ABC＝60°，
∴∠EAD﹣∠CAD＝∠CBA﹣∠CAD，
即△EAC＝△DAB．
在△EAC和△ABD中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD＝CE；
②解：∵△EAC＝△DAB，
∴∠ACOE＝∠ABD＝60°，
∵AB＝4，F为AC的中点，
∴FC＝2，
当点FE⊥CE时，EF的长取最小值，
此时，∠CFE＝30°，，
∴CD＝BC﹣BD＝BC﹣CE＝4﹣1＝3；
（2）证明：过点A作AP∥BC交CN的延长线于点P，连接PM，MC，
∴∠APN＝∠DCN，
∵N是AD中点，
∴AN＝DN，
在△APN和△DCN中，
，
∴△APN≌△DCN（AAS），
∴AP＝DC＝BM，PN＝CN，
∵AP∥CD，
∴∠PAC＝∠ACB＝180°，
∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠PAC＝∠MBC＝120°，
在△PAC和△MBC中，
，
∴△PAC≌△MBC（SAS），
∴PC＝MC，∠PCA＝∠MCB，
∵∠PCA+∠PCB＝60°，
∴∠MCB+∠PCB＝60°，
∴△PCM是等边三角形，
∵PN＝CN，
∴AN⊥MN．
24．【解答】解：（1）∵3+2是a+12的完美平方根，
∴（3+2）2＝a+12，
即9+12+12＝a+12，
∴a＝9+12＝21；
（2）∵m+n是a+b的完美平方根，
∴（m+n）2＝a+b，
∴m2+5n2+2mn•＝a+b，
∴a＝m2+5n2，b＝2mn；
（3）∵17﹣12＝17﹣2＝（﹣）2＝（3﹣2）2＝（2﹣3）2，
∴3﹣2或2﹣3是17﹣12的完美平方根．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/10/14 16:45:23；用户：刘玉松；邮箱：abrahamhenry@sina.cm；学号：4631247