高一数学上学期阶段考试全真模拟卷(新教材地区使用)新高考高2025届高一综合能力提升每周一练01(原卷版+解析)

这是一份高一数学上学期阶段考试全真模拟卷(新教材地区使用)新高考高2025届高一综合能力提升每周一练01(原卷版+解析)，共25页。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．对于集合A，B，我们把集合且叫做集合A与B的差集，记做．若集合，集合，且，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知偶函数的定义域为R，当x[0，）时， ，则的解集为（ ）
A．（0，2）B．（，）
C．（，0）（2，）D．（，）（，）
3．已知函数是定义在R上的奇函数，且满足下列条件：
①对任意的实数，都有；
②对任意的实数，都有；
③.则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．函数在上单调递减
D．不等式> 0的解集为
4．使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数的图象如图1所示，则图2所表示的函数是（ ）
A．B．C．D．
6．已知定义在上的函数，满足为偶函数，若对于任意不等实数，，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知正实数，满足，则的最大值为（ ）
A．B．1C．2D．9
8．若对，．有，则函数在，上的最大值和最小值的和为（ ）
A．4B．8C．6D．12
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知集合，，命题：，命题：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围可以是（ ）
A．B．C．D．
10．形如的函数，我们称之为“对勾函数”．“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增．已知函数在上的最大值比最小值大1，则a的值可以是（ ）
A．4B．12C．D．
11．已知函数，，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的值域为
C．函数的最大值为2D．函数在上单调递增
12．对于定义域为的函数，若存在区间，使得同时满足，①在上是单调函数，②当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数的一个“和谐区间”.下列说法正确的是（ ）
A．是函数的一个“和谐区间”
B．函数存在“和谐区间”
C．函数的所有“和谐区间”为、、.
D．若函数存在“和谐区间”，则实数的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知，且，则的最小值为_______．
14．设函数，的最大值为，最小值为，则______．
15．已知函数的定义域为R，且，则______
16．已知，是定义在上的函数，其中是偶函数，是奇函数，且，若对于，都有，则实数的取值范围是______________．
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知函数，a为常数．
(1)若，解关于x的不等式；
(2)若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围．
18．已知函数为奇函数，且
(1)求f（x）；
(2)求证：f（x）在区间[1，+∞）上单调递增；
(3)若对任意的都有，求实数m的取值范围.
19．已知二次函数的图象经过点，且，方程有两个相等的实根.
(1)求的解析式；
(2)设，
①判断函数的单调性，并证明；
②已知，求函数的最小值.
20．已知函数．
(1)当时，求的值域；
(2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范围；
(3)讨论函数在上的最小值．
21．已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求m，n的值；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围．
22．定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，．
(1)求证：函数是奇函数；
(2)判断在上的单调性，不需证明；
(3)解不等式．
新高考高2025届高一综合能力提升每周一练01
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．对于集合A，B，我们把集合且叫做集合A与B的差集，记做．若集合，集合，且，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先结合差集的定义，由得，再利用基本不等式化简集合，分类讨论的取值得到集合，从而利用集合的包含关系求得a的取值范围.
【详解】根据差集的定义，由可得，
因为，，
又因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即，故，
由得，
令，得或，
当，即时，上述不等式解得，即，显然此时集合没有任何包含关系，不满足题意；
当，即时，上述不等式化为，显然无解，即，显然不成立，不满足题意；
当，即时，上述不等式解得，
因为，所以由数轴法可得，故；
综上：，即.
故选：A.
2．已知偶函数的定义域为R，当x[0，）时， ，则的解集为（ ）
A．（0，2）B．（，）
C．（，0）（2，）D．（，）（，）
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
【详解】解：当时，
，
当增大时，减小，减小，
故在上单调递减，
因为是偶函数，
所以，
，
，
解得：或．
故选：C．
3．已知函数是定义在R上的奇函数，且满足下列条件：
①对任意的实数，都有；
②对任意的实数，都有；
③.则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．函数在上单调递减
D．不等式> 0的解集为
【答案】A
【分析】选项A，令，代入求解即可判定；选项B，由函数是奇函数，可判定；选项C，任取，，结合，即可判定；选项D，结合函数的单调性，以及，即可求解判定.
【详解】选项A，令，正确；
选项B，由函数是定义在R上的奇函数，，错误；
选项C，任取，，
即，又，故，
故，即，即函数在上单调递增，错误；
选项D，由选项B，函数在上单调递增，又是定义在R上的奇函数，故在上也单调递增，又，故当时，的解为，当时，由，的解为，故不等式> 0的解集为，错误.
故选：A
4．使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据复合函数的单调性列不等式组求解的范围，再求解使其成立的一个充分不必要条件.
【详解】令，，
由函数在上单调递减，
得，
所以使成立的一个充分不必要条件为.
故选：C
5．已知函数的图象如图1所示，则图2所表示的函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根函数图象判断两个函数见的位置关系，进而可得解.
【详解】由图知，将的图象关于轴对称后再向下平移个单位即得图2，
又将的图象关于轴对称后可得函数，
再向下平移个单位，可得
所以解析式为，
故选：C.
