高一数学上学期阶段考试全真模拟卷(新教材地区使用)高一数学期末模拟试题二(原卷版+解析)

这是一份高一数学上学期阶段考试全真模拟卷(新教材地区使用)高一数学期末模拟试题二(原卷版+解析)，共25页。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设P和Q是两个集合，定义集合且，如果，，那么（ ）
A．B．
C．D．
2．下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
3．若，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．函数在区间上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
6．定义域为的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
7．命题“函数对，都有”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数,若关于的方程恰有5个不同的实数解，则实数的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列说法中不正确的是（ ）
A．已知函数，若，有成立；则实数的值为.
B．若关于的不等式恒成立，则的取值范围为
C．命题“”的否定是“”.
D．函数函数值域相同.
10．已知正实数，满足，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数在有且仅有3个零点，则（ ）
A．在有三个极值点B．在上单调递减
C．D．的取值范围是
12．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．在上为减函数
C．点是函数的一个对称中心D．方程仅有个实数解
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若函数是奇函数，且，则________．
14．已知幂函数是偶函数且在上单调递增，则函数的解析式为______________．
15．若正数x，y满足，则的值为______．
16．己知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若实数，满足，则的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．求下列各式的值
(1)
(2)
18．已知函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，当时，求函数的取值范围．
19．设函数.
(1)解方程；
(2)设不等式的解集为，求函数的值域.
20．已知函数的图象经过点.
(1)若的最小正周期为，求的解析式；
(2)若，，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.
21．已知函数
(1)求函数的值域；
(2)判断函数在其定义域上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；
(3)是否存在正数，使得不等式对任意的及任意的锐角都成立，若存在，求出正数的取值范围，若不存在，请说明理由．
22．已知函数和的定义域分别为和，若对任意的都存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”．
(1)试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由；
(2)求证：是的“4重覆盖函数”；
(3)若为的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围．
高一数学期末模拟试题二
第I卷（选择题）
一、单选题
1．设P和Q是两个集合，定义集合且，如果，，那么（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由对数函数的性质可得P，由一元二次不等式可得Q，根据题意可得出结果.
【详解】∵，，
∴.
故选：B.
2．下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据常见函数的单调性，以及奇偶性的定义，结合利用导数判断函数单调性，即可判断和选择.
【详解】对A：定义域为，且，故为奇函数；
又当时，，故在单调递减；故A正确；
对B：定义域为，且，故为偶函数，B错误；
对C：定义域为，但，故不为奇函数，C错误；
对D：定义域为，且，为奇函数；
但当时，为单调增函数，故D错误；
故选：A.
3．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用对数函数，，指数函数的单调性即可得出答案.
【详解】根据对数函数在上单调递减，则，
根据对数函数在上单调递增，则，根据指数函数在上单调递减，则，则，故，
故选：A.
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因，所以.
故选：C
5．函数在区间上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数奇偶性结合当时函数值的符号性分析判断.
【详解】∵，即，
∴为偶函数；
又∵当时，则，故，
∴；
综上所述：A正确，B、C、D错误.
故选：A.
6．定义域为的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】推导出函数是周期为的周期函数，利用指数的运算性质以及奇函数的性质可求得的值.
【详解】由题意可得，故函数是周期为的周期函数，
因为，则，则，
因此，
.
故选：B.
7．命题“函数对，都有”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】原题等价于下，单增，分和讨论，结合二次函数特征即可求解.
【详解】由题可知，当，单增，
当时，单减，不符合题意，舍去；
当时，要使，单增，需满足，
解得.
故选：D
8．已知函数,若关于的方程恰有5个不同的实数解，则实数的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出的大致图象，令，由题可得则或，因为有两个解，所以有3个解，结合图象可得，即可得答案.
【详解】解：作出函数的大致图象，如图所示，
令，则可化为
，
则或，
则关于的方程恰有5个不同的实数解等价于的图象与直线，的交点个数之和为5个，
由图可得函数的图象与直线的交点个数为2，
所以的图象与直线的交点个数为3个，
即此时，
解得，
故选：C.
