河北省衡水市冀州中学2024-2025学年高一上学期10月期中考试数学试题（Word版附解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，且是第二象限角，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据各象限三角函数的符号和同角三角函数的基本关系进行求值.
【详解】因为是第二象限角，所以.
又，，所以.
所以.
故选：A
2. 已知集合，则（）
A. B. C. 或 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果.
【详解】因为，，所以.
故选：D
3. 已知，且，则下列正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作差法得到，结合，得到，故B正确，其他三个选项错误.
【详解】∵，
∴，
∴，又，
∴，故，，，，B正确，ACD错误.
故选：B
4. 函数的单调递减区间是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】先变形，再根据余弦函数单调性即可求解.
【详解】已知，
令，，得，，
所以函数的单调递减区间为，.
故选：.
5. 函数的图象是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用排除法及函数的定义域即可求解.
【详解】由，解得，
所以函数的定义域为，
由选项中的图象知，故C正确.
故选：C.
6. 已知，把的图象向右平移φ个单位长度后，恰好得到函数的图象，则φ的值可以为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化简与，再结合函数图象的平移求的值.
【详解】因为，
.
且.
所以将y=fx的图象向左平移个单位可得y=gx的图象.
又函数y=fx与y=gx的周期均为.
所以将y=fx的图象向右平移个单位可得y=gx的图象.
故选：D
7. 已知，且，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】切化弦，结合两角差的正弦及角的范围即可求解.
【详解】
可得
即:
所以
又，
，
，即.
故选：C
8. 设函数在上有且只有4个零点，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出的范围，利用余弦函数性质列不等式组求解可得.
【详解】，
又因为在上有且仅有4个零点，
，解得
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，则（）
A B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用诱导公式判断A，再利用同角基本关系得出判断BC，再次利用诱导公式判断D，从而得解.
【详解】因为，所以，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，D错误.
故选：ABC.
10. 若角是第二象限角，则（）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由角是第二象限角可得，，即可得解.
【详解】若角是第二象限角，则，，
则，，故A、C、D正确，B错误.
故选：ACD.
11. 若，是方程的两个根，则下列等式正确的是（）
A B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由根与系数的关系结合对数的运算即可求解.
【详解】由根与系数的关系，得，，
，
.
故选：.
三、填空题
12. 若角的终边上有一点，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】若角的终边上有一点，则，其中.
【详解】∵角的终边上有一点，
∴，
∴.
故答案为：
13. 已知函数，则________.
【答案】9
【解析】
【分析】由题意令求出即可得解.
【详解】令，则，所以.
故答案为：9.
14. 函数的最大值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角恒等式化简，结合在的值域求最大值即可.
【详解】由于，所以.
又函数，
所以当时，.
故答案为：.
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 ()的部分图象如图所示.

（1）求函数的解析式;
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据图象可得，，进而得到，将点代入的解析式可得，进而求解；
（2）结合诱导公式直接代值计算
【小问1详解】
由图象知，的最小正周期，
故，将点代入的解析式得，
又，所以，
故函数的解析式为.
【小问2详解】
由（1）知，
所以.
16. 已知函数，当时，函数在区间上单调递减，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦函数的性质确定函数的单调区间，借助集合的包含关系即可求解.
【详解】，令，
可得：,
由可得，
由题意可得，解得，所以的取值范围为 .
17. 已知函数（常数）为奇函数，函数，（且）
（1）求的值;
（2）求在上的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由为奇函数可知，进而可得.
（2）对进行分类为和，根据的单调性进而可得最大值.
【小问1详解】
由题意可知，得，
可得.
【小问2详解】
由（1）可知，故，
当时，在上单调递增，故，
当时，在上单调递减，故
所以
18. 设函数，若函数的图象关于直线对称，且
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求函数在区间上最值.
【答案】（1）
（2）最大值为，最小值为
【解析】
【分析】（1）利用函数对称轴以及可解得，再由正弦函数单调性可得结果；
（2）利用整体代换法，由函数单调性即可求得函数在区间上的最值.
【小问1详解】
∵函数的图象关于直线对称，
所以，；
又，所以时，，
因此；
令，解得；
∴函数的单调递减区间为
【小问2详解】
由（1）得，
因为，得，
，得
函数在区间上的最大值为，最小值为
19. 定义域在上的偶函数满足：当时，
（1）若成立，求实数m的取值范围；
（2）设函数若对于任意的都有成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）先研究得出函数的单调性，进而将不等式转化为fm²−3m>f4，再由偶函数性质得，解该不等式即可得解.
（2）将“任意的都有成立”等价转化成gxmin>fxmax，求出和即可计算得解.
【小问1详解】
易知函数和在上都是单调递减函数，
故函数在上是单调递减函数，
又是定义域在上的偶函数，故函数在上是单调递增函数，
又，故即fm²−3m>f4，
所以即，解得，
所以实数m的取值范围为.
【小问2详解】
由题意得“对任意都有成立”，
所以gxmin>fxmax，由（1）知的最大值为，
又gxmin=g−5=−4a+32a>0，
所以，解得，
因此实数a的取值范围为