山西省阳泉市矿区多校2024-2025学年九年级上学期期中测试数学试卷

这是一份山西省阳泉市矿区多校2024-2025学年九年级上学期期中测试数学试卷，共8页。试卷主要包含了已知一元二次方程，配方后可化为等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．2023年9月23日晚，钱塘江两岸灯光照耀古今，杭州第19届亚洲运动会开幕式多项环节“刷新”亚运史．下列与杭州亚运会有关的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，P是正三角形ABC内一点，若将△PBC绕点B旋转得到，则的度数是（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
3．在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠D＝100°，则∠B的度数是
A．80°B．90°C．95°D．100°
5．已知一元二次方程，配方后可化为（ ）
A．B．C．D．
6．已知二次函数，其中y与x的部分对应值如下表：
则一元二次方程的一个近似解的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于点E．若OA＝5，AB＝8，则AD的长为（ ）
A．B．C．D．
8．山西运城垣曲的菖蒲酒，远在汉代就已名噪酒坛，为历代帝王将相所喜爱，并被列为御膳香醪．近几年我国物价一直上涨，原价为35元的新包装菖蒲酒，经过连续两次涨价a%后，现售价为55元，则根据题意所列方程正确的是（ ）
A．35（1＋a%）＝55B．C．35（1－a%）＝55D．
9．若正六边形的边心距为，则它的周长为（ ）
A．6B．12C．D．
10．如图，抛物线的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点坐标为（－1，0），与y轴交于点（0，3），其部分图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．关于x的方程，有两个不等的实数根
C．a－b＋c＝0
D．当y>0时，－1第Ⅱ卷非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．已知点P（－b，2）与点Q（3，2a）关于原点对称，则a＋b＝______．
12．若二次函数的顶点在y轴上，则b＝______．
13．已知m是方程：的一个根，则______．
14．某隧道的截面是抛物线形，且该抛物线的解析式为，一辆车高3m，宽4m，则该车______通过该隧道．（填“能”或“不能”）
15．《代数学》中记载了求方程的正数解的几何方法：如图①，先构造一个面积为的正方形，再分别以正方形的一边为边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33＋4×2×2＝49，则该方程的正数解为7－2－2＝3．小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图②所示的正方形．已知图②中阴影部分的面积和为39，则c＝______，方程的正数解为______·
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（每小题5分，共10分）用适当的方法解下列方程：
（1）；（2）
17．（7分）如图，△ABC各顶点坐标分别为A（4，4），B（－2，2），C（3，0）．
（1）将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到，请在图中画出；
（2）请在图中画出△ABC关于原点O对称的．
18．（7分）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不等的实数根；
（2）若方程有两个实数根，且，求m的值．
19．（9分）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，CD与⊙O相切于点C．若∠D＝30°，⊙O的半径为1，求阴影部分的面积．
20．（8分）“山西是时间的朋友，这片土地处处散发着时光的奇迹……”董宇辉在直播电商平台的山西专场直播中现场讲解山西的美食产品，深度介绍山西的文化古迹，传播三晋文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝．某网店抓住商机，以70元/盒的进价购入一批礼盒装的保健醋口服液，在销售过程中发现，当售价为110元/盒时，一天可售出20盒，且售价每降低1元，其销量可增加2盒．
（1）直接写出网店销售该礼盒每天的利润y（元）与售价x（元/盒）的函数关系式；
（2）为了最大让利于顾客，网店销售该礼盒每天要获利1200元，则该礼盒的售价应定为多少?
21．（9分）请阅读下列材料，完成相应任务．
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗?李雷经过实践探究发现了如下结论：
如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）．
已知：如图①，C，D是线段AB同侧两点，且∠ACB＝∠ADB．
求证：A，B，C，D四点共圆．
证明：作△ABC的外接圆⊙O，假设点D在⊙O外或在⊙O内．
如图②，若点D在⊙O外，设AD与⊙O交于点E，连接BE，
则∠ACB＝∠AEB．（依据1）
又∠AEB＝∠ADB＋∠DBE，（依据2）
所以∠ACB＝∠ADB＋∠DBE．
所以∠ACB>∠ADB．
这与已知条件“∠ACB＝∠ADB”矛盾，故点D在⊙O外不成立．
如图③，若点D在⊙O内，
……
综上所述，作△ABC的外接圆⊙O，点D在⊙O上，即A，B，C，D四点共圆．
任务：
（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别指什么?
依据1：______；
依据2：______．
（2）请按照材料中的证明思路，写出该证明的剩余部分．
22．（12分）综合与实践
（1）问题情境：如图①，在正方形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°．把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，使AB与AD重合，则能证得．EF＝BE＋DF，请写出推理过程；
（2）问题探究：如图②，若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系______时，仍有EF＝BE＋DF；
（3）拓展应用：如图③，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°．若，BD＝1，求DE的长．
23．（13分）综合与探究
如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是直线BC下方抛物线上的一点．
（1）求点A的坐标及直线BC的解析式；
（2）如图①，连接PB，PC，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图②，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴交直线BC于点E，M是线段BC上一动点（不与B，C两点重合），连接PM，设点M的横坐标为m（02023－2024学年第一学期期中学业水平质量监测
九年级数学参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 2 12. －2 13. 2023
14. 不能 15. －39 x=3
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （每小题5分，共10分）解：（1）用公式法解方程x2－3x=1，可化为一般式x2－3x－1=0.
