高一数学上学期阶段考试全真模拟卷(新教材地区使用)新高考地区高2025届高一(上)第一次月考模拟试题二(原卷版+解析)

这是一份高一数学上学期阶段考试全真模拟卷(新教材地区使用)新高考地区高2025届高一(上)第一次月考模拟试题二(原卷版+解析)，共22页。试卷主要包含了 满足，且中的集合的个数是， 若，且，则的最小值为， 已知集合，则有，下面命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合．则（ ）
A. 或B.
C. D.
2. 有下列四个命题：
①是空集；
②若，则；
③集合有两个元素；
④集合是有限集.
其中正确命题的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
3. 若：所有实数的平方都是正数，则为（ ）
A. 所有实数的平方都不是正数B. 至少有一个实数的平方不是正数
C. 至少有一个实数的平方是正数D. 有的实数的平方是正数
4. 若a，b，，，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 满足，且中的集合的个数是（ ）
A. 12B. 18C. 24D. 28
8. 若，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知集合，则有（ ）
A. B. C. D.
10.下面命题正确的是（ ）
A. “”是“”的必要不充分条件
B. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件
C. 设，则“”是“且”的充分不必要条件
D. “”是“”的必要不充分条件
11. 若正实数a，b满足则下列说法正确的是（ ）
A. ab有最大值 B. 有最大值
C. 有最小值2D. 有最大值
12. 已知关于x的一元二次不等式的解集为M，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则关于x的不等式的解集也为M
C. 若，则关于x的不等式的解集为或
D. 若{为常数}，且，则的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知集合，则集合A的非空真子集个数为____________．
14.已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的最小值是______
15. 若关于的不等式的解集为，则实数的值为______
16. 已知集合，对它的非空子集，可将中的每一个元素都乘以再求和（如，可求得和为：，则对的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是________.
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合．
（1）若，求实数a，b的取值；
（2）当，且时，求实数a的取值范围．
18. 已知关于的不等式的解集为
（1）求的值；
（2）解关于的不等式．
19. 已知命题成立．命题对，都有成立．
（1）若命题q为真命题，求m的取值范围．
（2）若命题p和命题q有且只有一个命题是真命题，求m的取值范围．
20. 今年新冠肺炎疫情是世纪以来规模最大的突发公共卫生事件，疫情早期，武汉成为疫情重灾区，据了解，为了最大限度保障人民群众的生命安全，现需要按照要求建造隔离病房和药物仓库．已知建造隔离病房的所有费用（万元）和病房与药物仓库的距离（千米）的关系为：．若距离为千米时，隔离病房建造费用为万元．为了方便，隔离病房与药物仓库之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需万元，铺设路面每公里成本为万元，设为建造病房与修路费用之和．
（1）求的表达式；
（2）当隔离病房与药物仓库距离多远时，可使得总费用最小？并求出最小值．
21.已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围.
22. 设.
（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式.
新高考地区高2025届高一（上）第一次月考模拟试题二
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合．则（ ）
A. 或B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化简集合A，B，再利用并集的运算求解.
【详解】因为集合或，
，
所以故选：C
2. 有下列四个命题：
①是空集；
②若，则；
③集合有两个元素；
④集合是有限集.
其中正确命题的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合定义，元素与集合的关系判断．
【详解】①{0}中有一个元素0，不是空集，不正确；
②中当时不成立，不正确；
③中有两个相等的实数根，因此集合只有一个元素，不正确；
④中集合是有限集，正确，
故选：B
【点睛】本题考查含一个量词的命题的否定，难度较易.注意全称命题的否定为特称命题.
3. 若：所有实数的平方都是正数，则为（ ）
A. 所有实数的平方都不是正数B. 至少有一个实数的平方不是正数
C. 至少有一个实数的平方是正数D. 有的实数的平方是正数
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到．
【详解】由全称命题的否定是特称命题可知，
“所有实数的平方都是正数”的否定为：“至少有一个实数的平方不是正数”．
故选：B
4. 若a，b，，，则下列不等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用不等式的性质即可判断.
【详解】对于A，由，则，故A不正确；
对于B，由，则，故B错误；
对于C，当时，，当时，，故C不正确；
对于D，由，，所以，故D正确.
故选：D
【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键，属于基础题.
5. 若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先解含绝对值的不等式求得参数，再解高次不等式即可.
【详解】由|x－3|＜4，得－1＜x＜7，
∵不等式|x－3|＜4的解集为{x|a＜x＜b}，
∴a＝－1，b＝7，
∴由，
得，
∴，
则或，
∴不等式的解集为.