6．已知定义在上的函数，满足为偶函数，若对于任意不等实数，，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的对称性和单调性求解即可.
【详解】因为是偶函数，所以 图像关于直线对称，
又因为当时，恒成立
即当时，；时，
所以在区间上单调递减.
解得.
故选：D.
7．已知正实数，满足，则的最大值为（ ）
A．B．1C．2D．9
【答案】D
【分析】利用基本不等式以及一元二次不等式求解.
【详解】因为，所以,
所以，
即
所以，解得，
当且仅当
，解得 或时等号成立，
所以当时有最大值为9.
故选:D.
8．若对，．有，则函数在，上的最大值和最小值的和为（ ）
A．4B．8C．6D．12
【答案】B
【分析】根据原抽象函数的关系，通过合理赋值得到，设具有奇函数性质的新函数，再证明为奇函数，根据奇函数＋奇函数为奇函数的结论再次构造具有奇函数性质得，再利用函数图像的平移得到最终最值和为8.
【详解】解：，．有，
取，则，故，取，则，故，
令，则，故为奇函数，，设，
则，，故为奇函数，故为奇函数，故函数在上的最大值和最小值的和是0，
而是将函数的图像向上平移4个单位，即在上最大值和最小值均增加4，
故函数在上的最大值和最小值的和是8，
故选：B．
【点睛】本题充分考察了抽象函数的奇偶性与对称性，我们需要构造新函数使其具有奇偶性，然后再利用平移的特点，得到最终最值之和.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知集合，，命题：，命题：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】解一元二次不等式求集合，根据命题间的关系有，讨论、结合集合的包含关系列不等式求m的范围，即可得答案.
【详解】，
，
因为是的充分不必要条件，所以，
当时，，有（等号不同时成立），解得，
当时，，有（等号不同时成立），解得.
故选：ABD
10．形如的函数，我们称之为“对勾函数”．“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增．已知函数在上的最大值比最小值大1，则a的值可以是（ ）
A．4B．12C．D．
【答案】AD
【分析】结合已知条件，利用与区间的位置关系以及对勾函数单调性即可求解.
【详解】由对勾函数的性质可得，在上单调递减，在上单调递增．
①当，即时，在上单调递增，
，
解得，满足题意；
②当，即时，在上单调递减，
，解得，不满足题意，舍去；
③当，即，在上单调递减，在上单调递增，
，
(i)当时，即时，
，
故，解得或，均不满足题意，舍去；
(ii)当时，即时，
，
从而，解得，满足题意.
综上所述，a的值所组成的集合为.
故选：AD.
11．已知函数，，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的值域为
C．函数的最大值为2D．函数在上单调递增
【答案】AD
【分析】根据解析式的形式求出函数的定义域后可判断A的正误，利用换元法B中函数的值域，从而可判断其正误，利用平方变形结合二次函数性质可求C中函数的最大值，故可判断其正误，利用分离常数法变形D中函数后可判断其单调性.
【详解】A：，
故A正确；
B：令，
令，，
则的值域为，故B不正确；
C：令，则，
，
当时，，的最大值为，故C不正确；
D：令，
因为在上单调递增，在上为单调增函数，
在上单调递增，故D正确．
故选：AD.
12．对于定义域为的函数，若存在区间，使得同时满足，①在上是单调函数，②当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数的一个“和谐区间”.下列说法正确的是（ ）
A．是函数的一个“和谐区间”
B．函数存在“和谐区间”
C．函数的所有“和谐区间”为、、.
D．若函数存在“和谐区间”，则实数的取值范围是
【答案】BC
【分析】本题为新定义题目，即在定义域内满足时，则区间就为函数的一个和谐区间.
【详解】对于A中函数在区间是单调函数，但是值域为不符合题意故A错误
对于B中函数在，单调递增，由，则为方程的两个根，这样解得且故存在“和谐区间”B正确.
对于C中函数在上单调递增，即，则是关于方程的两根得，，，所以函数的所有“和谐区间”为，，，故C正确.
对于D中函数存在“和谐区间”∵在上单调增
∴∴是方程的两个不等实根
令∴在上有两个不相等实根，令
对称轴为，则，解得故D错误
故选：BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知，且，则的最小值为_______．
【答案】##.
【分析】由得到，利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
故
，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
14．设函数，的最大值为，最小值为，则______．
【答案】2
【分析】将函数解析式化为，令，即可判断的奇偶性，然后利用函数的奇偶性求解.
【详解】解：，
令，则，所以为奇函数，
则，
又，
所以.
故答案为：.
15．已知函数的定义域为R，且，则______
【答案】-3
【分析】先根据题意求得函数的周期为6，再计算一个周期内的每个函数值，由此可得解．
【详解】令，则，即，
，，两式相加，
得，则，
的周期为6，
令，得，由解得，
又，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：-3
16．已知，是定义在上的函数，其中是偶函数，是奇函数，且，若对于，都有，则实数的取值范围是______________．
【答案】
【分析】根据函数奇偶性求得，再根据函数的单调性求参数范围即可.