（2分）
解得x1=，x2=. （5分）
（2）用因式分解法解方程4（x－5）2=（x－5）（x＋5），整理，得4（x－5）2－（x－5）（x+5）=0.
（7分）
提取公因式，得（x－5）（4x－20－x－5）=0，即（x－5）（3x－25）=0. （9分）
解得x1=5，x2=. （10分）
17. （7分）解：（1）如图1，△A1B1C即为所求作. （4分）
（2）如图1，△A2B2C2即为所求作. （7分）
图1
18. （7分）（1）证明：由题意，得Δ=（2m+1）2－4（3m－1）（1分）
=4m2+4m+1－12m+4
=4m2－8m+5
=（2m－2）2+1. （2分）
因为（2m－2）2≥0，所以（2m－2）2+1≥1>0. （3分）
所以此方程总有两个不等的实数根. （4分）
（2）解：由题意，得x1+x2=－2m－1，x1‧x2=3m－1. （5分）
由（x1－1）（x2－1）= x1‧x2－x1－x2+1=6，得x1‧x2－（x1+x2）=5. （6分）
所以3m－1+2m+1=5，即5m=5，解得m=1. （7分）
19. （9分）解：连接OC. （1分）
因为CD是⊙O的切线，所以∠OCD=90°. （2分）
在Rt△OCD中，OC=1，∠D =30°，所以OD=2OC=2.所以CD==. （4分）
所以S△OCD=OC‧CD=. （6分）
由题意知∠COD=90°－∠D=60°，所以S扇形OCB==. （8分）
所以S阴影= S△OCD－S扇形OCB=. （9分）
20. （8分）解：（1）y=－2x2+380x－16 800. （3分）
（2）由题意，得－2x2+380x－16 800=1200. （4分）
整理，得x2－190x+9000=0.
解得x1=90，x2=100（舍去）. （7分）
答：该礼盒的售价应定为90元/盒. （8分）
21. （9分）解：（1）同弧所对的圆周角相等（2分）
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和（4分）
（2）延长AD，与⊙O交于点E，连接BE，（5分）
则∠ACB=∠AEB.
又∠ADB=∠AEB+∠DBE，
所以∠ADB=∠ACB+∠DBE. （8分）
所以∠ADB>∠ACB.
这与已知条件“∠ACB=∠ADB”矛盾，故点D在⊙O内不成立. （9分）
22. （12分）（1）①由旋转的性质知AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG. （1分）
因为∠BAD=90°，∠EAF=45°，所以∠BAE+∠DAF=45°.
所以∠DAG+∠DAF=45°，即∠GAF=45°.所以∠EAF=∠GAF. （3分）
在△EAF和△GAF中，AF=AF，∠EAF=∠GAF，AE=AG，所以△EAF≌△GAF (SAS).
所以EF=GF=DG+DF=BE+DF. （5分）
（2）∠B+∠D=180°（7分）
（3）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=，所以∠ABC=∠C=45°，BC==4. （8分）
如图2，把△AEC绕点A旋转得到△AFB，使AC与AB重合，连接DF.
由旋转的性质知AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE. （9分）
所以∠FBD=∠FBA+∠ABC=90°.
因为∠DAE=45°，所以∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC－∠DAE=45°.所以∠FAD=∠EAD.
（10分）
在△FAD和△EAD中，AD=AD，∠FAD=∠EAD，AF=AE，所以△FAD≌△EAD (SAS).
所以DF=DE. （11分）
设DE=DF=x，则BF=EC=BC－BD－DE =3－x.
在Rt△BDF中，由勾股定理，得DF²=BF²+BD²，即x²=(3－x)²+1，解得x=.
所以DE的长为. （12分）
图2
23. 解：（1）令y==0，解得x1=－2，x2=8.
令x=0，则y==－2.
所以A（－2，0），B（8，0），C（0，－2）. （2分）
设直线BC的解析式为y=kx+b.
把B（8，0），C（0，－2）代入，得解得
所以直线BC的解析式为y=x－2. （4分）
（2）过点P作PH∥y轴，交BC于点H. （5分）
设P，则H.所以PH=. （6分）
所以S△PBC=PH‧= ==. （7分）
因为，所以当p＝4时，△PBC的面积最大，此时点P的坐标为（4，－3）. （8分）
（3）由题意，y==，所以D，对称轴为x=3. （9分）
令x=3，则y=x－2=×3－2=，所以 E.所以DE=. （10分）
因为四边形PMED为平行四边形，所以DE∥PM，DE=PM. （11分）
由题意知M ，则P.所以PM=. （12分）
所以=，解得m1=5，m2＝3（不符合题意，舍去）.
所以当m=5时，四边形PMED为平形四边形. （13分）
x
…
0
0.5
1
1.5
2
…
…
－15
－8.75
－2
5.25
13
…
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
C
B
B
A
B
C
B
D
B
A