二、多选题
9．下列说法中不正确的是（ ）
A．已知函数，若，有成立；则实数的值为.
B．若关于的不等式恒成立，则的取值范围为
C．命题“”的否定是“”.
D．函数函数值域相同.
【答案】BC
【分析】每一个选项分别判断即可.
【详解】选项A：由题可知关于对称，所以，得，故选项A正确；选项B：当时，得，满足题意，故该选项错误；选项C：命题“”的否定是“”，故C错误；选项D：与的值域均为，故D正确.
故选：BC
10．已知正实数，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】可以利用筛选法逐个检验选项或者构造函数，结合单调性求解.
【详解】方法一（筛选法） 由题意，．当，即时，，而，所以，故不成立．当时，，，不成立，故，所以，，故A错误，B正确．，则，，故C正确．，故D不一定正确．
故选：BC．
方法二（构造函数法） 由题意，．设函数，显然在区间上单调递增，故由，得，故，故A错误．，B正确；由，得，故，C正确；，故D不一定正确，
故选：BC．
11．已知函数在有且仅有3个零点，则（ ）
A．在有三个极值点B．在上单调递减
C．D．的取值范围是
【答案】BCD
【分析】函数在有且仅有3个零点，求得，根据函数解析式讨论极值点、单调区间、值域等性质.
【详解】，当，有 ，得 ，
由，函数在有且仅有3个零点,，得
对于A选项，由，得的极值点为，由，函数在有两个极值点，得，
函数在有三个极值点，得，
已知，∴函数在可能有两个极值点也可能有三个极值点，A选项错误；
对于B选项，，有，，，，有，所以在上单调递减；B选项正确；
对于C选项，，，，C选项正确；
对于D选项，，，由正弦函数在上单调递增，上单调递减，
时，当，有最大值1，当，有最小值
所以当时，的取值范围是，D选项正确.
故选：BCD
12．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．在上为减函数
C．点是函数的一个对称中心D．方程仅有个实数解
【答案】CD
【分析】根据和的奇偶性可推导得到，，
由可知A错误；推导可得，知C正确；作出图象，结合图象知B错误；将解的个数转化为与的交点个数，结合图象可知D正确.
【详解】为奇函数，，即，
关于点对称；
为偶函数，，即，
关于对称；
由，得：，
，即是周期为的周期函数；
对于A，，A错误；
对于C，，即，
关于点成中心对称，C正确；
对于BD，由周期性和对称性可得图象如下图所示，
由图象可知：在上单调递增，B错误；
方程的解的个数，等价于与的交点个数，
，，
结合图象可知：与共有个交点，即有个实数解，D正确.
故选：CD.
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．若函数是奇函数，且，则________．
【答案】
【分析】根据奇函数的定义，结合已知条件，求得的关系，赋值即可求得结果.
【详解】函数是奇函数，
即
又，令，则.
故答案为：.
14．已知幂函数是偶函数且在上单调递增，则函数的解析式为______________．
【答案】
【分析】由幂函数的定义可求出m的值，再根据偶函数和单调性的性质确定k的值，即可求出的解析式
【详解】函数为幂函数，由幂函数定义可知，解得，
又幂函数是偶函数并且在上单调递增，为正偶数，又由，
解得，代入可得，
故答案为：
15．若正数x，y满足，则的值为______．
【答案】12
【分析】根据对数运算法则得，设为，即可得，，，则，结合指数幂运算法则即可求值.
【详解】解：因为，则
设，
可得，，
所以.
故答案为：12.
16．己知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若实数，满足，则的最小值为______．
【答案】##
【分析】首先根据题意得到，根据题意得到，从而得到，，，即可得到答案.
【详解】，
因为实数，满足，
所以.
所以，，解得，，
，，解得，，
所以，，.
所以.
综上：.
故答案为：
四、解答题
17．求下列各式的值
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】根据对数运算法则直接计算即可.
【详解】（1）原式.
（2）原式.
18．已知函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，当时，求函数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换得到，整体法求解函数的单调递减区间；
（2）根据伸缩变换和平移变换得到，根据，得到，结合正弦函数图象求解出值域.