【详解】根据题意，，则，
又是偶函数，是奇函数，则，故可得；
因为对于，都有，即，
故在单调递减；
当时，满足题意；
当时，要满足题意，则，解得；
当时，要满足题意，则，解得；
综上所述，的取值范围为：.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题综合考查函数的性质，处理问题的关键是要根据构造，属中档题.
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知函数，a为常数．
(1)若，解关于x的不等式；
(2)若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)．
【分析】(1)化简不等式，结合二次函数与二次不等式的关系即可求解该不等式；
(2)将参变分离，将问题转化为求解即可．
【详解】（1），
当时，，的解集为；
当时，，的解集为；
当时，，的解集为．
综上所述，当时的解集为；
当时，的解集为；
当时，的解集为．
（2）对任意，
，
∴．
令，则，，
，
当且仅当，即，时取“＝”，
∴，
故实数a的取值范围为．
18．已知函数为奇函数，且
(1)求f（x）；
(2)求证：f（x）在区间[1，+∞）上单调递增；
(3)若对任意的都有，求实数m的取值范围.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】(1)根据奇函数的概念求出参数，再检验，即可求解；
(2)由(1)，利用定义法直接证明即可；
(3)根据(2)可得，即，解之即可.
【详解】（1）由f（x）为奇函数，定义域为
可得，即，解得，.
又，有，所以，
对任意，满足f（x）为奇函数.
综上：.
（2）对任意x1，，且，有
，
由，可得，
则，即，
所以f（x）在[1，+∞）上单调递增；
（3）由f（x）在[1，+∞）上单调递增.
可得对任意，
因为对任意的都有.
所以，解得，
即实数m的取值范围是.
19．已知二次函数的图象经过点，且，方程有两个相等的实根.
(1)求的解析式；
(2)设，
①判断函数的单调性，并证明；
②已知，求函数的最小值.
【答案】(1)
(2)①在单调递减，在单调递增；②
【分析】（1）通过待定系数的方式，以及条件中二次函数图象经过点，，方程有两个相等的实根，列出对应的方程组，从而得到的解析式；
（2）①通过单调性的定义证明函数的单调；
②因为条件中的和中的具有关系，所以可以换元，并求出的范围，并将函数化简为，从而求出函数的最小值.
【详解】（1）（法一）设，则，
由得，
化简得恒成立，则，即
因为方程有两个相等实根，即有两个相等实根，所以，
可得，.
.
（法二）由可得对称轴为，又过点，
因此设，，所以
因为方程有两个相等实根，即有两个相等实根，所以，可得
.
（2）
①在单调递减，在单调递增.
证明：任取，则
·
当时，，，则，在单调递增；
当时，，，则，在单调递减.
因此在单调递减，在单调递增.
②令，则.
因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以.
设，
1）当时，，在上单调递增，

2）当时， ，
当时，在上单调递增；当时，在上单调递增
所以在上单调递增，

综上，.
20．已知函数．
(1)当时，求的值域；
(2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范围；
(3)讨论函数在上的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析,
【分析】（1）分段函数分别求值域即可；
（2）分离参数，结合基本不等式，即可求得的范围；
（3）对二次函数对称轴的情况分类讨论即可.
【详解】（1）当时，,
时，，当时有最小值1，
时，，此时，
故的值域为
（2）由得：（*）
当时，（*）显然不成立
当时，
又
当且仅当即或时等号成立
则，即，
所以a的取值范围为.
（3）由题知,
当时，，
当时，的最小值为,
当时，,
即时，
即时，
当时，，在上的最小值为,
当时，，，所以,
当时，，，所以,
当时，，，所以.
综上可知：
当时，
当时，
当时，
当时，
21．已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求m，n的值；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)单调递增，证明见解析；
(3).
【分析】（1）利用与求出m，n的值；
（2）利用定义法证明函数的单调性；
（3）转化为，结合第二问求出，分，与三种情况，结合函数的单调性，求出，列出不等式，求出实数k的取值范围.
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，
所以，解得：，
故，
又，故，解得：，
（2）在上的单调递增，理由如下：
由（1）得：，
任选，且，
故
，
因为，且，
所以，
故，
故，所以，
故单调递增；
（3）因为对任意的，总存在，使得成立，所以，
因为在上单调递增，所以，
当时，，所以恒成立，符合题意；
当时，在上单调递增，故，
所以，解得：，与取交集得：；
当时，在上单调递减，故，
所以，解得：，与取交集得：，
综上：实数k的取值范围是.
22．定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，．
(1)求证：函数是奇函数；
(2)判断在上的单调性，不需证明；
(3)解不等式．
【答案】(1)详见解析
(2)单调递减
(3)
【分析】（1）通过赋值，得，再通过赋值，结合奇函数的定义，即可证明；
（2）根据条件，以及条件时，，即可判断；
（3）首先利用函数是奇函数，变形不等式，再利用函数是减函数，即可求解不等式.
【详解】（1）解：令，得，即，
任取，则，
，
即，所以在上为奇函数；
（2）判断函数在上单调递减.
任取，且，
则，
因为，，，
所以，即，
所以，所以，
即，得，
所以函数在区间单调递减；
（3）解：，即，
因为函数单调递减，所以需满足，解得：，
所以不等式的解集为.