山西省阳泉市矿区多校2024-2025学年九年级上学期期中测试数学试卷
展开注意事项:
1.本试卷共8页,满分120分,考试时间120分钟.
2.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.
3.答案全部在答题卡上完成,答在本试卷上无效.
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷选择题(共30分)
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请选出并在答题卡上将该项涂黑)
1.2023年9月23日晚,钱塘江两岸灯光照耀古今,杭州第19届亚洲运动会开幕式多项环节“刷新”亚运史.下列与杭州亚运会有关的图案中,是中心对称图形的是( )
A.B.C.D.
2.如图,P是正三角形ABC内一点,若将△PBC绕点B旋转得到,则的度数是( )
A.45°B.60°C.90°D.120°
3.在平面直角坐标系中,将抛物线先向右平移2个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到的新抛物线的解析式为( )
A.B.C.D.
4.如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠D=100°,则∠B的度数是
A.80°B.90°C.95°D.100°
5.已知一元二次方程,配方后可化为( )
A.B.C.D.
6.已知二次函数,其中y与x的部分对应值如下表:
则一元二次方程的一个近似解的取值范围是( )
A.B.C.D.
7.如图,CD是⊙O的直径,AB是弦,CD⊥AB于点E.若OA=5,AB=8,则AD的长为( )
A.B.C.D.
8.山西运城垣曲的菖蒲酒,远在汉代就已名噪酒坛,为历代帝王将相所喜爱,并被列为御膳香醪.近几年我国物价一直上涨,原价为35元的新包装菖蒲酒,经过连续两次涨价a%后,现售价为55元,则根据题意所列方程正确的是( )
A.35(1+a%)=55B.C.35(1-a%)=55D.
9.若正六边形的边心距为,则它的周长为( )
A.6B.12C.D.
10.如图,抛物线的对称轴为x=1,与x轴的一个交点坐标为(-1,0),与y轴交于点(0,3),其部分图象如图所示,则下列结论错误的是( )
A.
B.关于x的方程,有两个不等的实数根
C.a-b+c=0
D.当y>0时,-1
二、填空题(本大题共5个小题,每小题3分,共15分)
11.已知点P(-b,2)与点Q(3,2a)关于原点对称,则a+b=______.
12.若二次函数的顶点在y轴上,则b=______.
13.已知m是方程:的一个根,则______.
14.某隧道的截面是抛物线形,且该抛物线的解析式为,一辆车高3m,宽4m,则该车______通过该隧道.(填“能”或“不能”)
15.《代数学》中记载了求方程的正数解的几何方法:如图①,先构造一个面积为的正方形,再分别以正方形的一边为边向外构造四个面积为2x的矩形,得到大正方形的面积为33+4×2×2=49,则该方程的正数解为7-2-2=3.小明尝试用此方法解关于x的方程时,构造出如图②所示的正方形.已知图②中阴影部分的面积和为39,则c=______,方程的正数解为______·
三、解答题(本大题共8个小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程)
16.(每小题5分,共10分)用适当的方法解下列方程:
(1);(2)
17.(7分)如图,△ABC各顶点坐标分别为A(4,4),B(-2,2),C(3,0).
(1)将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到,请在图中画出;
(2)请在图中画出△ABC关于原点O对称的.
18.(7分)已知关于x的一元二次方程.
(1)求证:无论m取何值,此方程总有两个不等的实数根;
(2)若方程有两个实数根,且,求m的值.
19.(9分)如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,CD与⊙O相切于点C.若∠D=30°,⊙O的半径为1,求阴影部分的面积.
20.(8分)“山西是时间的朋友,这片土地处处散发着时光的奇迹……”董宇辉在直播电商平台的山西专场直播中现场讲解山西的美食产品,深度介绍山西的文化古迹,传播三晋文化,其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征,引得广大网友争相购买品尝.某网店抓住商机,以70元/盒的进价购入一批礼盒装的保健醋口服液,在销售过程中发现,当售价为110元/盒时,一天可售出20盒,且售价每降低1元,其销量可增加2盒.