故选：B.
【点睛】本题考查了绝对值不等式和高次不等式的解法，属于中档题.
6. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
先解分式不等式，化简集合，再由，即可列出不等式求出结果.
【详解】因为，
又，，
所以，解得.
故选：B.
【点睛】本题主要考查由集合的包含关系求参数，涉及分式不等式的解法，属于基础题型.
7. 满足，且中的集合的个数是（ ）
A. 12B. 18C. 24D. 28
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合间的关系及集合的运算，设，求得满足条件集合的个数，进而得到满足时的集合的个数.
【详解】由题意，集合，
若集合，可得，所以集合的个数为个，
即当时，可得集合的个数为个.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了集合件的关系的应用，以及集合的交集的概念及运算，其中解答中熟记集合件的关系，求得集合的子集的个数是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
8. 若，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，可将题目转化为已知，求的最小值，由，且，结合基本不等式可求出的最小值，进而可求出的最小值.
【详解】设，则，且，
题目转化为已知，求的最小值，
，
而，
当且仅当，即时等式成立.
则.
故选：C.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知集合，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】先化简集合,再对每一个选项分析判断得解.
【详解】由题得集合，
由于空集是任何集合的子集，故A正确：
因为，所以CD正确，B错误.
故选ACD.
【点睛】本题主要考查集合的化简，考查集合的元素与集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10.下面命题正确的是（ ）
A. “”是“”的必要不充分条件
B. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件
C. 设，则“”是“且”的充分不必要条件
D. “”是“”的必要不充分条件
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据必要不充分条件的定义，即可判断A选项；根据一元二次方程中根的个数和根与系数的关系，即可判断B选项；由“”，则不一定有“且”，即可判断C选项；若，则或，结合必要不充分条件的定义，即可判断D选项.
【详解】解：对于A，根据必要不充分条件的定义，可知A正确；
对于B，若，则，
所以一元二次方程有两个根，且一正一负根，
若一元二次方程有一正一负根，则，则，故B正确；
对于C，若“”，则不一定有“且”，
而若“且”，则一定有“”，
所以“”是“且”的必要不充分条件，故C不正确；
对于D，若，则或，
则若“”，则不一定有“”，而“”时，一定有“”，
所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.
故选：ABD.
11. 若正实数a，b满足则下列说法正确的是（ ）
A. ab有最大值 B. 有最大值
C. 有最小值2D. 有最大值
【答案】AB
【解析】
【分析】
对A,根据基本不等式求的最大值；
对B,对平方再利用基本不等式求最大值；
对C,根据再展开求解最小值；
对D,对平方再根据基本不等式求最值.
【详解】对A,,当且仅当时取等号.故A正确.
对B, ,故,当且仅当时取等号.故B正确.
对C, .当且仅当时取等号.所以有最小值4.故C错误.
对D, ,即,故有最小值.故D错误.
故选：AB
【点睛】本题主要考查了基本不等式求解最值的问题,需要根据所给形式进行合适的变形,再利用基本不等式.属于中档题.
12. 已知关于x的一元二次不等式的解集为M，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则关于x的不等式的解集也为M
C. 若，则关于x的不等式的解集为或
D. 若{为常数}，且，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，利用二次函数的图象可知A正确；
对于B，令，当时，不等式的解集不为M，B不正确；
对于C，根据求出，，代入所求不等式求出解集，可知C正确；
对于D，根据得到且，将代入，然后换元，利用基本不等式可求出最小值，可知D正确.
【详解】对于A，若，即一元二次不等式无解，所以，故A正确；
对于B，令，则，，，
所以可化为，
当时，可化为，其解集为；
当时，可化为，其解集不等于，
所以B不正确；
对于C，若，则且和是一元二次方程的两根，所以，，
所以，，
所以关于x的不等式可化为，
可化为，因为，所以，
所以或，即不等式的解集为或，故C正确；
对于D，因为{为常数}，所以且，
所以，
因为，所以，
令，则，
所以，
当且仅当，则时，等号成立.
所以的最小值为，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：D选项中，根据得到且，将代入，然后换元，利用基本不等式求解是解题关键.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知集合，则集合A的非空真子集个数为____________．
【答案】6
14.已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的最小值是______
【答案】
【解析】
【分析】由题知，，，则可得，则，利用基本不等式“1”的妙用来求出最小值.
【详解】由题知是关于x的一元二次方程的两个不同的实数根，
则有，，，所以，且是两个不同的正数，
则有
，
当且仅当时，等号成立，故的最小值是.
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，考查了基本不等式“1”的妙用求最值，考查了转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.