【详解】（1），
令，则，
所以函数的单调递减区间为：．
（2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得到函数的图象，再将图象向左平移个单位，
得到的图象，
因为，所以，
所以的值域为．
19．设函数.
(1)解方程；
(2)设不等式的解集为，求函数的值域.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）化简，由解得可得答案；
（2）利用指数函数的单调性解不等式求出，化简，令，转化为，再根据抛物线的性质和的范围可得答案.
【详解】（1）
，
由得，解得或，
所以或.
所以方程的解是或；
（2）由得，即，解得，，
，
令，所以，
则为开口向上对称轴为的抛物线，
因为，所以，
所以函数的值域为.
20．已知函数的图象经过点.
(1)若的最小正周期为，求的解析式；
(2)若，，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据最小正周期为得到，再根据的图象过点，得到，即可得到的解析式；
（2）根据得到是的一条对称轴，代入得到，，再根据的图象过点得到，，联立得到，根据在上单调得到，最后验证在上是否单调即可得到的取值集合.
（1）
因为的最小正周期为，所以.
因为，所以.
因为的图象经过点，所以，，
即，.因为，所以.
故.
（2）
因为，，所以直线为图象的对称轴，
又的图象经过点.
所以①，②，.
②-①得，所以
因为，，所以，即为正奇数.
因为在上单调，所以，即，解得.
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递增，在上单调递减，
故在上不单调，不符合题意；
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递减，
故在上单调，符合题意；
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递减，
故在上单调，符合题意，
综上，存在实数，使得在上单调，且的取值集合为
21．已知函数
(1)求函数的值域；
(2)判断函数在其定义域上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；
(3)是否存在正数，使得不等式对任意的及任意的锐角都成立，若存在，求出正数的取值范围，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)在上是增函数，证明见解析
(3)存在，．
【分析】（1）化简得，利用指数函数的单调性得到的值域即可.
（2）利用单调性的定义法进行证明即可.
（3）利用的单调性，
得到，
化简得到，利用不等式恒成立的条件，
问题转化为求
，
进而问题转化为，最后利用三角函数的恒等变换即可得证.
（1）
定义域为，
，
∵，∴，∴∴，
∴的值域为；
（2）
在上是增函数，
证明：且，
，
∵∴又；
∴，∴，∴在上是增函数；
（3）
由（2）知在上是增函数，则，
，
∵，∴又，∴，
则，
当且仅当即时取“=”，
则，
该不等式对任意锐角都成立，则，
令，则
，
在上单调递减，
则，
∴，又，则∴，
∴正数的取值范围为．
【点睛】方法点睛：本题使用不等式恒成立问题的两种方法：1.分离参数法；2.最值分析法；
本题通过分离参数得到，再次通过分离参数，得到，最后，利用最值分析法求证成立
22．已知函数和的定义域分别为和，若对任意的都存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”．
(1)试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由；
(2)求证：是的“4重覆盖函数”；
(3)若为的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围．
【答案】(1)不是的“2重覆盖函数”理由见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）：根据两个函数的值域，结合偶函数的性质进行判断即；
（2）：可根据两个函数的值域，结合余弦函数的周期性进行判断即可；
（3）：将题转化为对任意，有2个实根，根据的性质即可求解．
【详解】（1）由可知：，函数的图像如图所示：
当时， ，
当时，解得，
所以不是的“2重覆盖函数”；
（2）证明：因为，
所以，
又因为，
又因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
又因，可得为奇函数且单调递增，
作出两函数的内的大致图像，如图所示：
，
而函数在上单调递增，且，所以，
由此可知在内有4个解．
所以是在的“4重覆盖函数”；
（3）可得的定义域为，
即对任意，存在2个不同的实数，使得（其中），
∵，∴，
所以，
所以，
即，
即对任意，有2个实根，
当时，已有一个根，故只需时，仅有1个根，
当时，，符合题意，
当时，则需满足，解得，
当时，抛物线开口向下，有最大值，不能满足对任意，仅有1个根，故不成立．
综上，实数a的取值范围是．
【点睛】在处理两函数图像交点问题时，可通过分离变量交点问题转化为与两个函数的图像交点情况.