(1)直接写出网店销售该礼盒每天的利润y(元)与售价x(元/盒)的函数关系式;
(2)为了最大让利于顾客,网店销售该礼盒每天要获利1200元,则该礼盒的售价应定为多少?
21.(9分)请阅读下列材料,完成相应任务.
我们知道,过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆,那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗?李雷经过实践探究发现了如下结论:
如果线段同侧两点(与线段在同一平面内)分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等,那么这两点和线段两端点四点共圆.下面是李雷证明上述命题的过程(不完整).
已知:如图①,C,D是线段AB同侧两点,且∠ACB=∠ADB.
求证:A,B,C,D四点共圆.
证明:作△ABC的外接圆⊙O,假设点D在⊙O外或在⊙O内.
如图②,若点D在⊙O外,设AD与⊙O交于点E,连接BE,
则∠ACB=∠AEB.(依据1)
又∠AEB=∠ADB+∠DBE,(依据2)
所以∠ACB=∠ADB+∠DBE.
所以∠ACB>∠ADB.
这与已知条件“∠ACB=∠ADB”矛盾,故点D在⊙O外不成立.
如图③,若点D在⊙O内,
……
综上所述,作△ABC的外接圆⊙O,点D在⊙O上,即A,B,C,D四点共圆.
任务:
(1)上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别指什么?
依据1:______;
依据2:______.
(2)请按照材料中的证明思路,写出该证明的剩余部分.
22.(12分)综合与实践
(1)问题情境:如图①,在正方形ABCD中,已知AB=AD,∠BAD=90°,点E,F分别在BC,CD上,∠EAF=45°.把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG,使AB与AD重合,则能证得.EF=BE+DF,请写出推理过程;
(2)问题探究:如图②,若∠B,∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足数量关系______时,仍有EF=BE+DF;
(3)拓展应用:如图③,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,,点D,E均在边BC上,且∠DAE=45°.若,BD=1,求DE的长.
23.(13分)综合与探究
如图,抛物线与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,P是直线BC下方抛物线上的一点.
(1)求点A的坐标及直线BC的解析式;
(2)如图①,连接PB,PC,当△PBC的面积最大时,求点P的坐标;
(3)如图②,抛物线的顶点为D,抛物线的对称轴交直线BC于点E,M是线段BC上一动点(不与B,C两点重合),连接PM,设点M的横坐标为m(0
九年级数学参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
二、填空题(本大题共5个小题,每小题3分,共15分)
11. 2 12. -2 13. 2023
14. 不能 15. -39 x=3
三、解答题(本大题共8个小题,共75分)
16. (每小题5分,共10分)解:(1)用公式法解方程x2-3x=1,可化为一般式x2-3x-1=0.
(2分)
解得x1=,x2=. (5分)
(2)用因式分解法解方程4(x-5)2=(x-5)(x+5),整理,得4(x-5)2-(x-5)(x+5)=0.
(7分)
提取公因式,得(x-5)(4x-20-x-5)=0,即(x-5)(3x-25)=0. (9分)
解得x1=5,x2=. (10分)
17. (7分)解:(1)如图1,△A1B1C即为所求作. (4分)
(2)如图1,△A2B2C2即为所求作. (7分)
图1
18. (7分)(1)证明:由题意,得Δ=(2m+1)2-4(3m-1)(1分)
=4m2+4m+1-12m+4
=4m2-8m+5
=(2m-2)2+1. (2分)
因为(2m-2)2≥0,所以(2m-2)2+1≥1>0. (3分)
所以此方程总有两个不等的实数根. (4分)
(2)解:由题意,得x1+x2=-2m-1,x1‧x2=3m-1. (5分)
由(x1-1)(x2-1)= x1‧x2-x1-x2+1=6,得x1‧x2-(x1+x2)=5. (6分)
所以3m-1+2m+1=5,即5m=5,解得m=1. (7分)
19. (9分)解:连接OC. (1分)
因为CD是⊙O的切线,所以∠OCD=90°. (2分)
在Rt△OCD中,OC=1,∠D =30°,所以OD=2OC=2.所以CD==. (4分)
所以S△OCD=OC‧CD=. (6分)
由题意知∠COD=90°-∠D=60°,所以S扇形OCB==. (8分)
所以S阴影= S△OCD-S扇形OCB=. (9分)
20. (8分)解:(1)y=-2x2+380x-16 800. (3分)
(2)由题意,得-2x2+380x-16 800=1200. (4分)
整理,得x2-190x+9000=0.