15. 若关于的不等式的解集为，则实数的值为______
【答案】
【解析】
【分析】
不等式可转化为不等式，然后结合题中条件可得，且，解得a即可.
【详解】不等式即等价于不等式
，即，
令，解得，，，
因为不等式的解集为，
所以，且，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查分式不等式的解法，考查逻辑思维能力和计算能力，考查转化思想，属于常考题.
16. 已知集合，对它的非空子集，可将中的每一个元素都乘以再求和（如，可求得和为：，则对的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先确定每个元素在集合的所有非空子集中分别出现个，在求和.
【详解】因为集合，那么每个元素在集合的所有非空子集中分别出现个，
则对的所有非空子集中元素执行乘以，再求和操作，则这些和的总和是

故答案为：
【点睛】本题主要考查集合的非空真子集的概念，理解本题的新定义的概念是解决本题的关键，属于中档题型.
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合．
（1）若，求实数a，b的取值；
（2）当，且时，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）因为，则1，2是方程的两个根，
则，解符；
（2）当时，，
当时，方程为，
当时，，解得，
当时，，显然不成立，
当时，．得，
当时，，不成立，
综上可得：a的取值范围为．
18. 已知关于的不等式的解集为
（1）求的值；
（2）解关于的不等式．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）由一元二次不等式解集与对应一元二次方程根的关系，知，是方程的两根，即可求参数；
（2）由（1）并整理得，根据分式不等式的解法，即可求解集.
【详解】（1）由题意得：，是方程的两根，
将代入方程得，即，
将代入方程得，即或(舍去)，
综上：
（2）由（1）知：，即，
∴，解得：.
19. 已知命题成立．命题对，都有成立．
（1）若命题q为真命题，求m的取值范围．
（2）若命题p和命题q有且只有一个命题是真命题，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式求出的最小值，然后代入不等式可求出结果；
（2）分别求出两个命题为真命题时，的范围，再分两种情况讨论可求出结果.
【详解】（1）因为命题q为真命题，则对，都有成立．
因，所以，
因为
，当且仅当时等号成立，
所以，即.
（2）由命题为真命题，得，解得或，
当命题为真命题时，命题为假命题，可得或，
当命题为假命题时，命题为真命题，可得，
综上所述：m的取值范围是或.
20. 今年新冠肺炎疫情是世纪以来规模最大的突发公共卫生事件，疫情早期，武汉成为疫情重灾区，据了解，为了最大限度保障人民群众的生命安全，现需要按照要求建造隔离病房和药物仓库．已知建造隔离病房的所有费用（万元）和病房与药物仓库的距离（千米）的关系为：．若距离为千米时，隔离病房建造费用为万元．为了方便，隔离病房与药物仓库之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需万元，铺设路面每公里成本为万元，设为建造病房与修路费用之和．
（1）求的表达式；
（2）当隔离病房与药物仓库距离多远时，可使得总费用最小？并求出最小值．
【答案】（1）；（2）当时，总费用最小为万元．
【解析】
【分析】（1）将代入，求出的值，结合题意可求得的表达式；
（2）利用基本不等式可求得的最小值及其对应的的值，即可得出结论.
【详解】（1）当时，，所以，，则，
所以，；
（2），
当且仅当时，因为，所以，当时，等号成立.
因此当时，总费用最小，且最小值为万元.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
21.已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）或或.
【解析】
【分析】
首先求出集合、，再根据交集的定义计算可得；
（2）由集合间的关系得：因为，所以，再讨论①当时，②当时，③当时，即可得解．
【详解】解：因为，.
所以，
（1）当时，，则有
（2）（2）因为，
所以，
解绝对值不等式，可得，
即
①当时，解得，
又，
所以，解得，
②当时，为空集，满足题意；
③当时，解得，
又，
所以，解得，
综合①②③得：
实数的取值范围为：，
【点睛】本题考查了集合的交集及集合间的关系，属于中档题．
22. 设.
（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）；（2）答案见解析
【解析】
【分析】(1)不等式转化为对一切实数成立,列不等式即可求解;
(2)不等式转化为,对a进行分类讨论求解即可.
【详解】（1）由题意可得对一切实数成立，
当时，不满足题意；
当时，可得.
所以实数a的取值范围为.
（2）由题意可得，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为,
当时，,
当时，,
①当，解集为,
②当，解集为或,
③当，解集为或.
综上所述,
当，不等式的解集为或,
当，不等式的解集为,
当，不等式的解集为或,
当时, 不等式的解集为,
当时, 不等式的解集为.