解得x1=90,x2=100(舍去). (7分)
答:该礼盒的售价应定为90元/盒. (8分)
21. (9分)解:(1)同弧所对的圆周角相等(2分)
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和(4分)
(2)延长AD,与⊙O交于点E,连接BE,(5分)
则∠ACB=∠AEB.
又∠ADB=∠AEB+∠DBE,
所以∠ADB=∠ACB+∠DBE. (8分)
所以∠ADB>∠ACB.
这与已知条件“∠ACB=∠ADB”矛盾,故点D在⊙O内不成立. (9分)
22. (12分)(1)①由旋转的性质知AE=AG,∠BAE=∠DAG,BE=DG. (1分)
因为∠BAD=90°,∠EAF=45°,所以∠BAE+∠DAF=45°.
所以∠DAG+∠DAF=45°,即∠GAF=45°.所以∠EAF=∠GAF. (3分)
在△EAF和△GAF中,AF=AF,∠EAF=∠GAF,AE=AG,所以△EAF≌△GAF (SAS).
所以EF=GF=DG+DF=BE+DF. (5分)
(2)∠B+∠D=180°(7分)
(3)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=,所以∠ABC=∠C=45°,BC==4. (8分)
如图2,把△AEC绕点A旋转得到△AFB,使AC与AB重合,连接DF.
由旋转的性质知AF=AE,∠FBA=∠C=45°,∠BAF=∠CAE. (9分)
所以∠FBD=∠FBA+∠ABC=90°.
因为∠DAE=45°,所以∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC-∠DAE=45°.所以∠FAD=∠EAD.
(10分)
在△FAD和△EAD中,AD=AD,∠FAD=∠EAD,AF=AE,所以△FAD≌△EAD (SAS).
所以DF=DE. (11分)
设DE=DF=x,则BF=EC=BC-BD-DE =3-x.
在Rt△BDF中,由勾股定理,得DF²=BF²+BD²,即x²=(3-x)²+1,解得x=.
所以DE的长为. (12分)
图2
23. 解:(1)令y==0,解得x1=-2,x2=8.
令x=0,则y==-2.
所以A(-2,0),B(8,0),C(0,-2). (2分)
设直线BC的解析式为y=kx+b.
把B(8,0),C(0,-2)代入,得解得
所以直线BC的解析式为y=x-2. (4分)
(2)过点P作PH∥y轴,交BC于点H. (5分)
设P,则H.所以PH=. (6分)
所以S△PBC=PH‧= ==. (7分)
因为,所以当p=4时,△PBC的面积最大,此时点P的坐标为(4,-3). (8分)
(3)由题意,y==,所以D,对称轴为x=3. (9分)
令x=3,则y=x-2=×3-2=,所以 E.所以DE=. (10分)
因为四边形PMED为平行四边形,所以DE∥PM,DE=PM. (11分)
由题意知M ,则P.所以PM=. (12分)
所以=,解得m1=5,m2=3(不符合题意,舍去).
所以当m=5时,四边形PMED为平形四边形. (13分)
x
…
0
0.5
1
1.5
2
…
…
-15
-8.75
-2
5.25
13
…
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
C
B
B
A
B
C
B
D
B
A
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